专题01平面及其基本性质（原卷版）

【原卷版】专题01平面及其基本性质本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养；因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型；．一、《必修第二册》目录与内容提要【本章教材目录】第10章空间直线与平面10.1平面及其基本性质10.1.1空间的点、直线与平面；10.1.2相交平面；10.1.3空间图形的平面直观图的画法；10.2直线与直线的位置关系10.2.1空间的平行直线；10.2.2异面直线；10.2.3两条异面直线所成的角；10.3直线与平面的位置关系10.3.1直线与平面平行；10.3.2直线与平面垂直；10.3.3直线与平面所成的角；10.3.4三垂线定理；10.4平面与平面的位置关系10.4.1平面与平面平行；10.4.2二面角*10.5异面直线间的距离【本章内容提要】1、立体几何中的公理及其推论（1）公理1如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上；（2）公理2不在同一直线上的三点确定一个平面；推论1一条直线和这条直线外的一点确定一个平面；推论2两条相交直线确定一个平面；推论3两条平行直线确定一个平面；（3）公理3如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（4）公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行；2、直线与直线的位置关系（1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面；（2）等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等；推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；（3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线；（4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线；（5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角；3、直线与平面的位置关系（1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行；（2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行；（3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直；（4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直；（5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直；推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直；（6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；（7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直；4、平面与平面的位置关系（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小；（4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直；*5、异面直线间的距离（1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交；（2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离；1、平面文字语言符号语言图形语言平面1、平面α，平面β等；2、平面ABCD；3、平面AC或平面BD；2、点、直线、平面之间的位置关系文字语言符号语言图形语言点A在直线l上，也称直线l经过A点A∈l点A在平面α上，也称平面α经过点AA∈α③直线l在平面α内l⊂α④直线l，m相交于点Al∩m＝A⑤点A不在直线l上，也称直线l不经过点AA∉l⑥点A不在平面α上，也称平面α不经过点AA∉α⑦直线l不在平面α上也称平面α不经过直线l*l⊄α⑧平面α，β相交于直线lα∩β＝l3、公理1文字语言符号语言图形语言如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α4、公理2及其推论文字语言符号语言图形语言不在一条直线上的三点确定一个平面A，B，C三点不共线⇒确定一个平面α使A，B，C∈α推论1经过一条直线和直线外一点确定一个平面A∉a⇒确定一个平面α，使A∈α，且l⊂α推论2经过两条相交直线确定一个平面a∩b＝P⇒确定一个平面α，使a⊂α，且b⊂α推论3经过两条平行直线确定一个平面a∥b⇒确定一个平面α，使a⊂α，且b⊂α；5、公理3文字语言符号语言图形语言如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线;P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l6、斜二测画法画水平放置的正方形的直观图文字语言图形语言①建立恰当的坐标系xO'y，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点，作出坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45º(或135º)②首先画与坐标轴平行或在坐标轴上的线段(平行性不变)，与x轴平行（含x轴上）的线段长度不变，与y轴平行（含y轴上）的线段长度减半;③与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段。7、斜二测画法画出长方体的直观图文字语言图形语言已知长方体的长、宽、高ABCDA′B′C′D′分别为3cm、2cm、1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图；[画法]（1）画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy=45°，∠xOz=90°；（2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm;在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图；（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB'，CC'，DD'；（4）成图.顺次连接A′，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了；题型1、准确把握空间点、线、面的关系例1、（1）下列说法中正确的是()①几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的；②空间中并没有孤立的点、线、面，它们只是作为几何体的组成元素而共存于几何体中；③几何中画出的点，不考虑它的大小，画出的线，不考虑它的粗细，画出的面，不考虑它的厚度和面积；④任何一个平面图形都是一个平面；A．①③ B．②③C．①②③ D．①②③④（2）下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面）：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.其中，叙述方式和推理都正确的命题的序号是________．【说明】1、空间中最基本的位置关系有哪些？【解析】在空间中，点可看作元素，直线和平面可看作点的集合，点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系．平时可借助笔、书本来演示它们的位置关系；2、在几何体中应仔细观察点、线、面之间的位置关系，结合位置关系的定义进行判断，不可凭感觉解题；题型2、准确进行三种语言间的相互转化例2、（1）点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为()A．P⊂l⊂α B．P∈l∈αC．P⊂l∈α D．P∈l⊂α（2）用符号语言表示下列语句，并画出图形．①三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC；【说明】三种语言：解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言；文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚；题型3、准确理解平面的概念例3、（1）下列叙述中，一定是平面的是()A．一条直线平行移动形成的面B．三角形经过延展得到的面C．组成圆锥的面D．正方形围绕一条边旋转形成的面（2）下列说法中正确的是________．①平行四边形是一个平面；②到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆；③直线平行移动，可以形成平面或曲面；④空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．【说明】平面是一个原始概念，它是从生活中抽象出来的，具有以下特点：①平面是绝对平的；②平面具有无限延展性；③平面没有厚薄；题型4、理解与证明共面问题例4、（1）下列说法正确的是()①任意三点确定一个平面②圆上的三点确定一个平面③任意四点确定一个平面④两条平行线确定一个平面A．①②B．②③C．②④D．③④（2）已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：a、b、l共面．【说明】证明线共面问题，一种思路是先确定一个平面，再证明其他直线都在这个平面内；另一种思路是先由一部分直线确定一个平面α，另一部分直线确定平面β，再证明α与β重合即可；题型5、点共线问题例5、（1）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，这样的空间图形叫空间四边形)各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图所示；求证：点B，D，P在同一条直线上．（2）已知三角形ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．【说明】证明多点共线问题常用思路：1、证明这些点分别在两个相交平面内，根据公理3知，它们一定在两个平面的交线上；2、先由其中两点确定一条直线，再证其它点也在此直线上；题型6、线共点问题例6、（1）在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上（2）已知平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．【说明】三线（或若干条线）共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点；题型7、水平放置的平面图形的直观图的画法例7、（1）如图所示，在三角形ABC中，BC＝8cm，BC边上的高AD＝6cm，试用斜二测画法画出其直观图；（2）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图．【说明】1、画直观图建坐标系时，要使平面图形尽可能多的顶点落在坐标轴上，方便画点．建系不合适，会导致下一步画图时比较麻烦；2、原图中的某些点若既不在坐标轴上，也不在与坐标轴平行的直线上时，我们可经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点；题型8、立体图形的直观图的画法例8、（1）画出底面是边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图．（2）用斜二测画法画出棱长为2cm的正方体ABCDA'B'C'D'的直观图;【说明】画立体图形的直观图关键是画好底面的直观图，再画出相应的侧棱．直观图中被遮挡的部分画成虚线；题型9、直观图还原问题例9、（1）已知斜二测画法得到的直观图三角形A′B′C′是正三角形，画出原三角形的图形．（2）如图所示是水平放置的某四边形OABC的直观图，其中A′(2，0)，B′(1，1)，C′(0，1)，O′(0，0)，试判断该四边形的形状，并求其面积．【说明】由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法步骤相似，注意角度的改变，长度的变化，平行性不变．由本题可得到结论：“水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的eq\f(\r(2),4)”；题型10、依据公理画平面的交线例10、（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线；（2）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．

题型11、依据公理画截面与相关计算例11、（1）如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．（1）过点G及AC；（2）过三点E，F，D1.（2）如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为．题型12、依据公理进行探究例12、（1）三个互不重合的平面把空间分成n部分，则n所有可能的值为（2）如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么，平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．1、直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________个．2、点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点有________个．3、有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和