高考数学第一轮复习导学案(新高考)第61讲圆的方程(原卷版+解析)

第61讲圆的方程1、圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程圆心C：半径：一般方程圆心：半径：2、点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三种情况圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔．常用结论(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为1、（2022•甲卷（文））设点在直线上，点和均在上，则的方程为．2、（2022•乙卷（文））过四点，，，中的三点的一个圆的方程为．3、【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A．eq\f(1,4)<m<1B．m<eq\f(1,4)或m>1C．m<eq\f(1,4)D．m>12、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)3、若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．4、若圆C的直径的两个端点分别是A(－1，2)，B(1，4)，则圆C的标准方程为__________．5、若已知圆过点A(2，－3)，B(－2，－5)，C(0，1)，则圆的方程为_________________________．考向一圆的方程例1、(1)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为___________________________；(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________；(3)若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，则该圆的方程为___________________．变式1、(1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为eq\r(6)，则圆C的方程为________.变式2、根据下列条件，求圆的方程．经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.考向二与圆有关的最值问题例2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．变式1、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求eq\f(y,x)的最大值和最小值．变式2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．变式3、若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．(1)eq\f(y,x－4)；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.变式4、（深圳市高级中学集团期末试题）已知点，点，R是圆上动点，则的最小值为__________．方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．考向三与圆有关的轨迹问题例3、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．变式、（东莞市高三期末试题）已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为____________．方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．1、【2020年新课标3卷文科】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线2、（2022年重庆市高三模拟试卷）写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：______．①圆心在直线上，②与轴相切．3、（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷）“”是“点在圆外”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4、在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq\r(2)，在y轴上截得线段长为2eq\r(3)．(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，求圆P的方程．

第61讲圆的方程1、圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2、点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三种情况圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．常用结论(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF＞0.))(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1、（2022•甲卷（文））设点在直线上，点和均在上，则的方程为．【答案】．【解析】由点在直线上，可设，由于点和均在上，圆的半径为，求得，可得半径为，圆心，故的方程为，故答案为：．2、（2022•乙卷（文））过四点，，，中的三点的一个圆的方程为．【答案】（或或或．【解析】设过点，，的圆的方程为，即，解得，，，所以过点，，圆的方程为．同理可得，过点，，圆的方程为．过点，，圆的方程为．过点，，圆的方程为．故答案为：（或或或3、【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A．eq\f(1,4)<m<1B．m<eq\f(1,4)或m>1C．m<eq\f(1,4)D．m>1【答案】B【解析】：方程可化为(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1，由题意知，4m2－5m＋1＞0，解得m<eq\f(1,4)或m>1，故选B．2、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)【答案】D【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝eq\r(13).3、若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．【答案】(－eq\r(2)，eq\r(2))【解析】∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2).4、若圆C的直径的两个端点分别是A(－1，2)，B(1，4)，则圆C的标准方程为__________．【答案】x2＋(y－3)2＝2【解析】设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝eq\f(－1＋1,2)＝0，b＝eq\f(2＋4,2)＝3，故圆心C(0，3)，半径r＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×eq\r([1－(－1)]2＋(4－2)2)＝eq\r(2)，所以圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.5、若已知圆过点A(2，－3)，B(－2，－5)，C(0，1)，则圆的方程为_________________________．【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【解析】设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由题意可知点A(2，－3)，B(－2，－5)，C(0，1)满足上式，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－3E＋F＋13＝0，,2D＋5E－F－29＝0，,E＋F＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝4，,F＝－5，))故所求圆的方程是x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.考向一圆的方程例1、(1)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为___________________________；【答案】x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20①，,3D－E＋F＝－10②.))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③.设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，得D2－4F＝36④.由①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________；【答案】(x－1)2＋(y＋4)2＝8【解析】过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)，所以半径r＝eq\r((3－1)2＋(－2＋4)2)＝2eq\r(2)，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(3)若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，则该圆的方程为___________________．