概率论章节作业答案

第一章随机事件与概率

一、单项选择题

L掷一枚骰子，设4=｛出现奇数点｝,3=｛出现1或3点｝,则下列选项正确的是

(B)

A.AB=｛出现奇数点｝B.A7=｛出现5点｝

C.与=｛出现5点｝D.AUB=。

2.设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是(A).

A.(A+B)-B=AB.(A+B)-B=A-B=A-AB

C.(A-B)+B=A+BD.AB+AB=A

3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A尸｛第i次正面向上｝(i=l,2),则“至少

有一次正面向上”可表示为

(D).

\.AiA2UB.A&C.A]&D.A|U4

4.某人向一目标射击3次，设A,•表示“第i次射击命中目标”(户1,2,3),

则3次都没有命中目标表示为

(A).

A.A4AB.A|+A,+4C.444D.A|A,Aj

5.设A与8为互为对立事件，目P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是

(A

).

A.P(A|S)=0B.P(B|A)=0C.P(A8)=0D.P(4UB)=1

6.设事件A与3相互独立,P(4尸0.2,P⑻=0.4,则P(A\B)=

(D).

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

7.已知事件A与8互不相容，尸(A)>0,P(8)>0,则

C).

A.P(AU8)=1B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(AB)=OD.P(AB)>0

8.设P(A尸0,B为任一事件，则(C).

A.A=O>B.AuBC.A与8相互独立D.A与8互不相容

9.已知P(A尸0.4,P(B)=0.5,且Au8，则出尸(c).

A.0B.0.4C,0.8D.1

10.设A与B为两事件，则而=(B).

A.ABB.AUBC.Afi5D.

1L设事件Au8,P(A尸0.2,P(B尸0.3,则=(A).

A.0.3B.0.2C.0.5D.0.44

12.设事件A与8互不相容,P(A)=0.4,P(B)=0.2,则P(A|8尸

(D).

A.0.08B.0.4C.0.2D.0

13.设48为随机事件,P(3)>0/(4四=1,则必有(A).

A.P(AUB)=P(A)B.AuB

C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)

14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字，则这3个数字中不含5的概率为(A).

A.0.4B.0.2C.0.25D.0.75

15.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会

活动，则4人中恰好2男2女的概率为

(A).

31

A.-B.0.4C.0.25D.-

76

16.某种动物活20年的概率为0.8,活25年的概率为0.6,现有一只该种动物已

经活了20年，它能活到25年的概率是(B).

A.0.48B.0.75C.0.6D.0.8

17.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为

(A).

A.0.125B.0.25C.0.5D.0.4

18一.批产品的合格品率为96%,而合格品中有75%是优质品，从该批产品中

任取一件恰好是优质品的概率为

(A).

A.0.72B.0.75C.0.96D.0.78

19.设有10个产品，其中7个正品,3个次品，现从中任取4个产品，则这4个

都是正品的概率为

(C).

B7,C.耳

B-IF

20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个,

取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为

(C).

A8R以「8'

/X.D.-V/.——u.——

10103103

21.某人打靶的命中率为0.4,现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率

为

(C).

A.0.42B.0.63C.C10.420.63D.C；0.430.62

22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子，则至少有一枚骰子出现6点的概率为

(D).

A.C：泠5BMC：泠5C.*(}5D.l-(1)6

23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为

(A).

A.-B.-C.-D.-

9233

24.从1,2,3,4,5,6六个数字中，等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到

的4个数字完全不同的概率为

(A).

414!

A-得B.—CD.

6!4F

25.某人每次射击命中目标的概率为p(O<p<l),他向目标连续射击，则第一次

未中第二次命中的概率为

(D).

A.p2B.(1-p)2C.l-2pD.p(l-p)

二、填空题

1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不

同色的概率为18/35.

2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为

1/16.

3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1

个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25.

4.从数字1,2,10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的

概率为0.0486.

5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5,0.6,

0.7,则目标被击中的概率为0.94.

6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任

取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12.

7.设事件A与3互不相容，P(A)=0.2,P(B)=0.3,则P(7UB)=

8.设事件A与8相互独立，月.P(A+B)=0.6,P(A)=0.2,则P(B)=

9.设P(A)=0.3,P(B|A)=0.6,则P(AB)=

10.设尸(A)=P(B)=P(C)=LP(AB)=尸(AC)=LP(BC)=0,则P(A+B+C)=

46

5/12.

11.已知P(A尸0.7,尸0.3,则P(AB)=^6.

