现代控制理论全套教案

·现代控制理论(ModernControlTheory)·控制理论发展趋势(TrendofDevelopmentofControlTheory)·经典控制理论在20世纪30-40年代，初步形成。在20世纪40年代形成体系。现代控制理论的形成和发展Formationand在20世纪50年代形成上世纪60年代末至80年代迅速发展。1970——1980大系统理论控制管理综合1980——1990智能控制理论智能自动化1990——21c集成控制理论网络控制自动化企业：资源共享、因特网、信息集成、信息技术+控制技术(集成控制技术)计算机集成制造CIMS:(工厂自动化)现代控制理论研究的对象非线性系统(Nonlinearsystems)多变量系统(Multivariablesystems)连续与离散系统(Continuous/discretetimesy线性系统理论(TheoryofLinearSystems)非线性系统理论(TheoryofNonlinearSystems)最优控制(OptimalControl)系统辨识(SystemIdentification)自适应控制(AdaptiveControl)现代控制理论研究的方法研究系统输入/输出特性和内部性能(Input/outputpropertiesofsystem5现代控制理论与经典控制理论的对比共同分析：研究系统的原理和性能设计：改变系统的可靠性(综合性能)研究对象：单入单出(SIS0)系统，线性定常工具：传递函数(结构图),已有初始条件为零时才适用试探法解决问题：PID串联、超前、滞后、反馈研究对象：多入多出(MIMO)系统、线性定常、非线性、时变工具：状态空间法、研究系统内部、输入一状态(内部)一输出改善系统的方法：状态反馈、输出反馈第一章控制系统的状态空间表达式本章内容·状态变量及状态空间表达式·状态空间表达式的模拟结构图·状态空间表达式的建立(1)状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换时变系统和非线性系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。y₁y₁u₃—u1.1状态变量及状态空间表达式状态变量(Statevariables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x₁(),x₂(1),…,xn(0)x(0)²=[x(1),x₂(1),x,(1)·状态轨迹：在特定时刻t,状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x(t)将在状态空间描绘出一条轨迹线。·由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。例1.1设有一质量弹簧阻尼系统。试确定其状态变量和状态方程。解：系统动态方程状态方程的标准形式：x(t)=Ax(t)+Bu(t)(A:系统矩阵B:输入矩阵)输出方程(Outputequation)系统的输出量与状态变量之间的关系状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为的完整描述。x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)y(t)一输出向量u(t)一输入向量状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为的完整描述。状态空间表达式的系统框图x(t)=Ax(t)+Bu(t)cTAMByx(t)=Ax(t)+Bu(t)DDCAB1.2状态空间表达式的模拟结构图用来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。用模拟结构图代替模拟计算机的详细模拟图。根据所给的输出方程，画出相应的加法器、比例器和状态变量；积分器的数目应等于状态变量个数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量；根据所给的状态方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。