课时34-第八章立体几何初步-8.6.1直线与直线垂直-教案

高一数学必修第二册第八章立体几何初步第第页8.6.1《直线与直线垂直》广州市白云中学黄惠一、教材内容地位分析：本节课选自新教材普通高中数学必修第二册2019版第八章8.6.1，这一节主要是关于直线位置关系中的异面直线所成角的内容，这是继相交直线，平行直线后学习的。在学习本节课之前学生已经学习了空间直线的三种位置关系，且在初中已经学习了相交直线的相关知识，在8.5.1又系统学习了平行直线，本节课主要从空间异面直线所成角出发研究异面直线垂直问题，是初中平面中直线与直线垂直的延续，又为之后直线与平面垂直，平面与平面垂直等位置关系研究做铺垫。垂直是除平行之外最具有研究价值的位置关系，线线垂直也是垂直关系中起基础作用的位置关系，但平行和垂直不是相互独立的，当我们刻画异面直线所成角时需要用到垂直，通过平移把空间角转化为平面角来度量，当异面直线所成角为时，称两异面直线垂直，这里是在平行的基础上，继续体会转化的思想，把三维问题降到二维来研究，这种空间问题平面化的思想是研究立体几何的重要思想。学情分析教学有利因素：学生已经具备了相交直线，平行直线的知识，并且掌握如下两个结论：①平面中两直线相交时，其中不大于的角称为这两条直线所成角（或夹角）；②如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。这为异面直线的位置刻画及理解异面直线所成角的概念的合理性奠定了基础。教学不利因素：学生接触立体几何的时间不长，空间立体感没有完全建立，在空间想象，逻辑推理证明等方面还有所欠缺，对解决空间问题的基本方法和手段没有完全掌握，对异面直线的空间关系掌握不到位，需要进一步培养。三、教学目标【知识与技能】1.借助正方体，通过直观感知，类比相交直线所成角，归纳出异面直线所成角的概念，培养数学抽象能力；2.利用异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成角，并在三角形中求出角，培养数学运算能力；3.会用异面直线所成角证明异面直线垂直，培养逻辑推理能力；【过程与方法】通过回顾相交直线，平行直线的相关内容，借助正方体引入异面直线所成角的概念，理解空间角化平面角的合理性，体会解决立体几何的基本思想方法，即空间问题平面化；【情感、态度与价值观】通过类比相交直线，概括出刻画异面直线的角度，提高学生分析问题的能力，通过求异面直线所成角，培养学生解决问题的能力，养成严谨的学习态度。※教学重点：理解异面直线所成角的概念及求异面直线所成角；※教学难点：通过平移法构造异面直线所成角。四、教学策略※教学方法：讲授与探究相结合※教学工具：导学案、课件、多媒体平台※教学流程：复习回顾→类比研究→探究新知→概念形成→新知运用→归纳总结→课堂小结→布置作业五、教学过程：教学环节及师生活动设计意图及素养目标一、【温故知新】问题1空间中两直线的位置关系有哪几种？答：有相交直线、平行直线、异面直线三种问题2平面内两相交直线的相对位置是怎么刻画的呢？aθb答：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），图中的角θ即为直线a与直线b的夹角，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．二、【探究新知】观察：如图，在正方体ABCD-A1B1C问题3直线A1C1与A系相同吗？若不同，如何来刻画这种差异？答：不同，由图可以看出直线A1C1线AB的倾斜程度不一样.我们可以类比相交直线所成角引入“异面直线所成角”来刻画这种差异.问题4两条异面直线没有交点，它们所成角没有办法直接度量，你有什么方法来解决这个问题呢？答：由相交直线所成角得到启发，通过在空间中任取一点O，过点O分别作两条异面直线的平行线.三、【概念形成】异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．师：PPT动画展示平移的过程如果两条异面直线夹角为90°，那我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与b垂直，记作a⊥b．问题5同学们知道我们在度量异面直线所成角的时候蕴含了什么样的数学思想吗？答：主要是通过平移把异面直线转化为相交直线，体现的是空间问题平面化的思想，在平移过程中异面直线的倾斜程度没有发生改变，所以它们所成角没有变.问题6异面直线a与b所成的角会随着点O的位置变化而变化吗？答：由等角定理知，不会！为简便，O点常取在两异面直线中的一条上师：PPT动画作角，说明角不会随点O的变化而变化问题7根据异面直线所成角形成的过程，你知道异面直线所成角θ的范围是多少吗？空间中两条直线所成角α的范围又是多少？答：由异面直线所成角的定义知角θ的范围为：(当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为0°．因此空间两条直线所成角α的范围为：[0四、【运用新知】例1（课本P147）如图，已知正方体ABCD-（1）哪些棱所在的直线与直线AA1（2）求直线BA1与C（3）求直线BA1与AC分析：（1）根据异面直线所成角，我们知道，要找出与直线AA1垂直的直线，可从两方面考虑：一是相交垂直，二是异面垂直，与AA1根据正方体中的平行关系知，与AA1异面垂直的直线有：思考：1.两直线垂直，它们一定相交吗？2.垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？师：两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情况在平面中成立的结论不一定能推广到空间中分析：（2）由图知直线BA1与CC1为异面直线，要求异面直线所成角只需将空间角转化为平面角，转化的途径通常是：选其中一条直线的某个特殊点，然后过这个特殊点找(或作)另一条直线的平行线.如本题中我们可以选直线BA1上的点B，由正方体的性质知，我们可以找出BB1//CC当然我们也可以选直线CC1上的点C，连接CD1,然后证明BA1//CD分析：（3）根据第二问的思路，我们重点关注作出异面直线所成角的过程，在这里选取连接A1C1,易证AC//A1C1,因此∠BA1C解题过程详见PPT小结：求两条异面直线所成的角的一般步骤：1．作角：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线所成的角(或其补角)；2．证角：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（注：证明线线平行）3．