高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点09二分法与求方程近似解(5种题型与基础、易错专练)专项练习(原卷版+解析)

考点09二分法与求方程近似解（5种题型与基础、易错专练）一、2一、2022真题抢先刷，考向提前知一．选择题（共1小题）1．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（0，2） C．（﹣∞，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）二．填空题（共2小题）2．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是．3．（2022•天津）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为．三．解答题（共2小题）4．（2022•上海）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．5．（2022•乙卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．二、考点清单二、考点清单一．函数的零点一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解法——二分法】①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【总结】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．二．函数零点的判定定理1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．三．函数的零点与方程根的关系函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【考查趋势】考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．四．二分法的定义与应用二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．【二分法的应用】我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，有图象可得，只有③能满足此条件，故答案为③．在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．【二分法求方程的近似解】二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是[1.5，2]．解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，故函数f（x）在[1.52]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，故答案为[1.5，2]．通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．五．函数与方程的综合运用函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．三、三、题型方法一．函数的零点（共4小题）1．（2023•乌鲁木齐三模）定义符号函数，则方程x2sgnx＝5x﹣6的解是（）A．2或﹣6 B．3或﹣6 C．2或3 D．2或3或﹣62．（2023•北京模拟）的零点为．3．（2023•毕节市模拟）给出下列命题：①函数f（x）＝2x﹣x2恰有两个零点；②若函数在（0，+∞）上的最小值为4，则a＝4；③若函数f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝4，则；④若关于x的方程2|x|﹣m＝0有解，则实数m的取值范围是（0，1]．其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③4．（2023•汉中模拟）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlogax﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．[5，+∞） D．（5，+∞）二．函数零点的判定定理（共7小题）5．（2023•西安模拟）已知f（x）＝ex+lnx+2，若x0是方程f（x）﹣f'（x）＝e的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．（2023•重庆一模）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（2023•海南一模）函数的零点所在的大致区间为（）A．（1，e） B．（e，e2） C．（e2，e3） D．（e3，e4）8．（2023•洪山区校级模拟）已知函数f（x）＝ax+（1+a）x﹣2（a＞0且a≠1），若函数f（x）恰有一个零点，则实数a的取值范围为．9．（2023•桃城区校级模拟）已知函数在区间[2，4]上有零点，则的最小值为．10．（2023•荔湾区校级模拟）设函数g（x）＝f（x）﹣4x﹣1．若函数g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．{﹣1}∪[，+∞） B． C． D．11．（2023•杭州模拟）函数f（x）＝ex+ax+b在区间[1，3]上存在零点，则a2+b2的最小值为．三．函数的零点与方程根的关系（共18小题）12．（2023•海淀区校级模拟）已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣t＝0有两个实数解，分别为x1和x2，当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2＝4成立，则k的取值范围为（）A． B． C． D．13．（2023•龙华区校级模拟）关于函数f（x）＝，其中a，b∈R，给出下列四个结论：甲：5是该函数的零点．乙：4是该函数的零点．丙：该函数的所有零点之积为0．丁：方程f（x）＝1有两个不等的实根．若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁14．（2023•山西模拟）已知函数，则f（x）与g（x）图象的交点个数是（）A．6 B．4 C．3 D．215．（2023•阿勒泰地区三模）已知，若函数f（x）在区间上有且只有3个零点，则θ的范围为（）A． B． C． D．16．（2023•烟台模拟）已知函数，若f（x）＝m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则的最小值是．17．（2023•龙岩模拟）已知函数f（x）＝关于x的方程f（x）＝k恰有三个不同实数解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且关于m的方程5lnm+有实数解，则实数m的取值范围为．