微分方程模拟结构图Ub十x十Ja微分方程x+a₂x+a₁x+a₀x=bux=-a₂x-a₁x-a₀x-bu模拟结构图义义SbJJxxu1.3状态空间表达式的建立(1)用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。建立表达式三个途径：由系统传递函数方块图来建立；从系统的物理或化学的机理出发进行推导；由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。从系统框图出发建立状态空间表达式●将系统传递函数方块图的各个环节变换成相应的模拟图；●把每个积分器的输出选作为一个状态变量x,,其输入便是相应的x,;例1-4系统传递函数方块图如图所示，输入为u,输出为y。试求其状态空间表达式。22十K4y从图可知状态方程输出方程写成向量矩阵形式，系统的状态空间表达式为各环节的模拟结构图如图所示S上JT1TS十+u从系统的机理法出发建立状态空间表达式对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系统的状态空间表达式，步骤如下：1)确定系统输入、输出和状态变量；2)列出方程；3)消去中间变量；4)整理成标准的状态和输出方程。解：根据基尔霍夫定律写出回路、节点电压和电流方程状态变量选为将状态变量代入，并整理写成矩阵形式y=[0R₂0]x+[01]ux=Ax+Bu1.4.1n阶常系数微分方程(单入单出)相应的传递函数为问题：将上式转换成状态空间表达式1.4.2传递函数中没有零点的实现n阶常系数微分方程(单入单出)y(m)+a-1·y"-1)+..+a₁·y+a₀u一输入y一输出相应的传递函数为建立x方程ym)=-a₀y-a₁y-.…-an-1y⁰-1x=Ax+BuB具有这种形式，则称为能控标准型。系统输出方程结构图+十+十Xn能控标准型，能控性：是控制作用u(t)支配系统x(t)的能力状态方程和输出方程(模拟结构图)十十6S6状态变量的选择不唯一，选择的不同状态空间表达式也不同。例：求系统y+6y+1ly+16y=6u的状态空间表达式。x₁=y+6y+1ly=6u-16y=6模拟结构图uux₁X₁y一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导数x₁=y-β₀u→y=x₁+β₀ux₂=y-β₀u-βu→y=x₂+β₀u+βux₃=y-βoü-βu-β₂u业y=x₃+βoü+β₁u+β₂uxn=y(n-1)-βu(2-1)-β₁u(n-2)_…-βn-1u业y(m)=-an-1x,-an-2xn-1-…-a₁x₂-a₁(β₀u+β₁u)-a₀β₀u+b,u(”+b₀_1u(0-β₀=bβ₁=b₀-1-an-1β₀β₂=bn-2-an-2β₀-an-1β₁βn-1=b₁-an-1βn-2-an-2βn-3-…-a₁β₀βn=b₀-a-1βn-1-an-2βn-2-…-a₁β₁-a₀β₀最后可得系统的状态方程：可写成矩阵的形式：x=Ax+Buy=Cx+Du解：由于n=3,b₃=0,b₂=1,b=1,b₀=3a₀=1,a₁β₁=b₂-a₂β₀=1β₂=b₁-a₂β₁-a₁β₀=-3β₃=b₀-a₂β₂-a₁β₁-a₀β₀=13状态空间表达式为1.5状态矢量的线性变换1.5.1系统状态空间表达式的非唯一性T为线性变换(矩阵T非奇异),带入上式，得：z=T-¹ATz+T-¹Bu=Az+Buy=CTz+Du=Cz+Du则有A=T-¹ATB=T-¹BC=CTD=D(显然，由于T为任意非奇异矩阵，所以，状态空间表达式为非唯一。T称为变换矩阵)例设系统状态空间表达式为z=T-'ATz+T-¹Bux=Ax+Buy=Cx+Du的特征值就是系统矩阵A的特征值，即特征方程：z=T-¹ATz+T-¹Buy=CTz+Du|AI-T-¹Ar|=|aT-T-T-¹Ar=T-¹λT-T-¹AT1.5.3状态变量表达式变化为约旦标准型问题：将系统x=Ax+Buy=Cx+Du转换成y=CTx+DTu根据系统矩阵A,求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准矩阵J。