【答案】(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9【解析】因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，所以设所求圆的圆心为(3a，a).因为所求圆与y轴相切，所以半径r＝3|a|.因为所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq\f(|2a|,\r(2))，所以d2＋(eq\r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.变式1、(1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.【答案】x2＋y2－2x＝0【解析】法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.法二设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝eq\f(1,2)|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为eq\r(6)，则圆C的方程为________.【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2【解析】法一∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴可设所求圆的圆心为(a，－a).∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为eq\r(6)，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝r2，即eq\f(（2a－3）2,2)＋eq\f(3,2)＝2a2，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq\f(|a－b－3|,\r(2))，∴r2＝eq\f(（a－b－3）2,2)＋eq\f(3,2)，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴eq\f(|a－b|,\r(12＋（－1）2))＝r.②又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③联立①②③，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.变式2、根据下列条件，求圆的方程．经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；【解析】(1)由题意知kAB＝2，AB中点为(4,0)，设圆心C(a，b)．因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－4)＝－\f(1,2)，,2a－b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))所以C(2,1)，所以r＝|CA|＝eq\r(5－22＋2－12)＝eq\r(10)，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.考向二与圆有关的最值问题例2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．【解析】设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2＋(－3)－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1，所以x＋y的最大值为eq\r(2)－1，最小值为－eq\r(2)－1.变式1、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求eq\f(y,x)的最大值和最小值．【解析】eq\f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3)，所以eq\f(y,x)的最大值为－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值为－2－eq\f(2\r(3),3).变式2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．【解析】eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r((x＋1)2＋(y－2)2)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1，2)的距离为eq\r(34)，所以eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为eq\r(34)＋1，最小值为eq\r(34)－1变式3、若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．(1)eq\f(y,x－4)；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.【解析】(1)(方法1)令eq\f(y,x－4)＝k，则kx－y－4k＝0.∵x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，∴圆心(－1，2)到直线kx－y－4k＝0的距离不大于圆的半径2，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋5k)),\r(k2＋1))≤2，解得－eq\f(20,21)≤k≤0，∴eq\f(y,x－4)的最大值为0，最小值为－eq\f(20,21).(方法2)令eq\f(y,x－4)＝k，则y＝k(x－4)代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋(2－4k－8k2)x＋16k2＋16k＋1＝0，∵上述方程有实数根，∴Δ＝(2－4k－8k2)2－4(1＋k2)·(16k2＋16k＋1)≥0，化简整理得21k2＋20k≤0，解得－eq\f(20,21)≤k≤0，∴eq\f(y,x－4)的最大值为0，最小值为－eq\f(20,21).(2)(方法1)设3x－4y＝k，则3x－4y－k＝0，圆心(－1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－8－k)),\r(25))≤2，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.(方法2)设k＝3x－4y，即y＝eq\f(3,4)x－eq\f(k,4)，代入圆的方程，整理得25x2－(16＋6k)x＋k2＋16k＋16＝0，∵上述方程有实数根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k2＋16k＋16)≥0，化简整理得k2＋22k＋21≤0，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.(3)(方法1)先求出原点与圆心之间的距离d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－0))2)＝eq\r(5)，根据几何意义，知x2＋y2的最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)＋2))eq\s\up12(2)＝9＋4eq\r(5)，最小值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)－2))eq\s\up12(2)＝9－4eq\r(5).(方法2)由(1)的方法知，圆的方程中的x，y变为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋2cosα，,y＝2＋2sinα))(α∈R)，x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋2cosα))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2sinα))eq\s\up12(2)＝9＋8sinα－4cosα＝9＋4eq\r(5)sin(α＋φ)∴x2＋y2的最大值为9＋4eq\r(5)，最小值为9－4eq\r(5).变式4、（深圳市高级中学集团期末试题）已知点，点，R是圆上动点，则的最小值为__________．【答案】##【解析】因为R是圆上的动点，则设，其中.则，得，其中满足，则，当且仅当时取等号.故答案为：.方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．考向三与圆有关的轨迹问题例3、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP的中点为M(x，y).由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(a，b).在Rt△PBQ中，PN＝BN.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，所以a2＋b2＋(a－1)2＋(b－1)2＝4，化简，得a2＋b2－a－b－1＝0，故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.变式、（东莞市高三期末试题）已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为____________．【答案】【解析】因为,所以,所以，解得,设点的坐标为,所以,解得,所以动点的轨迹的长度为.故答案为：.方法总结：求与圆