18．（2023•赤峰模拟）已知函数，若方程f（x）＝b有解，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，log25） B．（﹣∞，log25] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）19．（2023•江西模拟）函数在区间[﹣3，5]上的所有零点之和为（）A．6 B．8 C．12 D．1620．（2023•咸阳模拟）已知函数，则函数g（x）＝f（f（x））﹣1的零点个数是（）A．1 B．0 C．2 D．321．（2023•聊城三模）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x+1）是偶函数，g（x）＝（x﹣1）f′（x）﹣1恰有四个零点，则这四个零点的和为．22．（2023•天津三模）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣ax﹣1在R上恰有三个不同的零点，则a的取值范围是．23．（2023•苏州三模）设a＞0，函数，若g（x）＝f（x）﹣b恰有三个不同的零点，且b是其中的一个零点，则实数b的值为．24．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是；的值为．25．（2023•绍兴二模）设函数f（x）＝x﹣sin．（1）证明：当x∈[0，1]时，f（x）≤0；（2）记g（x）＝f（x）﹣aln|x|，若g（x）有且仅有2个零点，求a的值．26．（2023•南昌一模）已知函数f（x）＝（x﹣a）2+bex（a，b∈R）．（1）若a＝0时，函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围；（2）若a＞0，b＝，方程f（x）＝3有解，求a的取值范围．27．（2023•宁波模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|ex和g（x）＝a|x|的图象共有三个不同的交点，并且它们的横坐标从左到右依次记为x1，x2，x3．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：2x3﹣x2+x1＜2a．28．（2023•湖南模拟）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＞0）在区间[1，2]上有最大值2和最小值1．（1）求a，b的值；（2）不等式g（x）﹣kx≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若且方程有三个不同的实数解，求实数t的取值范围．29．（2023•东阳市模拟）已知函数．（1）对任意m≥1，方程f（x）＝0恒有三个解，求实数t的取值范围；（2）已知m＝1，方程f（x）＝0有三个解为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求证：x3﹣x2＜t，x2﹣x1＞1．四．二分法的定义与应用（共4小题）30．（2023•梅州二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）31．（2023•辽宁三模）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程x3+2x2+3x+3＝0的近似解，先用函数零点存在定理，令f（x）＝x3+2x2+3x+3，f（﹣2）＝﹣3＜0，f（﹣1）＝1＞0，得（﹣2，﹣1）上存在零点，取x0＝﹣1，牛顿用公式反复迭代，以xn作为f（x）＝0的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为；以（﹣2，﹣1）为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为．32．（2023•大连模拟）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数f（x）在x0附近一点的函数值可用f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程x3﹣3x+1＝0，选取初始值x0＝，在下面四个选项中最佳近似解为（）A．0.333 B．0.335 C．0.345 D．0.34733．（2023•桃城区校级模拟）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是2m（m∈N*）将2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组2m﹣1人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）．若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为人．若待检测的总人数为2m（m≥3），且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为．五．函数与方程的综合运用（共11小题）34．（2023•南平模拟）A，B分别是函数y＝ex﹣1和图象上的点，若AB与x轴平行，则|AB|的最小值是（）A． B． C． D．35．（2023•天津二模）设函数，g（x）＝e﹣|x﹣1|．当x∈[﹣2023，2025]时，f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）A．4051 B．4049 C．2025 D．202336．（2023•张家口二模）已知函数，若曲线y＝cosx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，ln2] B．[﹣1，ln2] C．（﹣∞，2ln2] D．[0，2ln2]37．（2023•南昌二模）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的三个零点分别为1，x1，x2（0＜x1＜x2），若函数f（x+1）为奇函数，则f（2）的取值范围为（）A．[0，1] B．（0，1） C．（0，2） D．[0，2]38．（2023•合肥模拟）设A，B，C，D是曲线y＝x3﹣mx上的四个动点，若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个，则实数m的值为（）A．4 B． C．3 D．39．（2023•济宁三模）若对任意的，总存在三个不同的y∈[﹣1，3]，使得方程xey+y2﹣aey＝0成立，其中e≈2.71828⋯为自然对数的底数，则实数a的取值范围是．40．（2023•保山模拟）对于函数f（x），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f（x）为“倒戈函数”，设函数f（x）＝3x+tanx﹣2m+1（m∈R）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是：[1，]．