当特征值无重根时，有当特征值有q(1<q<n)个λ重根时，有几种求T得方法：1)A矩阵为任意形式(1)A矩阵的特征根无重根时对线性定常系统，若系统的特征值两两互异，则必存在非奇异变换，将状态方程化为对角线标准型。实际上，AT=[APAP₂…AP]=[z₁PA₂P₂…λ,P]例：设系统状态空间描述为解：由上例中已求出(2)A矩阵的特征根有重根时如果系统矩阵A有重根，且A的线性独立的特征向量数等于系统的阶数n,则可将其化为对当A有重根时，经线性变换一般可将A化为约当标准型J,矩阵J是主对角线上均为约当块T-¹AT=J=diag(J₁,J₂,…,J将A标准定T-¹AT=J→AT=TJ=AP=PJ₁→AP,=P,J令AP,=P,J;⇔例设系统状态方程为第3个方程不独立，令P=1,得又由(第3个方程不独立)第3个方程不独立，令Pi=1,得2)A矩阵为标准型A的特征值两两相异，则化A为对角线标准型的变换阵T为范德蒙德(Vandermonde)矩阵，即P₁=[pn…pm]将其写为：λ₁Pi₂-Pi₃=0λ₁P;,n-1-Pm=0a,P₁+an-1Pi₂+…+a₂P,m-1+(令λ₁Pi₂-Pi₃=0λ₁P;n-1-Pm=0a,Pi+an-1Pi₂+…+a₂Pi,n-1+((2)A特征值又重根时(3)有共轭复根时3)系统的并联型实现已知系统的传递函数为：将上式展开成部分分式。由于系统的特征根有两种情况：一是所有根均为互异，另一种是有重根。(1)具有互异根的情况系统特征根为互异，将系统传递函数写成将其展开成部分分式：c,(i=1,2,…,n)由待定系数法确定。取每个积分器的输出作为一个状态变量，系统的状态空间表达式分别为：或者以上两式为互为对偶。系统的模拟结构图也互为对偶，分别绘制如下。(2)有重根的情况系统的状态空间表达式为：1.6由状态空间表达式求传递函数1.6.1传递函数(阵)一般情况D=0,假设相应变量的初始条件为0。X(s)=[sI-A]-¹BU(s)则输入U(s)-输出Y(s)之间的传递函数关系为W(s)为m×r维传递函数矩阵，即意义：建立现代与经典的关系，从状态方程的ABCD可求出传递阵(函数)。传递函数的不变性：对于同一个系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数矩阵是不变的。令x=Tz或z=T-¹x(T为非奇异矩阵),则原状态空间表达式转换成y=CTz+Du则，对应的传递函数矩阵为即同一系统其传递函数矩阵是唯一的。例：(多输入-多输出)已知系统的状态空间表达式为其中求系统的传递函数矩阵。例：(单输入-单输出)已知系统的状态空间表达式同上其中求传递函数矩阵。1.6.2子系统在各种连接时的传递函数和并联连接=[C₁sI-A]-¹B₁+D]±[C₂(sI-A₂)串联连接y₂=yy₂=yU且有1.7离散时间系统的状态空间表达式线性离散系统状态空间描述，形式上类似于连续系统，一般形式为1.7.1差分方程化为状态空间表达式根据输入函数，分两种情况y(k+n)+a₁y(k+n-1)+…+an-1y(k+1)+a,y(k)=或y(k+n)+a₁y(k+n-1)+…+an-1y(k+1)+a=b₀u(k+n)+b₁u(k+n-1)+…+b₀_1u(k+1)例已知离散系统差分方程为y(k+3)+2y(k+2)+3y(k+1)+y(k)=u(k+1)+i.e.n=3;a₁=2,a₂=3,a₃=1;b₀=b₁1.7.2脉冲传递函数化为状态空间表达式1.脉冲传递函数仅含单极点情形令→Y(z)=c₁X₁(z)+c₂X₂(z)+…+y(k)=c₁x₁(k)+C₂x₂(k)+…+c,x(k)+du(k)y(k)=[c₁c₂…c,]x(k)+du(k)2.脉冲传递函数含重极点情形设而Y(z)=[c₁X₁(z)+…+cmXm(z)]+[cm+1Xm+;(z)+…+c,X,(z例已知系统脉冲传递函数为第二章控制系统状态空间分析法本章内容■线性定常齐次状态方程的解■矩阵指数函数-状态转移矩阵■线性定常系统非齐次方程的解■线性时变系统的解■离散系统状态方程的解■连续时间状态表达式的离散化1、对(1)线性定常系统、时变系统、离散系统状态方程的解；(2)连续系统状态方程离散化。2.1线性定常系统齐次状态方程的解(自由解)t=0时，初始状态为x(0)=x₀x(t)=eAx₀1.矩阵指数法：(关键求eA)x(t)=b₀+b₁t+b₂t²+…+bt*+…,因为记eA称矩阵指数函数。