求角：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小；4．结论：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求．简单地说，选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之.例2（课本P_147）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：AO1⊥BD．分析：由图可知直线AO1与BD是异面直线，要证AO1⊥BD，即证两异面直线所成角为90°,故应先构造直线AO1与BD所成角，过直线AO1上的特殊点BD的平行线B1D1，则AO1与B1D1相交于O1，这样∠AO1B1课堂练习：1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC1所成的角的余弦值是_______分析：如图所示,连接AB1,交A1B于点D,取B1C1的中点E,连接DE,A1E,则DE∥AC1,∴∠A1DE为异面直线A1B与AC1所成角或其补角.再在三角形中用余弦定理即可。2.如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D为棱AC的中点，AB=BB'=2，求证BD⊥AC'.分析：因为ABC-A'B'C'是正三棱柱，所以底面ABC是正三角形，由于BD与AC'是异面直线，应先构造异面直线所成角,取CC’的中点E，连接DE,BE,又D为棱AC的中点，所以DE为∆ACC'的中位线,所以DE//AC',所以∠BDE是异面直线BD与AC'所成角，再在三角形中用勾股定理即可五、【课堂小结】1.异面直线所成角的概念是什么？2.如何求异面直线所成角？具体答案在PPT展示师总结：我们本节课主要学习了异面直线所成角，主要包含两方面，一是它的定义，二是它的范围，当异面直线直线所成角为90°时称为异面垂直，所以垂直有异面垂直和相交垂直两种情况，同学们要注意哦。通过复习两直线位置关系引出本节课的研究问题通过回顾相交直线所成角，为异面直线所成角的刻画做铺垫，建立知识的联系，提高概括，类比推理能力通过问题3体会引入“异面直线所成角”的必要性.问题4紧接问题3，让学生产生自问：什么是异面直线所成角？类比相交直线所成角我们得到启发，把空间角转化成平面角来度量，让学生感受类比的思想，学会用已知解决未知.学习概念，用标准的语言来描述概念了解概念形成的合理性，深挖知识的本质，学习概念背后的实际，体会所用到的数学手段和思想方法.培养严谨的逻辑思维能力，说明异面直线所成角概念的可操作性.探究空间中直线所成角的范围，为线面角，面面角的范围奠定基础.本例是概念的基本运用，主要是打破之前的认知,垂直有相交垂直和异面垂直，空间中垂直同一条直线的两直线不一定平行，感受求异面直线所成角的整个过程；空间直线的位置关系有别于平面的位置关系。（2）初步感受求异面直线所成角的基本步骤，在这过程中重点是用平移法构造平面角，在概念的基础上感受空间问题平面化的思想。（3）在（2）的基础上继续感受平移法构造平面角，在这里学生更需要思考如何根据已知条件构造角这个问题，同时在这里梳理出求异面直线所成角的步骤。例2是例1的延续，再次熟悉求异面直线所成角的步骤，此处让学生意识到一个问题：当要证两异面直线垂直时，就证两异面直线所成角为90°，再一次感受空间角转化为平面角的思想（即空间问题平面化）巩固本节课内容分点提问的，一来再一次明确本节课学习的重点，二来可以起到复习本节课精华的目的8.6.1《直线与直线垂直》答疑课堂本节课的重点是：理解异面直线所成角的概念以及会求异面直线所成角本节课的难点是：运用平移法构造异面直线所成角重点讲授：构造异面直线所成角的方法先回顾概念，后剖析手段：平移法核心：空间角转化为平面角（空间问题平面化）方法一：抓住异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线（或作一条直线并证明与另一条直线平行），以例1,2作为说明例1（课本P147）如图，已知正方体ABCD-（3）求直线BA1与说明：抓住异面直线中的一条BA1上的特殊点A连接A1C1，，证明A1例2（课本P147）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：AO1⊥BD说明：抓住异面直线中的一条AO1上的特殊点O1连接B1D1，可知B1D1过到异面直线所成角∠A方法二：抓住空间图形的已知点，特别是中点例空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E,F分别是AB,CD的中点，EF=3，则异面直线AD与BC分析：若用方法一过两异面直线AD,BC上的已知点作另一直线的平行线比较难做到，我们可以抓住题目给出的特殊点（中点E,F），我们取BD的中点G，连接EG,FG,可以发现EG为∆ABD的中位线，因此EG//AD，同理FG//BC.所以∠EGF为异面直线AD,BC所成角（或其补角）在∆EFG中,EG=1,FG=1,由余弦定理得cos∠EGF=所以∠EGF=又异面直线所成角的范围为(所以异面直线AD,BC所成角为60方法三：平移（或构造）几何体例如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1各棱都相等，且CC分析：设三棱柱的棱长为a,补三棱柱ABC-A2B2C2，使三棱柱ABC-A2B2C2全等于三棱柱ABC-A1BABM=A所以A2B例如图，PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,PA=AC=BC=a，分析：已知条件特征：PA⊥平面ABC,∠ACB=PA=AC=BC=a可以将三棱锥放在正方体中，由正方体性质知AC//BD,连接PD，则∠DBP为异面直线PB与易证∆DBP为直角三角形，且有：故tan∠DBP=六、【习题包】1.设是直线，则()A.若，则a//cB.若，则C.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等D.若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b2．如果空间两条直线互相垂直，那么它们()A．一定相交 B．是异面直线C．是共面直线 D．一定不平行3.如图，在长方体的各条棱所在直线中，（1）与直线AB垂直的直线有__________条；（2）与直线AB异面且垂直的直线有_____