41．（2023•安徽模拟）若函数f（x）对定义域内任意实数x均满足f（λx）＝f（x）•f（x+λ），其中λ＞0，则称f（x）是“λ等值函数”．若函数（a＞0）是“2等值函数”，则实数a＝，函数y＝g（x）﹣1在区间[0，2023]上零点个数为．42．（2023•南关区校级模拟）定义：对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}，有如下性质：性质1：A⊆B；性质2：若函数f（x）单调递增，则A＝B．已知函数f（x）＝eax，x＞0，a≠0．（1）讨论集合A＝{x|f（x）＝x}中元素个数；（2）若集合B＝{x|f[f（x）]＝x}中恰有1个元素，求a的取值范围．43．（2023•全国一模）已知函数．（1）当m＝2时，求函数f（x）的定义域；（2）设函数f（x）的定义域为M，当时，，求实数m的取值范围．44．（2023•滨州二模）设函数f（x）的导函数为f′（x），若不等式f（x）≥f′（x）对任意实数x恒成立．则称函数f（x）是“超导函数”．（1）请举一个“超导函数”的例子，并加以证明；（2）若函数g（x）与h（x）都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F（x）＝g（x）h（x）是“超导函数”；（3）若函数y＝φ（x）是“超导函数”且方程φ（x）＝φ′（x）无实根，φ（1）＝e（e为自然对数的底数），判断方程φ（﹣x﹣lnx）＝e﹣x﹣lnx的实数根的个数并说明理由．

四、刷基础四、刷基础一．选择题（共16小题）1．（2023•青羊区校级模拟）“m＜0”是“函数f（x）＝m+log2x（x≥1）存在零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．（2023•西固区校级模拟）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）3．（2023•大庆模拟）已知函数，则（）A．f（0.1）＞f（0.2） B．函数f（x）有一个零点 C．函数f（x）是偶函数 D．函数f（x）的图象关于点对称4．（2023•湖北模拟）已知函数，若f（a﹣1）≥f（2a+1）成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞） C． D．5．（2023•河东区一模）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝x+2，设函数h（x）＝e﹣|x﹣2|（﹣2＜x＜6）（e为自然对数的底数），则f（x）与h（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2023•兴庆区校级三模）函数在区间（2，4）上存在零点．则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣18） B．（5，+∞） C．（5，18） D．（﹣18，﹣5）7．（2023•湖北模拟）已知函数f（x）＝xα，g（x）＝xβ，其中x∈[0，+∞），0＜α＜1，β＞1，若点，，，满足|MP|＝|NQ|，则（）A．4α﹣4β＝2α+β B．4α+4β＝2α+β C．2α﹣2β＝2α+β D．2α+2β＝2α+β8．（2023•金昌二模）已知x0是函数的一个零点，若x1∈（2，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．x0∈（2，4） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）＜0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞09．（2023•龙岩模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）＝23，当x∈（0，4]时，f（x）＝x2﹣2x，则函数f（x）在区间（﹣4，2023]上的零点个数是（）A．253 B．506 C．507 D．75910．（2023•辽宁二模）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上满足f（2﹣x）＝f（2+x），f（5﹣x）＝f（5+x），且在闭区间[0，5]上只有f（1）＝f（3）＝0，则方程f（x）＝0在闭区间[﹣2020，2020]上的根的个数（）A．1348 B．1347 C．1346 D．134511．（2023•淮北二模）若关于x的方程2x3﹣3x2﹣12x+k＝0有3个不同实根，则满足条件的整数k的个数是（）A．24 B．26 C．29 D．3112．（2023•全国模拟）函数f（x）＝4sin（3x+2）+2cos（3x+4）在（0，π）上的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413．（2023•呼和浩特模拟）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）﹣1+m＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A． B． C．（﹣∞，2）∪（2，+∞） D．（1，e2）14．（2023•千阳县校级模拟）已知函数f（x）＝|log2|1﹣x||，若函数g（x）＝f2（x）+af（x）+2b有6个不同的零点，且最小的零点为x＝﹣1，则2a+b＝（）A．6 B．﹣2 C．2 D．﹣615．（2023•中卫二模）设f（x）是定义在R上的函数，若f（x）+x2是奇函数，f（x）﹣x是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（）（1）当x∈[2，3]时，g（x）＝﹣2（x﹣2）（x﹣3）；（2）；（3）若g（m）≥2，则实数m的最小值为（4）若h（x）＝g（x）﹣k（x﹣2）有三个零点，则实数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（2023•浉河区校级模拟）已知函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1），则下列结论正确的是（）A．函数y＝f（sin（x﹣1））不是周期函数 B．函数为奇函数 C．当a＞1时，函数f（|x|）的最大值是0 D．若a＝e，则函数f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数二．填空题（共10小题）17．（2023•广陵区校级模拟）已知，若函数g（x）＝f（x）﹣k有两个零点，则实数k取值范围是．18．（2023•四川三模）函数f（x）＝sinx﹣log2x的零点个数为．19．（2023•和平区校级二模）设a∈R，函数，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是．20．