x(0)=e-Aox(t₀)例：已知例.用状态变量法求解方程y+y=0,y(1)|_o=y(0),j(t),_0=解：选状态变量为x₁=y,x₂=j由前例知得原方程的解为y(t)=x₁(t)=y(0)cost+y(0)2拉氏变换法求解。解：eA的性质1收敛：对所有有限时间绝对收敛。2.2状态转移矩阵阵。证明：2.2.3几个特殊的矩阵指数函数1A为对角阵2当A可以转化成对角阵时，即T-¹AT=A则3约旦标准型则则1.根据定义直接计算例：已知sX(s)-x(0)=AX(s)→X(s)例：(同上例)3.化矩阵A为标准型法矩阵A特征值互异情形例：(同上例)矩阵A的特征方程为矩阵A有重特征值情形：设det(AI-A)=(λ-A)"(λ-λ求eA。解：由det(QI-A)=(λ-1)²(λ-2)=0,得λ₁=A₂=1,A₃=2令若A有m重特征值，不妨设det(AI-A)=(λ-λ)"(λ-在将其余n-m个单特征值考虑在内，即由上述n个方程，可确定n个待定系数。det(AI-A)=(λ-3)²(λ-1)=0,→由此，有状态转移矩阵2.3线性定常非齐次状态方程的解x(t)=Ax(t)+Bu(t),x(t₀)=x₀或例已知系统状态方程y(t)=Cx(t)=CΦ(t)x(0)+C这是系统传函矩阵的拉普拉斯反变换，即y(t)=Cx(t)=CΦ(t)x(0)+CA-'[Φ(t=Φ(t)x(0)+[A²φ(t)-A-²y(t)=Cx(t)=CΦ(t)x(0)+C[A-²Φ(t)-A²2.4线性时变系统状态方程的解由于A(t₁)A(t₂)=A(t₂)A(t₁例求解系统状态方程解：由于满足条件故依此类推，可以得到第n+1次近似解为可以验证上式为时变系统齐次状态方程的解。实际上例系统状态方程为即不满足可交换条件。时变系统的状态转移矩阵可按Peano-Baker级数求解。可按照一定的精度要求，采用数值计算的方法近似求得。1)满足如下矩阵微分方程线性时变非齐次状态方程为当t=to时，有将状态方程的解代入输出方程，可得线性时例系统状态方程为若to=0,x(to)=0,u=1(t),则因为不满足可交换条件，时变系统状态转移矩阵可按Peano-Bak由线性时变系统非齐次状态方程的解为2.5离散时间系统状态方程的解线性离散系统的状态空间表达式为通常可用迭代法和Z变换法求系统的解，本节主要内容：2.5.2Z变换法2.5.3离散系统的状态转移矩阵设离散线性系统的初始状态为x(0),输入向量为u(k),经递推迭代，可得x(k+1)=G(k)x(k)+H(kk=0:x(1)=G(0)x(0)+H(0)k=1:x(2)=G(1)x(1)+H(1)k=2:x(3)=G(2)x(2)+H(2)u(2)对定常系统k=1:x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G²x(0)+GHu(0)+仿连续系统，定义状态转移矩阵为状态转移矩阵满足状态转移矩阵性质或当初始时刻为h时，离散定常系统状态方程的解为y(k)=Cx(k)+Du(k)2.5.2Z变换法x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)→X(z)=(zI-G)-¹zX(0)+(z→x(k)=z¹(zI-G)-¹z]x(0)+z-(z2.5.3离散系统的状态转移矩阵1.直接法例系统状态方程 ""2.Z变换法D(k)=z-¹(zI-G)-¹z]3.化G为标准型法p-GP=A由G为友矩阵，变换矩阵P为p-GP=J4.有限项法应用Hamilton-Caley定理，有例系统状态方程得2.6线性连续时间系统的离散化(1)等周期T采样；(3)采样T满足香农定理。2.6.1线性定常系统状态方程离散化x=Ax+Bu令t=(k+1)T,t0=kT,u(t)=u(kT),则令G(T):=eAT,输出方程：y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)综上所述，线性定常系统例线性定常系统为令t=kT,to=hT,有令t=(k+1)T,t0=hT,则有y(kT)=C(kT)x(kT)+D(kT)u(kT)当采样周期较小时(被控对象最小时间常数的1/10),可采用近似离散化方法。→x(kT+T)-x(kT)=T[A(kT)x(kT)例线性时变系统为例系统如下图所示，求离散化系统。