12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5,贝必次射击中恰好

命中3次的概率为0.25.

13.已知P(A)=0.4,P(8)=0.8,7(B|A)=0.25,则尸伍出)=0.125.

14.设P(A)=；,尸(81A)=；,P(A⑶=；,则尸(AU8)=1/1.

15.一批产品的废品率为4%,而正品中的一等品率为60%,从这批产品中任取

一件是一等品的概率为0.576.

16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概

率分别为04,0.5,则飞机至少被击中一炮的概率为".

三、计算题

1.设P(A尸0.4,尸(8尸0.2,P(B|A)=0.3,求P(AB)以及P(A|3).

解:由得:即「⑻-「(

P(B|A)=0.3=0.3,A0=03

P(A)l-P(A)

解得:P(43)=0.02.从而，2缶|8)=今需=答=0.1.

2.已知AuB,P(A)=0.2,尸(3)=0.3,求：(1)P国，尸位);(2)P(AB)；(3)P(AB)；

(4)P(AU8)；(5)P(B-A).

⑴由概率的性质，知尸(X)=l—P(A)=0.8,P(B)=l-P(B)=0.7；

(2)因为Au8,所以=P(AB)=P(A)=0.2；

(3)P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=O；

(4)因为Au3,所以AUB=8,P(AUB)=P(B)=0.3；

或者，尸(AU8)=P(A)+P(5)-P(A8)=0.2+0.3-0.2=0.3；

3.若事件A与B互不相容，P(A尸0.6,尸(A+B)=0.9,求：(1)P(布)；(2)P(A\B)；

(3)P(丽.

解:⑴因A与5互不相容，故A3=0>,P(AB)=O,所以尸(A8)=1-P(AB)=1；

(2)因A与3互不相容，由加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B),得P(B尸0.3,从而

P(A)-P(AB)0.66

P(B)l-P(B)0.77

(3)P(AB)=1-P(AB)=1—P(A+3)=1—0.9=0.1.

4.已知事件A与8相互独立，且P(A)=0.4,P(A+B)=0.6,求(1)尸(8);(2)P(A历;

⑶P(A|B).

解：(1)因为事件A与8相互独立，所以P(AB尸P(A)P(3),

P(A+B)=P(A)+P(B)_P(AB)=P(A)+P(ff)-P(A)P(B)

0.6=0.4+P(B)-0.4P(B),解得：P(B尸;;

———A

⑵因为事件A与8相互独立，所以A与8也相互独立，故P(AB)=P(A)P(8)=w；

(3)因为事件A与8相互独立，所以P(A|B)=P(A)=0.4.

四、应用题

1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任

取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.

解：设A“3个产品中至少有2个产品等级相同”，A“3个产品等级都不同”，

CCG_12

由古典概率定义，得P（，）==0.049,从而

以。245

P(A)=1-0.049=0.951.

2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.

解:A“取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知：

c；G+c；_8

P(A)=c；°=后

3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一

双的概率.

解：A“4只鞋子中至少能配成一双"，则N“4只鞋子都不同”.由古典概率

得：脸）=当詈故?⑷=1一嗝得

4.从0,1,2,3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是

三位数且是偶数的概率.

解：A“排成的数是三位数且是偶数”，Ao“排成的三位数末位是0”，A2

“排成的三位数末位是2"，则A=4+A2,且4与4互不相容，因为

C22f1ClCl1

P（4）=—=P（AJ=^A=_,

~C；3!4盟C：3!6

所以，P（A）=P（A）+P（A）*.

5.一批零件共100个，次品率为10%,每次从中任取一个零件，取出的零件不

再放回去，求下列事件的概率:

（1）第三次才取得合格品；

（2）如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.

解：设A“第i次取到合格品”（i=l,2,3）.则

（1）第三次才取到合格品的概率为:

--------------------10990

P（A44）=尸⑷尸（41A）P（A31A4）=—x-x-=0.0083.

（2）A“三次内取得合格品”，则4=4+442+444,所求概率为:

P（A）=P（A）+P（AA2）+P（A&A）

p（A）+P（A）P（A2I4）+P（A）P（4IA）P（AIA4）

90109010990,

=——+——x——+——x—x——-0n.n9n99n3.

100100991009998

6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次,

试求：（1）两次取出的都是红球的概率；（2）在第一次取出白球的条件下，第二次

取出红球的概率；（3）第二次取到红球的概率.