（2023•谷城县校级模拟）已知关于x的方程x•ex﹣2﹣a（x+lnx）﹣2a＝0在（0，1]上有两个不相等的实很，则实数a的取值范围是．21．（2023•海口模拟）若对任意a∈[2，3]，关于x的方程logax＝b﹣x在区间[2，3]上总有实根，则实数b的取值范围是．22．（2023•沈河区校级模拟）已知[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，则方程的整数解个数为．23．（2023•和平区校级一模）函数f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若函数y＝f2（x）﹣2bf（x）+b﹣有12个零点，则b的取值范围是．24．（2023•厦门模拟）函数，当a＝1时，f（x）的零点个数为；若f（x）恰有4个零点，则a的取值范围是．25．（2023•南宁二模）已知x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2，则函数y＝x﹣|sinx|﹣[x]，在x∈[﹣π，π]的零点个数是．26．（2023•凉州区模拟）已知函数y＝f（x）满足：当﹣2≤x≤2时，，且f（x）＝f（x+4）对任意x∈R都成立，则方程4f（x）＝|x|的实根个数是．五五.刷易错一．选择题（共3小题）1．（2023•周至县一模）对于函数f（x），若对任意的x1，x2，x3∈R，f（x1），f（x2），f（x3）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．（0，+∞）2．（2023•天津模拟）已知函数f（x）＝x|x﹣a|+2x，若存在a∈（2，3]，使得关于x的函数y＝f（x）﹣tf（a）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．（） B．（1，） C．（1，） D．（1，）3．（2023•青秀区校级模拟）对于任意的y∈[1，e]，关于x的方程x2ye1﹣x＝ay+lny在x∈[﹣1，4]上有三个根，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．（0，] C．[，e2﹣] D．[，e2﹣）二．多选题（共1小题）（多选）4．（2023•大连模拟）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数X0，Y0分别为甲、乙两方初始实力，t为比赛时间；x（t），y（t）分别为甲、乙两方t时刻的实力；正实数a，b分别为甲对乙、乙对甲的比赛效果系数．规定当甲、乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为T．则下列结论正确的是（）A．若X0＞Y0且a＝b，则x（t）＞y（t）（0≤t≤T） B．若X0＞Y0且a＝b，则 C．若，则甲比赛胜利 D．若，则甲比赛胜利三．填空题（共3小题）5．（2023•大荔县一模）已知函数，其中min{a，b}表示a，b中较小的数．若f（x）＝a有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．6．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数则函数的零点个数为．7．（2023•青浦区校级模拟）已知函数，若方程f（x）＝a恰有四个不同的实数解，分别记为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是考点09二分法与求方程近似解（5种题型与基础、易错专练）一、2一、2022真题抢先刷，考向提前知一．选择题（共1小题）1．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（0，2） C．（﹣∞，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【分析】问题转化为f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，⇒y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，再分三种情况当k＝0时，当k＜0时，当k＞0时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1）图象如图所示，当x＝时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为﹣，当x＝时，函数y＝﹣x的函数值为﹣，所以两图象有4个交点，符合题意，当k＞0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1）在[0，）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个交点，即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，即k＝x+在（，+∞）还有两个根，函数y＝x+≥2，（当且仅当，即x＝时，取等号），所以，且k＞2，所以k＞2，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．二．填空题（共2小题）2．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【分析】根据条件（1）可知x0＝0或1，进而结合条件（2）可得a的范围【解答】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1，又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．3．（2022•天津）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为[10，+∞）．【分析】设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，分析可知函数g（x）至少有一个零点，可得出Δ≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围．【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，由|x|﹣2＝0可得x＝±2．要使得函数f（x）至少有3个零点，则函数g（x）至少有一个零点，则Δ＝a2﹣4（3a﹣5）≥0，解得a≤2或a≥10．①当a＝2时，g（x）＝x2﹣2x+1，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：此时函数f（x）只有两个零点，不满足题意；②当a＜2时，设函数g（x）的两个零点分别为x1、x2（x1＜x2），要使得函数f（x）至少有3个零点，则x2≤﹣2，所以，，解得a∈∅；③当a＝10时，g（x）＝x2﹣10x+25，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：由图可知，函数f（x）的零点个数为3，满足题意；④当a＞10时，设函数g（x）的两个零点分别为x3、x4（x3＜x4），要使得函数f（x）至少有3个零点，则x3≥2，可得，解得a＞4，此时a＞10．