5151若取T=0.1sec,则有若取T=0.1sec,则有2齐次状态方程解的状态转移形式；3状态转移矩阵：4时变系统解的状态转移形式6连续系统离散化第三章线性控制系统的能控性和能观测性3.1线性连续系统的能控性(一)定义：对于系统(二)性质(三)能控性判据(一)定义：对系统2、系统完全能控→肯定状态能控[rankM=ranlB,AB…A”-x,x₂都与u有关，所以状态完全能控，即能控例3.2有系统如下，判断其是否能控故它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1,不论a₂、a₁取何值，其秩为3,系统总是能控[定理3.3]若线性定常系统的系数矩阵A有互不相同的特征值，则系统能入矩阵B没有任何一行的元素全部为零。例3.4判断下列系统的能控性所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控，可算出rank[M]<3.3.2线性定常离散系统的能控性对于线性定常离散系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)如果存在控制信号序列u(k)、u(k+1)...u(n-1),使得系统从第k步状态x(k)开始，能在第n步上达到零状态(平衡状态),即x(n)=0,其中n为大于k的某一个有限正整数，称系统在第如果对于任一个k,第k步上的状态x(k)都是能控状态，则系统都完全能控，称系统完全能3.2.2判别准则[定理3.5]线性定常离散系统∑(G,H)状态能控的充要条件是能控性矩阵M=[H,GH…G-H是满秩的(秩为n)其中[u(0)...u(n-1)]T为n个未知，方程有解的充要条件是系数阵满秩，即rankM=ranAG”-¹H,G”-²H…例3.5已知,秩=3=n说明：也可把矩阵G化为对角形或约旦标准型后，按定理3.3、3.4判别系统是否能控。3.3线性定常系统的能观测性x=Ax+Bu,y=Cx[定理3.7]线性定常系统y(t)=cφ(t-t₀)x(t₀)=cφ(t)x(0)=c例若系统为由[定理3.8]若矩阵A有互不相同的特征值，则系统能观测的充要条件是输出矩阵C没有任何一列的元素全部为0。[定理3.6]若矩阵A为约旦型，则系统能观测的充要条件是(1)输出矩阵C中对应于互异特征值的各列，没有一列的元素全为0。(2)C中与每个约旦块的第一列相对应的各列，没有一列的元素全为0。例3.10下列的一些系统是完全能观测的i步的x(i),称x(i)是能观的。如果每个x(i)都能观，称状态完(二)判别准则[证明]假设观测从第0步开始，令u(k)=0,则从测量的y(0),y(1)…y(n-1)要唯一地确定出x(O){x₁(0)x₂(0)…x,(0)}的充要条件是：3.4能控性与能观性的对偶原理3.4.1线性系统的对偶关系则称系统Σ1和系统22互为对偶的。两个互为对偶系统的结构图如下：3.4.2对偶系统的状态转移矩阵系=Φ(t,t₀)φ-¹(t,to)+Φ(t,t₀)=A(t)Φ(t,t)φ-(t,to)+Φ(t,t₀)→φ-¹(t,to)=Φ(to,t)=-φ-(t,t₀)A→Φ(to,t)=-A"(t)φ(to,t)Φ₄(t,t₀)=-A"(1)Φ(t,to)Φ”(to,t)=-A(t)ΦT(t₀,t)3.4.3能控性和能观测性的对偶关系定理原系统完全能控⇔对偶系统完全能观测；原系统完全能观测一对偶系统完全能控。证明：原系统完全能控一存在t₁>to,使比较对偶系统能观测Gram矩阵原系统完全能控→对偶系统完全能观测。同样，原系统完全能观测→存在t1>t0,使而3.5线性系统的结构分解x=Ax+Bu由前述定理可知：(1)能控能观x₂(2)能控不能观x₁(4)不能控不能观×₁ux2yx44x=Ax+BuT=Rc,使得;变换矩阵T的求法：(2)以(1)求得的列向量，作为T的前r个列向量，其余列向量可以在保持T为非奇(1)系统按能控性分解后，其能控性不变。(2)系统按能控性分解后，其传递函数阵不变。3.5.3系统按能观测性分解则存在非奇异矩阵T,使得：变换矩阵R₀的求法：(1)从矩阵中1个线性无关向量例3.16设线性定常系统如下，判别其能观性，若不是完全能观的，将该系统按能观性进行为构造非奇异变换阵R-¹,取得其中R,是在保证R-¹非奇异的条件下任意选取的。