高考数学第一轮复习导学案(新高考)第54讲空间角与距离的计算(1)(原卷版+解析)

第54讲空间角与距离的计算（1）1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2l1⊥l2直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m,l∥α,n⊥m⇔l⊥α,n∥m⇔平面α，β的法向量分别为n，m,α∥β,n∥m⇔n＝α⊥β,n⊥m⇔3.异面直线所成的角3.设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围a与b的夹角βl1与l2所成的角θ求法cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)4.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).5.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉①②③(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．1、【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面2、【2018年新课标2卷理科】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．3、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．4、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．5、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C

(1)求A到平面A1BC(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A6、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．(1)证明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．1、.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))2、.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则()A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α或l∥α D．l与α斜交3、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45° B．135°C．45°或135° D．90°4、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10)D.eq\f(\r(2),2)考向一运用向量研究异面直线所成的角例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2eq\r(2)，PA＝2，求异面直线BC与AE所成的角的大小．变式1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则（）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为变式2、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________．方法总结：利用向量法求异面直线所成角的方法：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．考向二运用向量研究直线与平面所成的角例2、（2022年广州附属中学高三模拟试卷）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．变式1、如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)求证：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．变式2、（山东省临沂市高三上期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.（1）证明：平面ABCD.（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.方法总结：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．考向三运用向量研究二面角例3、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点为棱的中点，为边的中点.（1）求证：平面；（2）若侧面底面，且，，求平面与平面的夹角的余弦值.变式1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，为上一点，且.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.变式2、（山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为的三棱柱中，平面平面，，为与的交点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．方法总结：利用向量法计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．1、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，CD⊥AC，平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝AD，PB＝，E为PD中点，AF⊥PC，垂足为F．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求异面直线AB与CE所成的角；（3）求证：PD⊥EF．2、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面,于点，连接.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.3、（2022年河北省高三大联考模拟试卷）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.（1）证明：；（2）若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.4、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，（1）求与所成的角（2）平面与平面所成的锐二面角余弦值第54讲空间角与距离的计算（1）1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m,l∥α,n⊥m⇔n·m＝0l⊥α,n∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m,α∥β,n∥m⇔n＝λmα⊥β,n⊥m⇔n·m＝03.异面直线所成的角3.设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0，π)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))a与b的夹角βl1与l2所成的角θ求法cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)4.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).5.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉①②③(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．1、【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【解析】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．2、【2018年新课标2卷理科】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】C【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.3、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．【解析】(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE=BF=1故DE=32，所以AD2+B因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA；(2)如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD=3，则A(1,0,0),B(0,则AP=(−1,0,3),BP=(0,−则有{n→⋅AP→所以PD与平面PAB所成角的正弦值为554、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．【解析】(1)因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB=CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；又因为DE,BE⊂平面BED，DE∩BE=E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.(2)连接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，所以S△AFC当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小.因为△ABD≌△CBD，所以CB=AB=2，又因为∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AE=EC=1，BE=3因为AD⊥CD，所以DE=12AC=1,在△DEB中，D以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，则A1,0,0,B0,设平面ABD的一个法向量为n=则n⋅AD=−x+z=0n⋅又因为C−1,0,0,F0,所以cosn,CF=n⋅CF所以sinθ=cosn,CF=45、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C

(1)求A到平面A1BC(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A【解析】(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，设点则VA−解得ℎ=2，所以点A到平面A1BC(2)取A1B的中点E,连接AE,如图，因为AA又平面A1BC⊥平面ABB1A且AE⊂平面ABB1A1，所以在直三棱柱ABC−A1B1C由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，又AE,BB1⊂平面ABB1所以BC,BA,BB1两两垂直，以由（1）得AE=2，所以AA1=AB=2，则A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A则BD=(1,1,1)，BA设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z)，则{可取m=(1,0,−1)设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c)，则{可取n=(0,1,−1)则cos〈所以二面角A−BD−C的正弦值为1−(12)2=32.