综上所述，实数a的取值范围是[10，+∞）．故答案为：[10，+∞）．【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．三．解答题（共2小题）4．（2022•上海）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．（2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣）t]∪[（1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∴对t＞0恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（2022•乙卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入，对函数f（x）求导，求出f′（0）及f（0），由点斜式得答案；（2）对函数f（x）求导，分a≥0及a＜0讨论，当a≥0时容易判断不合题意，当a＜0时，设g（x）＝ex+a（1﹣x2），利用导数判断g（x）的性质，进而判断得到函数f（x）的单调性并结合零点存在性定理即可得解．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，则，∴f′（0）＝1+1＝2，又f（0）＝0，∴所求切线方程为y＝2x；（2）＝，若a≥0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意；设g（x）＝ex+a（1﹣x2），g′（x）＝ex﹣2ax，当﹣1≤a＜0时，在（0，+∞）上，g（x）＞e0+a≥0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，无零点，不合题意；当a＜﹣1时，当x＞0时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（0）＝1+a＜0，g（1）＝e＞0，所以存在唯一的x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f（x0）＜f（0）＝0，先证当x＞0时，，设，则，易知当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）单减，当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）单增，所以，则当x＞0时，，所以，再证，设，则，易知当0＜x＜1时，m′（x）＜0，m（x）单减，当x＞1时，m′（x）＞0，m（x）单增，所以m（x）≥m（1）＝0，即，则由a＜﹣1，可得，则当x＞1+a2时，＞0，此时f（x）在（0，+∞）上恰有一个零点，当﹣1＜x＜0时，g′（x）在（﹣1，0）上单调递增，，故存在唯一的x1∈（﹣1，0），使得g′（x1）＝0，且g（x）在（﹣1，x1）上单调递减，在（x1，0）上单调递增，，故存在唯一的x2∈（﹣1，x1），使得g（x2）＝0，所以f（x）在（﹣1，x2）上单调递增，在（x2，0）上单调递减，x→﹣1时，f（x）→﹣∞，f（0）＝0，此时f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．二、考点清单二、考点清单一．函数的零点一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解法——二分法】①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【总结】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．二．函数零点的判定定理1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．三．函数的零点与方程根的关系函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【考查趋势】考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．四．二分法的定义与应用二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．【二分法的应用】我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，有图象可得，只有③能满足此条件，故答案为③．在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．【二分法求方程的近似解】二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是[1.5，2]．解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，故函数f（x）在[1.52]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，故答案为[1.5，2]．通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．五．函数与方程的综合运用函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．三、三、题型方法一．函数的零点（共4小题）1．（2023•乌鲁木齐三模）定义符号函数，则方程x2sgnx＝5x﹣6的解是（）A．2或﹣6 B．3或﹣6 C．2或3 D．2或3或﹣6【分析】根据符号函数的意义，分段解方程作答．【解答】解：依题意，当x＞0时，方程x2sgnx＝5x﹣6为：x2＝5x﹣6，解得x＝2或x＝3，因此x＝2或x＝3，当x＝0时，方程x2sgnx＝5x﹣6为：0＝5x﹣6，解得，于是无解，当x＜0时，方程x2sgnx＝5x﹣6为：﹣x2＝5x﹣6，解得x＝﹣6或x＝1，因此x＝﹣6，所以方程x2sgnx＝5x﹣6的解是x＝2或x＝3或x＝﹣6．故选：D．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题．2．（2023•北京模拟）的零点为﹣1，2．【分析】利用方程的根求解函数的零点即可．【解答】解：当x≤0时，x+1＝0，解得x＝﹣1；x＞0时，x2﹣4＝0，解得x＝2，函数的零点为：﹣1，2．故答案为：﹣1，2．【点评】本题考查函数的零点的求法，是基础题．3．（2023•毕节市模拟）给出下列命题：①函数f（x）＝2x﹣x2恰有两个零点；②若函数在（0，+∞）上的最小值为4，则a＝4；③若函数f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝4，则；④若关于x的方程2|x|﹣m＝0有解，则实数m的取值范围是（0，1]．