高考数学第一轮复习导学案(新高考)第19讲导数的概念及其运算(原卷版+解析)

第19讲导数的概念及其运算1.导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为.2.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f(x)＝xα(α是实数)f(x)＝sinxf(x)＝cosxf(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f(x)＝lnxf(x)＝logax(a＞0，a≠1)3.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则：(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝(g(x)≠0)．4.复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝.5.设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的;设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的.1、【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则2、【2022年新高考2卷】曲线y=ln3、【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．4、【2020年新课标1卷理科】函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．5、【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+6、【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．1、下列求导结果正确的是（）A． B．C． D．2、若，则（）A． B． C． D．3、(2022·珠海高三期末)若函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a＝________．4、函数y＝xsinx－cosx的导数为______________________．5、（2022·福建·莆田二中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．6、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．考向一基本函数的导数例1、求下列函数的导数.(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋eq\f(1,x)；(3)y＝eq\f(cosx,ex)；(4)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).变式1已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上述条件的一个函数.变式2求下列函数的导数：(1)f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；(2)f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1).变式3、求下列函数的导数：(1)f(x)＝x3＋xsinx；(2)f(x)＝xlnx＋2x;(3)f(x)＝excosx；(4)f(x)＝eq\f(1－sinx,cosx).方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二求导数的切线方程例2、（1）（2022·河北衡水中学一模）已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______．（2）（2022·福建·三模）已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（

）A． B． C． D．变式1、(1)若函数f(x)＝2eq\r(x)的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程；(2)求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程；(3)若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，求实数a的值．变式2、（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（

）A． B． C． D．方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考向三导数几何意义的应用例3、（1）已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为__________________．（2）：若直线是曲线的切线，则实数的值为________．变式1、（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数___________.变式2、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数，则__________.方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1、（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知的一条切线与f（x）有且仅有一个交点，则（

）A． B．C． D．3、（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4、（2022·广东汕头·二模）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（

）A． B．C． D．5、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知f(x)=cosx，g(x)=x，则关于x的不等式的解集为__________.6、（2022·山东·模拟预测）已知直线与曲线相切，则___________.第19讲导数的概念及其运算1.导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．4.复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝f′(g(x))·g′(x).5.设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的瞬时速度;设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的瞬时加速度.1、【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则【答案】(−【解析】∵y=(x+a)ex，∴设切点为(x0,y0切线方程为：y−x∵切线过原点，∴−x整理得：x0∵切线有两条，∴∆=a2+4a>0,解得a<−4∴a的取值范围是(−∞故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)

【答案】

y=1e【解析】解：因为y=ln当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x故答案为：y=1ex；y=−1ex

【答案】【解析】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．4、【2020年新课标1卷理科】函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.

5、【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.6、【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．【答案】D【解析】：，将代入得，故选D．1、下列求导结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选：D．2、若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】．故选：C．3、(2022·珠海高三期末)若函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a＝________．【答案】－1【解析】由题意，得f′(x)＝eq\f(x－a,x2)，则f′(1)＝1－a，所以(1－a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，解得a＝－1.4、函数y＝xsinx－cosx的导数为______________________．【答案】y′＝2sinx＋xcosx【解析】y′＝sinx＋xcosx＋sinx＝2sinx＋xcosx.5、（2022·福建·莆田二中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】由，得，所以切线的斜率为，所以所求的切线方程为，即，故答案为:6、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】，则曲线在处的切线斜率，∴切线方程为，即．故答案为：．考向一基本函数的导数例1、求下列函数的导数.(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋eq\f(1,x)；(3)y＝eq\f(cosx,ex)；(4)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).【解析】(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))′＝(lnx)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2).(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq\f(（cosx）′ex－cosx（ex）′,（ex）2)＝－eq\f(sinx＋cosx,ex).(4)∵y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq\f(1,2)xsin4x，∴y′＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(1,2)x·4cos4x＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x.变式1已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上述条件的一个函数.【答案】f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x－eq\f(4,3)(答案不唯一)【解析】可令f′(x)＝x2＋2，满足f′(x)＋2x>0，则f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋C，f(1)＝eq\f(1,3)＋2＋C＝1，故C＝－eq\f(4,3)，f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x－eq\f(4,3).变式2求下列函数的导数：(1)f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；(2)f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1).【解析】（1）f′(x)＝(x2＋2x－1)′e1－x＋(x2＋2x－1)(e1－x)′＝(2x＋2)e1－x＋(x2＋2x－1)(－e1－x)＝(－x2＋3)e1－x.【解析】（2）因为f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)，所以f′(x)＝[ln(x－1)－ln(x＋1)]′＝eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(2,x2－1).变式3、求下列函数的导数：(1)f(x)＝x3＋xsinx；(2)f(x)＝xlnx＋2x;(3)f(x)＝excosx；(4)f(x)＝eq\f(1－sinx,cosx).【答案】(1)f′(x)＝3x2＋sinx＋xcosx.(2)f′(x)＝lnx＋3.(3)f′(x)＝excosx－exsinx.(4)f′(x)＝eq\f(sinx－1,cos2x).方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二求导数的切线方程例2、（1）（2022·河北衡水中学一模）已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______．（2）（2022·福建·三模）已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（

