第03讲集合的运算（3个知识点5种必考题型强化训练）

第03讲集合的运算（3个知识点+5种必考题型+强化训练）课程标准学习目标1.交集的运算（必考）2.并集的运算（常考）3.补集的运算（常考）4.交、并、补混合运算（常考）1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)3.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)5．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）知识点01：交集及其性质（重点）交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即①；②，；③；④；⑤若，则；可以用文氏图直观地反映A∩B的几种不同情况（１）表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况，此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集；（２）表示集合A是B的子集的情况，此时A∩B＝A；（３）表示集合A与B没有公共元素的情况，此时A∩B＝∅．【即学即练1】若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，则A∩B＝．【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，则A∩B＝{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}．知识点02：并集及其性质（重点）并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即；②，；③；④；⑤若，则；可以用文氏图直观地反映A∪B的几种不同情况，如图其中阴影部分表示A∪B．（１）表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况，此时A和B都是A∪B的真子集（２）表示集合A是B的子集的情况，此时A∪B＝B（３）表示集合A与B没有公共元素的情况【即学即练2】已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2+x＝0}，则M∪N＝．【解答】解：集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2+x＝0}＝{﹣1，0}，则M∪N＝{﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．知识点03：全集、补集及其性质（重点）1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作符号语言＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言UUA【即学即练3】（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设全集，，则___________【答案】【详解】全集，，则题型01交集概念及其应用【解题策略】1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：(1)定义法，(2)数形结合法．2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．【例1】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3 D．2【答案】(1)A(2)D【解析】(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故选D.【变式11】（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．【变式12】．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）设集合，，若，则的取值范围是________．【答案】【详解】，，，故.【变式13】（2022·上海·高一专题练习）记P＝{a|a是等腰三角形}，T＝{b|b是至少有一边为1，且至少有一内角为30°的三角形}，则P∩T的元素有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【详解】①若该三角形只有一边为1，另两边相等且都大于1或都小于1，这样的等腰三角形有2个；②若该三角形有两边为1，两个底角为30°或75°，这样的等腰三角形有2个；所以P∩T的元素有4个．题型02并集概念及其应用【解题策略】求集合并集的两种基本方法1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.【例2】(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}【答案】(1)D(2)A【解析】M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．【变式21】（2022·上海·高一专题练习）已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个.【答案】16【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}，所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为，【变式22】（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）集合，集合，则集合的子集个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【详解】解：由题意得：集合集合子集的个数为，，，，，，，故集合的子集个数为8个.【变式23】已知，若，求实数的值.【答案】.【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得【详解】因为中，且两根之积为，又，故，所以，则，由上知：，所以，代入得，显然满足.所以.题型03集合交、并运算的性质及综合应用【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．[思路点拨]eq\x(A∪B＝A)eq\o(→,\s\up15(等价转化))eq\x(B⊆A)eq\o(→,\s\up15(分B＝∅和B≠∅))eq\x(建立k的不等关系)eq\o(→,\s\up15(求交集))eq\x(得k的范围)[解](1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).综合(1)(2)可知k≤eq\f(5,2).【变式31】（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设集合，，集合，则实数的值为_____．【答案】1或3或4.【详解】由解得或，所以，由解得或，（i）若，则，满足；（ii）若，则，因为，所以或，综上实数的值为1或3或4.【变式32】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________.【答案】【详解】因为，所以，若即，则，满足题意；若即，因为，所以解得，综上，实数的取值范围是，【变式33】（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则_________．【答案】【详解】，即或又，即或又因为所以且又因为所以或所以只有成立，所以是方程的根，即故，即所以或当时，方程变为所以不满足，故不符合题意舍去.当时，方程变为所以满足，和，满足题意.题型04补集的运算【解题策略】求集合的补集的方法1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.【例4】(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，{2,4,6}，＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则________.【答案】(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}【解析】(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，，{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知{x|x<－3或x＝5}．【变式41】（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）设全集，集合，则．【答案】【分析】先求出全集，然后可求出集合的补集【详解】因为，，所以，故答案为：【变式42】（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设全集，集合，若，则实数;【答案】【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可.【详解】因为，故，即，故，解得或；当时，，满足条件；当时，，不满足条件；故.故答案为：【变式43】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，.若全集，求；【答案】或【分析】根据补集得定义即可得解；【详解】解：由，得或；题型05集合交、并、补集的综合运算【解题策略】解决集合交、并、补运算的技巧1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.【例51】（2022秋•徐汇区校级期中）设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分．