其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【分析】根据函数的基本性质，逐一分析选项，即可得出答案．【解答】解：对于①：当x＞0时，f（x）＝2x﹣x2有2个零点，2和4，作出y＝x2和y＝2x的图像，当x＜0时，函数f（x）＝2x﹣x2有1个零点，∴函数f（x）＝2x﹣x2有3个零点，故①错误；对于②：，即，则a＝4，故②正确；对于③：①，②，∵f（x）+f（1﹣x）＝4，∴，，…，，∴①+②＝4×9＝36，∴，故③正确；对于④：若关于x的方程2|x|﹣m＝0有解，则m＝2|x|，∵|x|≥0，∴m≥1，故④错误，故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断和函数的基本性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．4．（2023•汉中模拟）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlogax﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．[5，+∞） D．（5，+∞）【分析】函数的零点即方程的解，将其转化为图象交点问题，又由函数图象特点，得到交点的对称问题，从而求解【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlogax﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程的解；x2是方程的解；则x1，x2分别为函数的图象与函数y＝y＝ax和函数y＝logax的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝ax和y＝logax以及的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以，有x1x2＝1，而x1≠x2则x1+4x2＝x1+x2+3x2≥＞2+3＝5即x1+4x2∈（5，+∞）故选：D．【点评】本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数．二．函数零点的判定定理（共7小题）5．（2023•西安模拟）已知f（x）＝ex+lnx+2，若x0是方程f（x）﹣f'（x）＝e的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】根据题意，求出g（x）的解析式，分析g（x）的单调性，结合函数零点判定定理分析可得答案．【解答】解：已知f（x）＝ex+lnx+2，则，x＞0，设g（x）＝f（x）﹣f′（x）﹣e，则，易得y＝g（x）（0，+∞）上为增函数，又g（2）＜0而g（3）＞0，则则x0可能存在的区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查导数的计算，涉及函数与方程的关系，属于中档题．6．（2023•重庆一模）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】判断函数的单调性，由f（2）＜0，f（3）＞0，结合函数零点判定定理得答案．【解答】解：函数f（x）＝lnx+2x﹣6在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3＞0，∴函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．7．（2023•海南一模）函数的零点所在的大致区间为（）A．（1，e） B．（e，e2） C．（e2，e3） D．（e3，e4）【分析】根据零点存在性定理，即可得出答案．【解答】解：在（0，+∞）连续不断，且单调递减，∵，∴函数的零点所在的大致区间为（e2，e3），故选：C．【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（2023•洪山区校级模拟）已知函数f（x）＝ax+（1+a）x﹣2（a＞0且a≠1），若函数f（x）恰有一个零点，则实数a的取值范围为．【分析】根据指数函数的性质，得到f（0）＝0，然后分别讨论a＞1或0＜a＜1时，函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：∵f（x）＝ax+（1+a）x﹣2（a＞0且a≠1），∴当x＝0时，f（0）＝a0+（1+a）0﹣2＝1+1﹣2＝0，即0是f（x）的一个零点，若函数f（x）恰有一个零点，则等价为当x≠0时，f（x）≠0，即可．当a＞1时，由指数函数的性质可知：f（x）在R上单调递增，此时只有一个零点，满足题意；当0＜a＜1时，f′（x）＝axlna+（1+a）xln（1+a），则函数f′（x）在R上单调递增，由于，故f′（x）存在唯一零点，若f（x）只有一个零点x＝0，此时也必为极值点，又此时，则只需f′（0）＝lna+ln（1+a）＝0，解得；综上所述，则实数a的取值范围为．故答案为：．【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用指数函数的性质，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．9．（2023•桃城区校级模拟）已知函数在区间[2，4]上有零点，则的最小值为．【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可．【解答】解：设a为f（x）在[2，4]上的一个零点，则，所以P（m，n）在直线上，又为坐标原点，易知．令，则，所以g（x）在[2，4]上单调递增，所以．所以的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查函数零点，距离公式等知识点，根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构造函数求最值是解题的关键，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．10．（2023•荔湾区校级模拟）设函数g（x）＝f（x）﹣4x﹣1．若函数g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．{﹣1}∪[，+∞） B． C． D．【分析】构造函数h（x）＝，则问题转化为h（x）＝4mx+m在区间（﹣1，1）上有且仅有一个根，进一步转化为函数y＝h（x）的图象与直线y＝4mx+m在区间（﹣1，1）只有一个交点，利用导数研究曲线的切线问题，确定边界状态的m的值，结合图象求解即可得到答案．