解:Ai”第一次取出的是红球”，①“第二次取出的是红球”，则

（1）由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为:

尸（44）=尸（4»（414）喂《=芥

一2

（2）在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：P（&|a）=R；

(3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为：

尸(/)=p(A)P(41A)+尸(1)尸(414)

7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的

25%,35%,40%,而各台设备的废品率分别是0.05,0.04,0.02,今从全厂生产

的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.

解:设4"第z・台设备生产的零件"(i=l,2),8“产品是废品”，由题意知:

P(Ai)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B|A,)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.02,

由全概率公式得，产品是废品的概率为：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(4)P@4)+P(4)P@A)

=25%x0.05+35%x0.04+40%x0.02=0.0345.

8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废

品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02,且第一台加工的零件比第二台

加工的零件多一倍.

(1)求任取一个零件是合格品的概率；

(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.

解：设8"零件是合格品”，A“第一台车床加工的零件”，则入“第二台

7—1

车床加工的零件”,由题意知：P(A)=],P(A)=§.

(1)由全概率公式得：P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=|x(l-0.03)+1x(l-0.02)=0.973；

(2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率

为：

-X0.02

隔而需=耳嘿詈-2.92-0-25

1

3

9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假设男人女人各占一半.现随机地挑

选一人，求：

⑴此人恰是色盲的概率是多少？

(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大?

(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？

解：设B“色盲患者”，A“随机挑选一人是男人”，由题设知:

1—1—

尸(A)=5,尸(A)=Q,P(BIA)=5%,P{BIA)=0.25%,则

(1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=-x5%+-x0.25%=0.02625；

22

(2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为：

P⑷8)=3=P(A)P⑻田=工=0.952；

P(B)P(B)0.02625

(3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为:

P(Ag)_P(A)P(B|A)_2^/0

P(A\B)=0.4878.

P(B)~l-P(B)-0.97375

10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回),

甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：

(1)甲乙都抽到难签；

(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；

(3)甲乙丙都抽到难签；

(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.

解：设A,B,C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则

437

⑴甲乙都抽到难签的概率为：P(AB)=P(A)P(B|A)=—=—；

(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：

———644

P(M)=P(A)P(B|A)=-x-=-;

(3)甲乙丙都抽到难签的概率为：

4321

产(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|/1B)=—x-x-=—；

(4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：P(A)=—=0.4.

由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：

--4364

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—x-+—x-=0.4.

丙抽到难签的概率为：

P(C)=P(AB)P(C|AB)+P(AB)P(C\AB)+P(AB)P(C\AB)+P(AB)P(C\~AB)

432643463654,

=­x—x—+—x—x-d——x—x-d——x-x—=n0.4.

1098109810981098

得，P(A)=P(B)=P(0=0.4,所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.

11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4,0.5和0.7.若

三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的

概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.

解：设A表示“三人中恰有i人击中飞机”,i=0,1,2,3.8”飞机被击落”.

A。,A],A2,4构成完备事件组，且

P(4)=(l-0.4)x(l-0.5)(l-0.7)=0.09,

P(^)=0.4x(l-0.5)x(l-0.7)+(l-0.4)x0.5x(l-0.7)+(l-0.4)x(l-0.5)x0.7=0.36,

P(?I2)=0.4X0.5X(1-0.7)+0.4X(1-0.5)X0.7+(1-0.4)X0.5X0.7=0.41,

P(A3)=0.4x0.5x0.7=0.14.

由题设知：P(8|4)=O，P(8|A)=O2P(8|4)=O.6,P(B|4)=1.

故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：

尸(8)=P(4)P(B|4)+P(A)P(B|A)+P(A2)P(8|A2)+P(A3)P(8|A3)

=0.09x0+0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458.

12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6,其他条件不变，

再求飞机被击落的概率.

解：设4表示“三人中恰有i人击中飞机”，i=0,1,2,3.8“飞机被击落”.

A。,Ai,4,4构成完备事件组，且由贝努里公式得：

)=C；x0.6°xO.43=0.064,P(4)=C；xO.6xO.42=0,288,

23

P(4)=C}x0.6x0.4=0.432,P(A3)=C/x0.6=0.216.

由题设知：P(5|4)=0,P(B|A)=02,P(3|4)=0.6,P(5|4)=L

故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：

3

P(B)=ZP(4)尸(巾4)

/=0

=0.064x0+0.288x0.2+0.432x0.6+0.216x1=0.5328

13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为

次品的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率为0.03,求：

(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；

(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.