【解答】解：阴影部分在集合A中或在集合B中，但不在A∩B中即在A∩B补集中；故阴影部分表示的集合是∁U（A∩B）∩（A∪B），故答案为∁U（A∩B）∩（A∪B）．【例52】已知全集，集合，满足，，，则集合__________．【答案】【详解】已知，，所以集合A中至少有2，4，6，集合B中没有2，4，6，因为，，所以集合A中没有5，7，9，集合B中有5，7，9，集合A、B中没有0，1，10，综上，集合A中没有5，7，9，1，10，集合B中没有2，4，6，1，10，所以．【例53】（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）设全集，集合，，(1)求；(2)求．【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）集合.因为，所以.（2）因为集合，，所以,所以或.【变式51】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）设全集为，集合，，则=________.【答案】【详解】，故.【变式52】（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知全集．若集合、满足，，则________．【答案】【详解】说明；说明，所以.或解：【变式53】已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数为个．【答案】【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，又中有个元素，故中有个元素；法二：因为有个元素，又全集中有个元素，故的元素个数个．故答案为：.一．选择题（共6小题）1．（2022春•宝山区校级期末）满足条件，3，，3，5，7，的所有集合的个数是A．4个 B．8个 C．16个 D．32个【分析】根据集合并集的定义“由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解即可．【解答】解：，3，，3，5，7，，且的集合可能为，或，7，或，7，或，7，或，3，7，或，5，7，或，5，7，或，3，5，7，故选：．【点评】本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．2．（2022秋•浦东新区校级月考）设为合数，为质数，表示自然数集，若满足，则这样的集合A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个【分析】由题意中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，由此能求出结果．【解答】解：设为合数，为质数，表示自然数集，中只比中少两个元素：0和1，满足，中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，这样的集合有无数个．故选：．【点评】本题考查满足条件的集合个数的判断，是基础题，解题时要熟练掌握并集的性质．3．（2022秋•普陀区校级期中）若集合不是集合的子集，则下列结论中正确的是A． B． C． D．【分析】根据集合的定义与性质，计算即可．【解答】解：集合不是集合的子集，，．故选：．【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题．4．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是A． B． C．， D．【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，能求出的取值范围．【解答】解：集合或，集合，，，当时，，满足要求；当时，，由，得，解得，；当时，，由，得，解得，．综上，的取值范围是．故选：．【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2023秋•嘉定区校级期中）已知全集中有个元素，中有个元素，若非空，则的元素个数为A． B． C． D．【分析】根据交集的运算求解即可．【解答】解：由题意得，，即，全集中有个元素，中有个元素，非空，则的元素个数为．故选：．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．6．（2022秋•黄浦区校级期中）已知全集为，对任意集合，，下列式子恒不成立的是A． B． C． D．【分析】举例说明错误，分类分析正确即可．【解答】解：取，则对任意集合，都有，故错误；取，则对任意集合，都有，故错误；取，则，故错误；对于，若，，则，，；若，，则，，；若，则，，；若，如图，则，，；若，如图，则为图中阴影部分，为图中非阴影部分，；若，如图，则为图中阴影部分，为图中非阴影部分，；若，如图，则，，．综上所述，恒不成立．故选：．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查分类讨论与数形结合思想，是中档题．二．填空题（共11小题）7．（2023秋•奉贤区期中）已知集合，，则．【分析】应用集合的并集的定义计算求出集合即可．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】本题考查了并集的运算，是基础题．8．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合，0，1，2，，集合，则．【分析】由集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合，0，1，2，，集合，则．故答案为：．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．9．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】题中条件：“A∩B≠∅，”表示两个集合的交集的结果不是空集，即可求解实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，因为A∩B≠∅，所以a≥1故答案为：[1，+∞）【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法，考查运算能力，是基础题．10．（2023秋•普陀区校级期中）已知全集，集合，，则．【分析】根据已知条件，先求出并集与补集的定义，即可求解．【解答】解：由题设或，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查并集、补集的运算，属于基础题．11．（2023秋•长宁区校级期中）已知集合，，且，0，，则的值为．【分析】根据一元二次方程以及韦达定理分析求解．【解答】解：设方程的根为，，方程的根为，，可知，，，，0，，且且，分析可知：方程的根为，2，方程的根为0，2，即，，，，满足，0，，符合题意，可得，解得，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．12．（2024春•黄浦区校级期末）设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则，4，7，．【分析】由已知求得与，再由交集运算得答案．【解答】解：，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，，，则，4，7，．故答案为：，4，7，．【点评】本题考查交集与补集的混合运算，是基础题．13．（2023秋•普陀区校级期末）已知集合，，，，，且，则的取值为3．【分析】根据即可得出，从而可得出或3，然后验证所得的值是否满足题意即可．【解答】解：，，或，解得或3，①时，，3，，不满足集合元素的互异性，应舍去；②时，，7，，，1，，满足题意；．故答案为：3．【点评】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．14．（2023秋•嘉定区校级期末）设全集，，，4，6，，则，1，3，．【分析】先求出全集，再结合补集的定义，即可求解．【解答】解：全集，，1，2，3，4，5，6，，则，4，6，，故，1，3，．故答案为：，1，3，．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．15．（2023秋•普陀区校级期中）已知集合，2，3，，，，满足，2，3，，则实数的值为或或0．【分析】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可．【解答】解：因为，2，3，，所以或或，若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求；若，解得或，经验证都符合要求；若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合，所以或或或．故答案为：或或0．【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．16．（2023秋•徐汇区校级期中）设全集为，2，3，4，5，6，，，3，5，，，3，，则，．【分析】由补集与交集运算可得．【解答】解：由全集，2，3，4，5，6，，，3，，则，又，3，5，，则．故答案为：，．【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．（2023秋•浦东新区校级期中）定义一种集合运算为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用运算和、、，可以表示下列集合中的①②③（填序号）①；②；③．【分析】根据新定义运算逐个判断即可．【解答】解：由定义知的意义是集合的补集与补集的并集，即，则或，或，所以或或，所以，综上，，，．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，解题关键是分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求解决问题，属于中档题．三．解答题（共6小题）18．（2023秋•杨浦区校级期末）已知全集，集合，．求