【解答】解：令h（x）＝，则＝，令g（x）＝f（x）﹣4x﹣1，即f（x）＝4x+1，故，所以h（x）＝4mx+m，作出函数h（x）的图象如图所示，函数g（x）的零点个数即为函数y＝h（x）的图象与直线y＝4mx+m的交点个数，直线y＝4mx+m过定点，当直线y＝4mx+m过点（1，1）时，m＝；当直线y＝4mx+m与曲线（﹣1＜x＜0）相切时，设切点坐标为，由y'＝，故切线的斜率为，所以，解得，则，解得m＝﹣1，结合图象可知，当m≥或m＝﹣1时，函数y＝h（x）的图象与直线y＝4mx+m只有一个交点，即函数g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个零点，所以实数m的取值范围是．故选：C．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．11．（2023•杭州模拟）函数f（x）＝ex+ax+b在区间[1，3]上存在零点，则a2+b2的最小值为．【分析】设零点为t，则有at+b＝﹣et，由柯西不等式可得e2t＝[at+b•1]2≤（a2+b2）（t2+1），进而得a2+b2≥，利用导数求出g（t）＝，t∈[1，3]的最小值即可．【解答】解：设零点为t，则et+at+b＝0，所以at+b＝﹣et，由柯西不等式可得e2t＝[at+b•1]2≤（a2+b2）（t2+1），所以a2+b2≥，令g（t）＝，t∈[1，3]，所以g′（t）＝＝＞0，所以g（t）在t∈[1，3]上单调递增，所以g（t）min＝g（1）＝，所以a2+b2≥，所以a2+b2的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了转化思想、导数的综合运用及柯西不等式的应用，属于中档题．三．函数的零点与方程根的关系（共18小题）12．（2023•海淀区校级模拟）已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣t＝0有两个实数解，分别为x1和x2，当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2＝4成立，则k的取值范围为（）A． B． C． D．【分析】作出函数图象，结合函数的对称性将问题转化为y＝kx﹣2k与y＝x2﹣4x+4在x∈（3，2+）内有交点，分离参数计算即可．【解答】解：如图所示，作出函数y＝f（x）与y＝t（1＜t＜3）的图象，易得两函数交点位于x＝2两侧，不妨设x1＜2＜x2，若存在t使得x1+x2＝4成立，即﹣4x1+4＝t＝kx2﹣2k，又y＝x2﹣4x+4关于x＝2对称，故﹣4x1+4＝（4﹣x2）2﹣4（4﹣x2）+4＝﹣4x2+4＝t＝kx2﹣2k，因为1＜t＜3，所以﹣4x2+4∈（1，3），所以x2∈（3，2+），即﹣4x2+4＝t＝kx2﹣2k在x2∈（3，2+）有解，则k＝＝x2﹣2∈（1，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．13．（2023•龙华区校级模拟）关于函数f（x）＝，其中a，b∈R，给出下列四个结论：甲：5是该函数的零点．乙：4是该函数的零点．丙：该函数的所有零点之积为0．丁：方程f（x）＝1有两个不等的实根．若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】由已知函数的单调性判断甲、乙中有一个错误，假设甲正确，结合丙正确求得a与b的值，得到函数解析式，再说明丁正确，则答案可求．【解答】解：当x∈[0，3.5]时，f（x）＝log2（x+2）﹣a为增函数，当x∈[3.5，+∞）时，f（x）＝b﹣x为减函数，故5和4只有一个是函数的零点，即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙、丁均正确．由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则f（0）＝log22﹣a＝0，得a＝1，若甲正确，则f（5）＝0，即b﹣5＝0，b＝5，可得f（x）＝，由f（x）＝1，可得或，解得x＝2或x＝4，方程f（x）＝1有两个不等实根，故丁正确．故甲正确，乙错误．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，函数的零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，是中档题．14．（2023•山西模拟）已知函数，则f（x）与g（x）图象的交点个数是（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】首先判断两个函数的单调性，再结合端点值，即可判断选项．【解答】解：两个函数的定义域为R，因为，所以函数f（x）为偶函数，因为，所以函数g（x）是偶函数，，根据复合函数单调性可知，在（0，+∞）函数g（x）单调递减，当x＞1时，，函数f（x）单调递增，当0＜x＜1时，，，所以函数单调递减，f（0）＝﹣1，g（0）＝0，，，g（1）∈（﹣1，0），所以f（0）＜g（0），f（1）＜g（1），所以f（x）与g（x）图象在（0，+∞）有1个交点，根据偶函数的性质，在（﹣∞，0）上也有1个交点，所以两个函数共有2个交点．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，属于中档题．15．（2023•阿勒泰地区三模）已知，若函数f（x）在区间上有且只有3个零点，则θ的范围为（）A． B． C． D．【分析】将看作一个整体t，使用整体思想，由正弦函数y＝sint的零点（即对称中心的横坐标）求解即可．【解答】解：∵在区间上有且只有3个零点，∴令，当时，，∴f（x）在区间上有且只有3个零点，即y＝sint在区间上有且只有3个零点，又∵y＝sint的零点（即对称中心的横坐标）为t＝kπ，k∈Z，∴当k＝0时，，当k＝1时，，当k＝2时，，当k＝3时，，当k＝4时，，∴，解得．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．16．（2023•烟台模拟）已知函数，若f（x）＝m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则的最小值是3．【分析】作函数f（x）与y＝m图象，结合图象可得x1x2＝1，，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：作函数与y＝m图象如下：由图可得0＜m＜1，∵f（x）＝m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，可得x1＜﹣1＜x2＜x3＜1＜x4，可得ln（﹣x1）＝﹣ln（﹣x2），，即x1x2＝1，x3x4＝1，所以，当且仅当即x4＝2且等号成立，则的最小值是3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了分段函数的性质，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．17．（2023•龙岩模拟）已知函数f（x）＝关于x的方程f（x）＝k恰有三个不同实数解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且关于m的方程5lnm+有实数解，则实数m的取值范围为．