解：设A”产品是合格品”，B“经检查产品被判为合格品”,且由题意知：

P(A)=95%,P(A)=1-95%=5%,P(B|A)=l-0.02=0.98,P(B\A)=0.03.则

(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=95%x0.98+5%x0.03=0.9325；

(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概

率为：

P(A3)_0.95x0.98

P(AB)==0.9984.

P(B)0.9325

14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台

为0.9,第二台为0.8,第三台为0.7,且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小

时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.

解：设A”第冶机床需要看管”,i=\,2,3.”三台机床中最多有一台需

要工人看管”表示为A4+AA4+Aa2A3+A&A，且这4个事件两两互不

相容，由加法与独立性知，所求的概率为：

p(A44+44A+AAA+444)

=p(A&A)+P(A4A)+P(44A)+尸(A4A)

=p(A)p(无)P(4)+P(4)P(4)P(A)+P(4)P(无)P(A)+P(QP(无)p(A)

=0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.34-0.9x0.8x0.7=0.902

15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率

分别是2%,3%,5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率

是多少？

解：设4"第i道工序加工出次品"，i=l,2,3.则加工出来的零件是次品表

示为4+A2+A3,且4,A2,A3相互独立，从而4,可,兄也相互独立.

所求概率为：

P(A+4+4)=I-尸(44%)=1-尸(4)P(4)P(4)

=1-(1-2%)(1-3%)(1-5%)=0.09693.

16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4,

0.6,0.7,求此密码被破译的概率.

解：设A,B,。分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+8+C表示“密

码被破译”，且A，B,。相互独立，从而4瓦不也相互独立，故所求概率为：

P(A+B+C)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)

=1-(1-0.4)(l-0.6)(l-0.7)=0.928.

17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,各在两批中随机取一粒，求:

(1)两粒种子都能发芽的概率；

(2)至多有一粒种子能发芽的概率；

(3)至少有一粒种子能发芽的概率.

解：设A,8分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：

P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A)=1-0.8=0.2,P(B)=1-0.7=0.3.

(1)两粒种子都能发芽的概率为：P(AB)=尸(A)P(B)=0.8X0.7=0.56；

(2)至多有一粒种子能发芽的概率为：

P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B)+P(A)P(fi)+P(A)P(B)

=0.8x0.3+0.2x0.74-0.2x0.3=0.44；

(3)至少有一粒种子能发芽的概率为：

P(AU8)=P(A)+P(B)—P(AB)=P(A)+P(B)~P(A)P(8)

=0.8+0.7—0.8x0.7=0.94.

18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：

(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率pi；

(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p2；

(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率P3.

解：该问题是参数“=0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得：

⑴取出5件样品中恰有2件一级品的概率/?I=C^X0.72X0.33=0.1323；

(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为：

5

P2=£c；X0.7Ax0.35-i=l-CjX0.7°X0.35-C；X0.7X0.34=0.96922；

k=2

(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为：

5

P3=£c：x0.7kXO.35-*=1-Cfx0.7°x0.35=0.99757.

k=l

19.一射手对一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为招，求射手射

击一次命中目标的概率.

.解：设射手射击一次命中目标的概率为P，由贝努里定理知，4次射击中至

少有一次命中目标的概率为：1-(1-p)4,由题设知：

[-(I-/?)"=乎，解得：/?=—.

813

20.一射手对一目标独立地射击，每次射击命中率为p,求射击到第4次时恰

好两次命中的概率.

解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰

有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为:

P=PC；P(1-P)2=3P2(1-p)2.

五、证明题

1.设O<P(3)<1,证明事件A与8相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A|B).

证：必要性设事件A与8相互独立，则P(AB尸P(A)P(B),P(A|8)=P(A),

P(AE)_P(A-AB)_P(A)-P(A)尸(8)

P(A\B)==P(A),

P(囱一]_P(B)—l-P(B)

所以，P(A\B)=P(A\B).

充分性若尸(A|8)=P(A|豆)，则

P(A8)_P(戏)_P(A—A8)_P(A)-P(AB)

P(B)-P(B)-l-P(B)--l-P(B)

对上式两端化简，得：P(45)=P(A)P(B),所以A与8相互独立

2.证明条件概率的下列性质:

(1)若P(5)>0,则0WP(A|8)<1,P(Q|B)=1,P(①|8)=0；

(2)若A与B互不相容，P(C)>0,则尸(AU5|C)=尸(A|C)+P(5|C)；

⑶P(N|B)=1-P(A⑶.