6、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，(1)证明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．【解析】(1)证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥P−ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO⊂平面ABC，所以PO⊥AO、PO⊥BO，又PA=PB，所以△POA≅△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，所以∠ODA=∠OAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE//又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE//平面(2)过点A作Az//因为PO=3，AP=5，所以OA=A又∠OBA=∠OBC=30°，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=43所以AC=12，所以O23,2,0，B43,0,0，则AE=33,1,3设平面AEB的法向量为n=x,y,z，则n⋅AE=33x+y+32z=0n⋅AB=43x=0，令z=2，则y=−3，x=0，所以n设二面角C−AE−B为θ，由图可知二面角C−AE−B为钝二面角，所以cosθ=−4故二面角C−AE−B的正弦值为11131、.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))【答案】：C【解析】：设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB，\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC，\s\up6(→))＝0，))化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y＝z.故选C.2、.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则()A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α或l∥α D．l与α斜交【答案】：C【解析】：∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，∴a·n＝0，即a⊥n，∴l∥α或l⊂α.3、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45° B．135°C．45°或135° D．90°【答案】：C【解析】：cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(1,1·\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.4、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10)D.eq\f(\r(2),2)【答案】：C【解析】：以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝(1，－1，2)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(－1，0，2)．∴cos〈eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BM，\s\up6(→))·\o(AN,\s\up6(→)),|\o(BM,\s\up6(→))||\o(AN,\s\up6(→))|)＝eq\f(1×－1＋－1×0＋2×2,\r(12＋－12＋22)×\r(－12＋02＋22))＝eq\f(3,\r(6)×\r(5))＝eq\f(\r(30),10).考向一运用向量研究异面直线所成的角例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2eq\r(2)，PA＝2，求异面直线BC与AE所成的角的大小．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2eq\r(2)，0)，E(1，eq\r(2)，1)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，eq\r(2)，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(2)，0).设eq\o(AE,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(→))|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,2×2\r(2))))＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝45°，所以异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.变式1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则（）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；对于选项B,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故D正确故选：ABD变式2、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________．【答案】eq\f(\r(5),5)【解析】不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得C(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，所以eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0，2，－1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－2，2，1)，所以cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))|·|\o(AB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(4－1,\r(5)×\r(9))＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)＞0，所以eq\o(BC1,\s\up6(→))与eq\o(AB1,\s\up6(→))的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，所以直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).方法总结：利用向量法求异面直线所成角的方法：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．考向二运用向量研究直线与平面所成的角例2、（2022年广州附属中学高三模拟试卷）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．【解析】【小问1详解】证明：连接交于，则是的中点，连接，是的中点，，平面，平面，平面；又，平面，平面，平面，又与相交于点，平面，所以平面平面．小问2详解】连接，因为四边形是菱形，所以，又，，所以为等边三角形，所以，又，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，如图，以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面的法向量为，依题意有，则，令，，，则，所以，所以直线与面成角的正弦值是．变式1、如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)求证：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．【解析】(1)易知AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t(t>0)，则有A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)，所以eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(－t，3，－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(t，1，0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－t，3，0).因为AC⊥BD，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝eq\r(3)或t＝－eq\r(3)(舍去)，所以eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，3，－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，0).因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(B1D,\s\up6(→))＝－3＋3＋0＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(B1D,\s\up6(→))，即AC⊥B1D.(2)由(1)，知eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0，3，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，0)，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝(0，1，0).设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋y＝0，,3y＋3z＝0，))令x＝1，则n＝(1，－eq\r(3)，eq\r(3)).设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(B1C1,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(B1C1,\s\up6(→)),|n|·|\o(B1C1,\s\up6(→))|)))＝eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7)，即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为eq\f(\r(21),7).变式2、（山东省临沂市高三上期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.（1）证明：平面ABCD.（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.【解析】（1）证明：平面PCD，平面，，，为的中点，则且.四边形BCDE为平行四边形，，.又，且E为AD的中点，四边形ABCE为正方形，，又平面，平面，则.平面平面，，又，为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，且平面ABCD.（2）解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示不妨设，则,则.设平面PBD的法向量为，则即即令，得.设BC与平面所成角为，则方法总结：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．考向三运用向量研究二面角例3、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点为棱的中点，为边的中点.（1）求证：平面；（2）若侧面底面，且，，求平面与平面的夹角的余弦值.【解析】【小问1详解】取线段的中点，连接，，∵，分别为，的中点，∴且，∵底面是菱形，且为的中点，∴且，∴且.∴四边形平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.【小问2详解】连接，由得是等边三角形，∴，∵侧面底面，侧面底面，底面，∴侧面，因为，，由余弦定理的：，解得：，以为原点建立空间坐标系，如图所示.则，，，，则，，，，设平面的一个法向量，则，即，令，则.设平面的一个法向量为，则，即，解得：，令，则，故，∴，所以平面与平面的夹角的余弦值为.变式1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，为上一点，且.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.【解析】（1）连接交于点,连接,因为,所以与相似,所以,又,所以,因为平面,平面,所以直线平面（2）由题,因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面,以为坐标原点,所在的方向分别为轴、轴的正方向,与均垂直的方向作为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,因为,,则,,,,所以,,,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,于是,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,于是,设二面角的平面角的大小为,则,所以二面角的余弦值为变式2、（山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为的三棱柱中，平面平面，，为与的交点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）因为四边形为菱形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.（2）因为，所以菱形为正方形，在中