于是系统状态空间表达式变换为3.6状态空间表达式的能控标准型和能观标准型将状态空间表达式化为能控标准型和能观标准型的理论依据是状态非奇异变换不改变其能设线性定常单输入系统是可控的，则存在线性非奇异变换称如上式的状态空间表达式为能控标准I型。其中a,(i=0,1,,n-1)为特征多项式：|I-A|=z"+a₀_,2-¹++aλ+a₀的各项系数。采用能控标准I型的,求系统的传递函数非常方便。从上式可以看出，传递函数分母多项式的各项系数是A的最后一行的元素的负值；分子多项式的各项系数是C阵的元素。同样可以根据传递函数的分母多项式和分子多项式的系数，可以直接写出系统的能控标准I型。(2)能控标准Ⅱ型设线性定常单输入系统另一个能控标准型为取3.6.2单输出系统的能观标准型(1)能观标准I型的各项系数。(2)能观标准Ⅱ型设线性定常单输入系统是可控的，则存在线性非奇异变换X=To₂X称如上式的状态空间表达式为能观标准Ⅱ型。的各项系数。由上可知，能观标准I和能控标准Ⅱ互为对偶；能观标准Ⅱ和能控标准I互为对偶。3.7系统传递函数阵的实现3.7.1概念：根据给定的传递函数阵G(s),求其相应的状态空间表达式使其满足3.7.2实现的目的是为了仿真(做模仿)通过模拟结构图，用积分器、加法器等(集成电路块)连接试验，物理可实现条件为2、G(s)中每一个元素均为s的真有理分式函数状态变量的选择有无穷多组，实现的方法有无穷多。单变量系统可以根据G(s)直接写出其式中β-,Pn-2,,β,βo为m×r维常数阵；分母多项式为该传递函数的特征多项式。C.=[βoββ-1]式中，0.和Im为m×m阶零矩阵；m为输入矢量的维数。(1)定义：若G(s)的一个实现为如果G(s)不存在其他实现(2)定理：G(s)的一个实现(3)确定最小实现的步骤性(或能观性),若为能控又能观则(A,B,C)便是最小实现。3.8能控性和能观性与传递函数阵的关系存在密切关系的，这里揭示出能控性、能观测性与传递可用来判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性。这是又一种测性的判据，是在s域内的判据。定理3.12:对于单输入单输出系统),如果其传递函数G(s)存在零极点对消，则由证明：对于x=Ax+buÃ有互不相同的λ2、有零极点对消，就会存在a,=0推论：G(s)所表示的仅仅是该系统既能观又能控的那一部分子系统，所以G(s)是系统的一种不完整描述G(s)若有零极点对消，定理3.13:对于多变量系统，系统能控又能观的充分条件是其传递函数阵G(s)中无零极点例3-12已知下列动态方程，试研究能控性、能观测性与传递函数的关系：解三个系统的传递函数为：存在零极点的对消对象。,rank[M]=2;,rank[N]=1[Ab]对为能控标准形，故能控，则不可观测；式中月写出分块矩阵形式：式中2.求串联系统的可控性、可观测性：故不能控；故能观测。原来是能控能观测的系统，如图2-2串联连接后变成不能控、能观测的了。若改变图2-2串联连接的顺序，则串联系统将变成能控、不能观测的。串联连接系统的传递函数G(s):显见存在零极点对消，使特征方程阶次降低，故不能控。一、多输入-多输出系统多输入-多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不能控或不能观测的，多输入-多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不能控或不能观测的，是线性无关的。有如下判据：证明研究能观测性时，可不失一般性地假定系统动态方程为：运用以上判据判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性时，只需检查行或列的线性以上判据也可适用于单输入-单输出系统，不过，线性无关时必不存在零极点对消例2-16试判断下列比输入-双输出系统的能控性、能观测性：x=Ax+Bu;y=Cx,式中解计算能控性阵、能观测性阵的秩：,故能控。计算传递矩阵(将公因子析出矩阵以外以便判断):故②程②,可判断①式中三行线性无关，故系统能控，与零极点存在对消现象无关。由于③例3-17试判断下列单输入-单输出系统的能控性、能观测性：x=Ax+bu;y=cX,式中解计算能控性阵、能观测性阵的秩：,故不可观测。