P(AB)

证：(1)因为P(A|B)=,而OWP(AB)〈尸(8),所以，O<P(A|B)<1,

P(B)

且3所鬻嗡“尸"所鬻喘

(2)若A与8互不相容，则AC与也互不相容，从而

P(ACIJBC)_P(AC)+P(BC)

P(AUB|C)==P(A|C)+P(B|C)；

P(C)P(C)

(3)由性质(2)得：P(AUA\B)=P(A\B)+P(A\B),又AU^=C，由性质⑴知,

P(Q|B)=1,所以，P(A|B)+P(Z|B)=1,即P(N|B)=1-P(A|B)

第二章随机变量及其概率分布

一、单项选择题

X012

1.设随机变量X的分布律为

P0.30.20.5

则P{X<1}=

C).

A.0B.0.2C.0.3D.0.5

2.设随机变量X的概率分布为X0123

P0.10.20.3a

则a=

(D).

A.0.2B.0.3C.0.1D.0.4

£x>l

3.设随机变量X的概率密度为/*)=尸,则常数c=

0,x<1

(D).

A.-1B.-C.--D.1

22

6ZX3,鼠”则常数。

4.设随机变量X的概率密度为f(x)=-

(D).

A.B.-C.3D.4

42

5.下列B百数中可作为某随机变量的概率密度日总数的

(A).

粤，x>10。10

—,x>A0

AJxB.vX

0,x<1000,x<0

fl13

-1,0<x<2一，-<x<-

C.D.222

0,其它

.0,其它

6.设函数/(x)在区间[a,句上等于sinx,而在此区间外等于0；若/(x)可以

作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[a,句为(A).

TT7T

A.[0,-]B.[0㈤C.[--,0]D.[0,y]

7.下列函数中，可以作为某随机变量X的分布函数的是(C).

0,x<0

0.5x,x<0

0.3,0<x<l

A.F(x)=B.F(x)=<0.8,0<x<l

0.2,1<x<2

1,x>1

.1,x>2

兀

Q0,x<——

x<02

0.1,0<x<5

C.R(x)=<D.尸(x)=<sinx,——<x<0

0.6,5<x<62

J,x>61,x>0

8.设F(x)是随机变量X的分布函数，则(B).

A.尸(x)一定连续B.F(x)一定右连续

C.F(x)是不增的D.尸(x)一定左连续

9.设/(x)=P(X«x)是随机变量X的分布函数，则下列结论错误的是

(D).

A.F(x)是定义在(-8,+oo)上的函数B.limF(x)—limF(x)=1

X—x—

C.P(a<X<b)=F(b)-F(a)D.对一切实数x,都有0<F(x)<l

10.设随机变量的概率分布为P(X=k)=a(--)k,(k=1,2,3...)，则常数a=(B).

A.1B.-C.2D.--

22

11.已知随机变量X的分布律为

X0123

P0.30.40.10.2

F(x)是X的分布函数，则F(2.5)=(B).

A.0.7B.0.8C.0.1D.1

2x,0<x<1„,

12.随机变量X的概率密度/(》)=甘…，则

0,其它

P{—；WX<；}=(A).

A.-B.-C.-D.-

4324

13.已知随机变量X的分布律为X-1012

P0.10.20.30.4

若随机变量r=x2,则P{Y=\}=

(c).

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.2

14.设随机变量X〜仇4,0.2),则P{X>3}=

(A).

A.0.0016B.0.0272C.0.4096D.0.8192

15.设随机变量X〜N(l,4),Q2X+1,h(C).

A.Ml,4)B.MO,1)C.N(3,16)D.N(3,9)

16.设X〜N(〃,/)，①(x)是N(O,1)的分布函数，则P(a<XWZ?)=(D).

A.①(份-①(a)B.①(。)+①(a)

cs(—A-0(-D.a)(—―)-^(———)

a~a~<7(J

17.设X〜N(-l,4),①(x)是N(0,1)的分布函数，则P(-2<X<0)=(A).

A.2①(；)一1B.(D(O)-0>(-2)C.①(2)-；D.0>(2)-0)(0)

18.设X〜N(0,1),o(x)是X的概率密度函数，则°(0)=(C).

A.0B.0.5D.1

19.设X服从均匀分布U[0,5],Y=3X+2,则V服从(B).

A.U[0,5]B.U[2,17]C.U[2,15]D.U[0,17]

20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件

该商品，用随机变量X表示中奖的件数，则X的分布为(D).

A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布

21.设X服从参数4=2的泊松分布，F(x)是X的分布函数，则下列正确的选

项是(B).

