二次函数与一元二次方程不等式教学设计高三数学一轮复习

二次函数与一元二次方程、不等式【课标要求】为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备。知识技能方面：一元二次方程的求解、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程实根的分布、二次函数的图象性质应用、一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式解法教学目标：掌握二次函数，会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等式，了解简单的分式、绝对值不等式的解法，掌握常见不等式的解法理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性教学重点：二次函数图象性质的应用，一元二次不等式的解法，一元二次方程实根的分布。教学难点：二次函数与一元二次方程、不等式联系及应用教学过程：一.知识梳理：1.一元二次方程的解集及其根与系数的关系(1)一元二次方程的解集利用配方法，总可以将ax²+bx+c=0(a≠0)化为(xk)²=t的形式，即：ax²+bx+c=0_____________其中△=b²4ac,则ax²+bx+c=0(a≠0)的解集为_________;2ax²+bx+c=0(a≠0)的解集为_________;ax²+bx+c=0(a≠0)的解集为_________;(2)一元二次方程根与系数的关系当一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时，方程的解记为x1,x₂,则有二次函数的图像和性质一般式：y=ar²+bx+c顶点式：y=a(xh)²+k交点式：y=a(xx₁)(xx2)yxbxb对称轴直线顶点时，y随x增大而减小时，y随x增大而增大时，y随x增大而增大时，y随x增大而减小.时，y有最大值，3.二次函数在闭区间上的最值问题二次函数y=ax²+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最大值为M,最小值为m,其中对称轴为，区间[p,q]的中点。(4)若4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)的解集5.分式不等式的解法(1)(2)6．绝对值不等式的解法(1)三角不等式:||a||b||≤|a±b|≤|a|±|b|.(2）绝对值不等式的解法:;(3).|xal+|xb|<c(c>0)的解法:先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于0的未知数的值,再将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,最后讨论每个绝对值符号内的式子在每个区间上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含绝对值的不等式去求解,这种方法叫零点分段法。(4).|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]²>[g(x)]²;|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔g(x)<f(x)<g(x);|f(x)|>g(x)(g(z)≥0)⇔f(x)<g(x)或f(x)>g(x);7、一元二次不等式恒成立问题(1)在R上恒成立一元二次不等式在R上恒成立问题的题型及求解策略一元二次不等式(a≠0)对任意实数x恒成立的条件ax²+bx+c>0a>0且△<0ax²+bx+c≥0a>0且△≤0ax²+bx+c<0a<0且△<0ax²+bx+c≤0a<0且△≤0(2)在某范围内恒成立解决一元二次不等式在某范围内恒成立问题,可结合二次函数的图象进行求解.设f(x)=ax²+bx+c(a≠0).1)确定形如当a≤x≤b时,f(x)>0或f(x)<0的不等式中x的范围时,常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2)确定形如当a≤m≤b时,f(x)>0或f(x)<0的不等式中x的范围时,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.8.一元二次方程根的分布(1)一元二次方程根的0分布方程的根相对于零的关系:比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。0分布结合判别式,韦达定理以及0处的函数值列不等式,即可求出参数的取值范围。(2)一元二次方程根的k分布两根都小于k即两根都大于k即一根小于k,一大于k即yykkkkx二．考点强化考点一：一元二次方程命题点1：一元二次方程的求解及根与系数关系应用例1.（1）（人教B版必修1P49页例1）求方程x2—1=0的解集.（2）已知一元二次方程2x²+3x一4=0的两根为x1与x2,求下列各式的值。①②跟踪练习1:（1）求下列方程的解集:①2x⁴7x²+3=0;②(x²+x)²+x²+x=30(2)设是关于m的方程的两个实根，则的最小值是______命题点2：一元二次方程实根分布例2.①已知关于x的方程x²(m+3)x+m+3=0有两个不相等的正实数根，求实数m的取值范围。②方程有一根大于1，另一根小于1，求实数m的取值范围。跟踪练习2:①已知函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m1有一个零点在区间(0,1)内，求实数m的取值范围.②方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，求实数m的取值范围。考点二：二次函数的考查命题点1二次函数的解析式例3.已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，且图像被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式。方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：跟踪练习3：（1）二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.求f(x)的解析式；（2）若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，求函数解析式f(x).命题点2二次函数的图象与性质例3.设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()方法总结：研究二次函数图像应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.例5.已知函数f(x)＝x2－tx－1.(1)若f(x)在区间(－1,2)上不单调，求实数t的取值范围；(2)若x∈[－1,2]，求f(x)的最小值g(t)．延伸探究：本例条件不变，求当x∈[－1,2]时，f(x)的最大值G(t)．方法总结：二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解。跟踪练习4：（1）.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1,0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是________．(填序号)①当x>3时，y<0；②4a＋2b＋c＝0；③－1≤a≤－eq\f(2,3)；④3a＋b>0.（2）已知f(x)＝ax2－2x＋1.①若f(x)在[0,1]上单调，求实数a的取值范围；②若x∈[0,1]，求f(x)的最小值g(a)．考点三：一元二次不等式命题点1：一元二次不等式的解法例6.(1)（教材必修1P55第3题）已知M={x|4x²4x15>0},N={x|x²5x6>0},求M∩N,MUN.(2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．延伸探究在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．方法总结：对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪练习5：(1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的有______①a>0；②不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}；③不等式cx2－bx＋a<0的解集为④a＋b＋c>0.(2)解关于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0.命题点2：一元二次不等式恒(能)成立问题例7.设函数（1）若对于一切实数x,恒成立，求m的范围;;(2）若对于恒成立，求m的范围;(3)若对于恒成立，求x的范围方法总结:①；②含参数的一元二次不等式在某区间恒成立问题，常用的两种方法：一是利用二次函数的最值来处理；二是先分离参数，再求函数的最值处理要有“主元”思想跟踪练习6：（1)（教材必修1P58第6题)当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立?已知关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是___;当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是_______.考点四：分式不等式及绝对值不等式的解法例8.解下列不等式:(1);(2)|12x|<2.(3)|x－5|＋|x＋3|≥1跟踪练习7：①已知关于x的不等式的解集是,求a的值②若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|，存在实数解，则实数a的取值范围是______三．课堂小结：(1)请梳理总结本节课知识点有哪些？（2）利用三个二次解题时应注意什么问题？四．课后作业：1.函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A.3B.2C.1D.02.对已知函数.若，=1－a， A.B.C. D.的大小不能确定3.已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值区间是()A.B.(0,1)C.D.4.二次函数的图像如图所示，记，则M与N的大小关系是_________________5.设函数在上有最大值求实数a的值。6.若不等式对一切实数x均成立，求实数a的取值范围。7.设(1)求证：函数与图像有两个交点；(2)设与图像交于A,B两点，A,B在x轴上射影为A1,B1，求的取值范围；(3)求证：当时，恒有8.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。(1)若方程有两个相等的根，求的解析式；(2)若的最大值为正数，求的取值范围。9.如图所示，某学校要在长为8m,宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划