成立，三行线性相关，故系统不能控。由传递函数存在零极点对消，也可得出不能控、不能观测的相同结论。本章小结y=x₁+x₂,x₁或x₂定理：若线性定常系统的系数矩阵A有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是输入定理：若A为约旦型，则系统能控的充要条件是定理：若矩阵A有互不相同的特征值，则系统能观测的充要条件是输出矩阵C没有任何一列的元素全部为0。定理：若矩阵A为约旦型，则系统能观测的充要条件是(1)输出矩阵C中对应于互异特征值的各列，没有一列的元素全为0。 (2)C中与每个约旦块的第一列相对应的各列，没有一列的元素全为0。矩阵B₁(t)=B(t)B(t)=-A(t)B_(t)+B_,(t),i=矩阵令能控性与能观性的对偶原理线性系统的对偶关系若系统Z₁的状态空间描述为：则称系统Σ1和系统Σ2互为对偶的。两个互为对偶系统的结构图如下：系线性系统的结构分解(1)当系统不能控或不能观测时，并不是所有状态都不能控或不能观测(可通过坐标变换(2)把状态空间按能控性或能观性进行结构分解。状态空间表达式的能控标准型和能观标准型Z[Abc],称如上式的状态空间表达式为能控标准I型。系统传递函数阵的实现能控性和能观性与传递函数阵的关系第四章控制系统稳定性分析本章要点1、稳定性是控制系统的首要问题。2、经典理论判稳方法及局限性。A、直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯一古尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。B、间接判定：方程求解一对非线性和时变通常很难。[俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判定稳定性——间接法李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李亚普诺夫函数V(x),根据V(x)的性质判稳。——对任何复杂系统都适用。4、本章内容：李亚普诺夫第二法及其应用。4.1基本定义x=f(x,t),x(t)为n维向量，f(x,t)也是n维向量，x=f;(x,x₂,,xn,t),初始状态,1.李亚普诺夫稳定性：设x=f(x,t),若任意给定一个实数ε>0,总存在另一个实数δ,使当|x₀-x.|≤δ时，从任意初态x。出发的解x(t)=φ(t,xo,to)满足几何意义：3.大范围渐近稳定4.不稳定4.2李雅普诺夫稳定性理论1.例4.2系统图如下，2虚构能量函数V(x)——李亚普诺夫函数既可以描述物理系统，又可描述社会系统，满足3个条件：·V(x)为任一标量函数，x为系统状态变量，是t的函数。·V(x)是正数(正定的)—反映能量大小。连续一阶偏导，反映能量变化速度的大小，负值为能量减李亚普诺夫直接法：利用V(x)和V(x)的符号性质(一)二次型定义及其表达式例4.3二次型的标准型，只含有平方项的二次型，如：ax²+a₂x₂²+a,x²对称阵，且秩(二)标量函数V(x)的符号、性质1.V(x)为正定是指：对所有在域2中非零的x,有V(x)>0,且在x=0处有例4.4V(x)=x²+x₂²,x=(x,x₂),V(x)是正定的，只有X=0,才有V(x)=0。2.V(x)半正定：对所有非零x,有V(x)≥0,且V(0)=0。例4.5V(x)=(x₁+x₂)²+x²,x=(x,x₂,x₃),在x=0以外存在不为零的向量x,是(三)二次型V(x)正定性的赛尔维斯特(Sylvester)准则例4.7判断下列二次型函数的正定性。V(x)=10x²+4x₂²+x²+2x₁x₂-2x₂x由于P的所有主子行列式>0,所以，V(x)是正定的。4.2.3李亚普诺夫判稳定理定理4.1设系统x=f(x,t)。平衡状态为f(0,t)=0,如果存在一个具有连续的一阶那么,在原点处的平衡状态是渐进稳定的。若x→,有V(x,t)→,当满足上述条件时，在原点处的平衡状态为大范围(全(3)充分条件并不是必要条件，故若找不到这样的V(x),并不一定是不稳定的。(4)李亚普诺夫函数不唯一，只要满足2各条件，最简形式是二次型V(x)=x⁷Ax。例4.8对于系统分析x。=0,系统是否渐近稳定。(2)V(x)=2xx₁+2x₂x₂=-