培优课17 圆锥曲线中的最值、范围问题

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD⎳FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；培优课17圆锥曲线中的最值、范围问题培优点一最值问题典例1[2023·全国甲卷]已知直线x−2y+1=0与抛物线C：（1）求p；（2）设F为C的焦点，M,N为C上两点，FM⋅FN=解题观摩[解析]（1）设AxA,由x−2y+1=0,所以AB=1即2p2−p−（2）因为F1,0设直线MN：x=my+由y2=4x,x=myΔ=16因为FM⋅FN=0，即my得m2将y1+y得4m2=所以n≠1，且n2−6n设点F到直线MN的距离为d，则d=MN=所以△MFN而n≥3+22△MFN的面积的最小值S圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:1.几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.2.代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.从抛物线变到椭圆[2024·山东模拟]已知椭圆C：y2a2（1）求椭圆C的方程；[解析]由题意得e=ca=6∴椭圆方程为y2（2）若A，B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB[解析]由题意可知直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为y=kx+t，将y=kx+t代入∴x1+则y1x1∵直线PA和直线PB的倾斜角互补，∴kPA=−即23+−∵直线AB不过点P，∴k=3，∴则AB=∵Δ=12t2又点P到直线AB的距离为t2∴S当且仅当t=±6时，等号成立，∴△PAB培优点二范围问题典例2[2023·新高考Ⅰ卷节选]在直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD有三个顶点在曲线y=x2解题观摩[解析]如图，设矩形的三个顶点Aa,a2+14则kAB⋅kBC=−同理令kBC=b+c设矩形ABCD的周长为L,由对称性不妨设m≥n，则所以12L=由n>0，易知则令fx=令f′x=当x∈0,22当x∈22,+∞时，故fxmin=f2当L=33时,n=22,m=−圆锥曲线中范围问题的四个解题策略1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.2.利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.3.利用已知或隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.4.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.从求三角形周长范围变到求面积范围[2024·山东模拟]已知双曲线C：x2a2−y（1）求双曲线C和抛物线E的方程；[解析]由题意得，a=1，又点7,−1在双曲线上，所以7−又点7,−1在抛物线E：x2=2py的准线上，所以p（2）若过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B，求△PAB[解析]显然直线AB的斜率存在，故设直线AB的方程为y=kx+m，联立y