）A． B． C． D．【答案】（1）；（2）【答案】D【详解】（1）设，，因为函数是偶函数，所以，当时，，，，所以在处的切线方程为，即.故答案为：（2）令，因为为奇函数，故，故即.即，当时，，故，故时，，此时，故，而故切线方程为：，故选：D.变式1、(1)若函数f(x)＝2eq\r(x)的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程；(2)求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程；(3)若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，求实数a的值．【解析】(1)因为f(x)＝2eq\r(x)，x≥0，所以f′(x)＝eq\f(1,\r(x)).因为f(x)＝2eq\r(x)的图象在点(a，f(a))处的切线与2x＋y－4＝0垂直，所以f′(a)＝eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝4，所以f(a)＝2×eq\r(4)＝4，所以切线的方程为y＝eq\f(1,2)(x－4)＋4，即x－2y＋4＝0.(2)因为f(x)＝x3－x＋3，所以f′(x)＝3x2－1.因为f(2)＝9，所以点P不在曲线f(x)上，设切点为(x0，f(x0))，则切线方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)－x0＋3.因为切线过点P(2，5)，所以5＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(2－x0)＋xeq\o\al(3,0)－x0＋3，即2xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋4＝0，解得x0＝1±eq\r(3)或x0＝1，所以切线方程为y＝2x＋1或y＝(11－6eq\r(3))x＋12eq\r(3)－17或y＝(11＋6eq\r(3))x－17－12eq\r(3).(3)因为y＝x3，所以y′＝3x2.因为y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9，所以y′＝2ax＋eq\f(15,4).因为过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切，设切点为(x0，xeq\o\al(3,0))，所以切线方程为y＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0).代入(1，0)，得3xeq\o\al(2,0)(1－x0)＋xeq\o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝eq\f(3,2)，所以切线方程为y＝0或y＝eq\f(27,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＋eq\f(27,8).设直线与曲线y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切于点(x1，axeq\o\al(2,1)＋eq\f(15,4)x1－9)，则切线方程为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax1＋\f(15,4)))(x－x1)＋axeq\o\al(2,1)＋eq\f(15,4)x1－9＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax1＋\f(15,4)))x－axeq\o\al(2,1)－9.①若切线方程为y＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax1＝－\f(15,4)，,－axeq\o\al(2,1)－9＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(24,5)，,a＝－\f(25,64)．))②若切线方程为y＝eq\f(27,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＋eq\f(27,8)，即y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax1＋\f(15,4)＝\f(27,4)，,－axeq\o\al(2,1)－9＝－\f(27,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)，,a＝－1.))综上所述，实数a的值为－eq\f(25,64)或－1.变式2、（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以，则，所以，令，则，因为，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，依题意有三个零点，所以且，即；故选：B方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考向三导数几何意义的应用例3、（1）已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为__________________．（2）：若直线是曲线的切线，则实数的值为________．【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0(2)－e【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，则a＝f′(eq\f(π,4))＝3－2sineq\f(π,2)＋2coseq\f(π,2)＝1.由y＝x3得y′＝3x2，当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)．故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.当P点不是切点时，设切点为(x0，xeq\o\al(3,0))，∴切线方程为y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(1－x0)，∴2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴2xeq\o\al(3,0)－2xeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为，∴此时的切线方程为，综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.(2)设切点为(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，得切线的斜率k＝lnx0＋1，故切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx0＋1＝2，,－x0＝m，))解得x0＝e，故m＝－e.变式1、（2022·福建省福州格致中