A.尸⑴=/B.F(0)=e-2

C.P(X=0)=P(X=l)D.P(X<1)=2e~2

2

22.设X服从参数4的泊松分布，且尸(X=1)=§P(X=3),则4=(C).

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

1.若P(X4/)=1一/，P(Xi』)=1-a,其中修。2,则P(F«xVw)=1•

2.设随机变量X的概率分布为X-2012

P0.10.20.30.4

记y=x2,则p(y=4尸”.

3.若x是连续型随机变量，则P(X=1)=&

4.设随机变量X的分布函数为A(x),已知尸(2)=0.5,F(-3)=0.1,则

P(-3<X<2)=04.

5.设随机变量X的分布函数为F(x)上「J力，则其密度函数为.

0,x<0

6.设连续型随机变量X的分布函数为尸(x)=<sinx,0<x<y,其密度函数为

1,x>-

I2

/(%),则.椁=12

6

1_p-XV>0

7.设随机变量X的分布函数为尸(x)='，则当x>0时，X的概率密

0,x<0

度f(x)=1..

8.设随机变量X的分布律为

X012

P0.40.20.4

则P(0WX41)=/.

9.设随机变量X〜N(3,4),则P(4<X<5)=0.148.

(其中①⑴=0.8413,0(0.5)=0.6915)

10.设随机变量X服从参数为6的泊松分布，写出其概率分布律P(X=K)=6K/K!

K=0,1,2,3.

1L若随机变量X〜以4,0.5),则P(X>1)=15/16.

12.若随机变量X〜U(0,5),且y=2X,则当0<y<10时，丫的概率密度：(v)=l/10.

13.设随机变量XTV(0,4),则P(X>0)=05.

14.设随机变量x-u(-i,1),则p(|x区;)=".

15.设随机变量X在［2,4］上服从均匀分布，则P(2<X<3)=05.

16.设随机变量X〜M-1,4),则丫="工〜N(0,1).

17.设随机变量X的分布律为P(X=Z)=f,%=0,1,2,…，则。=羽.

18.设连续型随机变量X的概率密度为/(%)=［丘+L则公文2.

0,其它

19.若随机变量X〜M1,16),Y=2X-\,则y~N(l,64).

20.若随机变量X〜U(l,6),Y=3X+2,则丫〜U(5,20).

三、计算题

0,x<0

1.设连续型随机变量X的分布函数为尸(x)=♦f,0<x<l,求X的概率密度

1,x>\

函数.

解：由分布函数与概率密度函数之间的关系F'(x)=/(x)知，当04<1时，

f(x)=(x2Y=2x,

当或xWO时，/(x)=0,所以，X的概率密度为/(尤)=1/

0,算c匕

2.设X服从参数〃=0.2的0-1分布，求X的分布函数及P(X<0.5).

解：X的分布律为

X01

P0.80.2

当x<0时，F(x)=P(X<x)=Q；

当0<x<l时，F(x)=P(X<x)=P(X=0)=0.8；

当xNl时,F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)=0.8+0.2=1.

0,x<0

所以，X的分布函数为尸")={o,8,0<x<l；而P(X〈0.5尸尸(X=0)=0.8.

1,x>1

3.设随机变量X~U(a,8)，求X的密度函数与分布函数.

解：X的密度函数为〃x)=分布函数/(%)=「/⑺山,

J—O0

0,其它

当x<a时，F(x)=「f(t)dt=「0力=0；

J—ooJ-co

当〃<x<b时，F(x)=「f(t)dt=[Odt+「---dt=---

J-LLb-ab-a

当xN/?时，F(x)=f=[Odt+「一^—dt+「Odt=1.

J-0®J-8Jab-aJb

0,x<a

所以，X的分布函数为尸(x)=|士3a<x<b.

b-a

1,x>h

4.设随机变量X~N(3,4),求：⑴尸(2<X<3)；⑵P(-4<X<10)；(3)P(|X|>2)；

(4)P(X>3).

解：⑴P(2<X<3尸F(3)-22)=①(言)一①=①(°)一①(一0・5)

=0>(0)-[1-0)(0.5)]=0.1915；

10-3-4-3

(2)P(-4<X<10)=F(10)-F(-4)=<D(—^―)-<D(^—)

=①(3.5)-O(-3.5)=20)(3.5)-1=0.9996；

(3)P(|X|>2)=1-P(|X\<2)=1-P(-2<X<2)=l-[F(2)-F(-2)]

2—3—2—3

=l-[<D(-y^)-①(=①(0.5)-①(2.5)+1=0.6977；

(4)P(X>3尸