【分析】在同一平面直角坐标系中作出y＝f（x），y＝k的函数图象，根据图象有3个交点确定出x1，x2，x3的关系，所以可将方程转化为，然后构造函数g（x）＝ex（x﹣1）（x∈（1，ln5））并分析g（x）的单调性确定出其值域，即可得出答案．【解答】解：在同一平面直角坐标系中作出y＝f（x），y＝k的函数图象如下图所示：当x≤1时，y＝﹣（x+1）2+3≤3，当x＞1时，y＝ex﹣2＞e﹣2，所以由图象可知：k∈（e﹣2，3）时关于x的方程f（x）＝k恰有三个不同实数解，又，所以，又因为k∈（e﹣2，3），所以，所以x3∈（1，ln5），设g（x）＝ex（x﹣1）（x∈（1，ln5）），所以g′（x）＝ex（x﹣1）+ex＝exx＞0，所以g（x）在（1，ln5）上单调递增，所以g（x）∈（g（1），g（ln5）），即，所以，，．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．18．（2023•赤峰模拟）已知函数，若方程f（x）＝b有解，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，log25） B．（﹣∞，log25] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）【分析】利用对数的运算性质和基本不等式即可求解．【解答】解：＝＝≥log24＝2（当且仅当，也即x＝1时取等号），∴b≥2，故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．19．（2023•江西模拟）函数在区间[﹣3，5]上的所有零点之和为（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】化简可得f（x）＝1+sinπx﹣xsinπx，令f（x）＝0可得，，作出函数y＝sinπx与的大致图象，结合图象可知所求零点之和为2×4＝8．【解答】解：由题意可得：f（x）＝1+sinπx﹣xsinπx，令f（x）＝0，且f（1）＝1≠0，可得，作出函数y＝sinπx与的大致图象如下图所示，易知y＝sinπx与均关于点（1，0）对称，由图可设y＝sinπx与的交点横坐标依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，根据对称性可得x1+x8＝x2+x7＝x3+x6＝x4+x5＝2，故函数f（x）在[﹣3，5]上所有零点之和为2×4＝8．故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．20．（2023•咸阳模拟）已知函数，则函数g（x）＝f（f（x））﹣1的零点个数是（）A．1 B．0 C．2 D．3【分析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令t＝f（x），可知f（t）＝1；结合函数图像及解析式可求得t的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数．【解答】解：函数，对y＝﹣xex⇒y′＝﹣（x+1）ex，令y′＞0⇒x＜﹣1，令y′＜0⇒0＞x＞﹣1，可知y＝﹣xex在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，且x趋向负无穷时，y＞0，x＝﹣1时，，故结合对数函数图象，可画出函数f（x）图像如下图所示：函数g（x）＝f（f（x））﹣1的零点，即f（f（x））＝1，令t＝f（x），代入可得，由图像可知t＝e﹣1，即f（x）＝e﹣1，结合函数图像可知，f（x）＝e﹣1有1个解，综合可知，函数g（x）＝f（f（x））﹣1的零点有1个．故选：A．【点评】本题主要考查了分段函数的性质，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．21．（2023•聊城三模）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x+1）是偶函数，g（x）＝（x﹣1）f′（x）﹣1恰有四个零点，则这四个零点的和为4．【分析】根据题意，由条件可得g（x+1）＝xf′（x+1）﹣1为偶函数，可得其所有零点之和为0，然后即可得到结果．【解答】解：将函数g（x）向左平移1个单位，所以g（x+1）＝（x+1﹣1）f′（x+1）﹣1＝xf′（x+1）﹣1，因为f（x+1）是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知，f′（x+1）是奇函数，且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则y＝xf′（x+1）为偶函数，所以g（x+1）＝xf′（x+1）﹣1为偶函数，又因为函数g（x）恰有四个零点，即函数g（x+1）恰有四个零点，且这四个零点一定是两组关于y轴对称，其四个零点之和为0，而g（x+1）是由g（x）向左平移了1个单位，所以g（x）的四个零点之和为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查转化能力，属于中档题．22．（2023•天津三模）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣ax﹣1在R上恰有三个不同的零点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪[1，2）．【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用参数分离法分离参数，构造两个函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，由g（x）＝f（x）﹣ax﹣1＝x2+4x+a﹣ax﹣1＝0，得x2+4x﹣1＝a（x﹣1），则a＝，当x＞0时，由g（x）＝f（x）﹣ax﹣1＝+a+1﹣ax﹣1＝0，得＝a（x﹣1），当x＝1时，1＝0不成立，即x≠1，则a＝＝，设h（x）＝，（x≤0），h′（x）＝＝＝，当x≤0时，由h′（x）＞0得x＜﹣1，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得，﹣1＜x≤0，此时h（x）为减函数，且h（0）＝1，即当x＝﹣1时，h（x）取得极大值为h（﹣1）＝2，设φ（x）＝，（x＞0且x≠1），φ′（x）＝﹣，则由φ′（x）＞0，得0＜x＜，此时φ（x）为增函数，由φ′（x）＜0，得＜x＜1或x＞1，此时φ（x）为减函数，即当x＝时，φ（x）取得极大值为φ（）＝﹣4，当x＞1时，φ（x）＝＞0，作出h（x）＝，（x≤0）和φ（x）＝，（x＞0且x≠1）的图象如图：要使g（x）＝f（x）﹣ax﹣1在R上恰有三个不同的零点，等价为y＝a与h（x），和φ（x）的图象分别有三个不同的交点，由图象知，1≤a＜2或a＜﹣4，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪[1，2）．故答案为：（﹣∞，﹣4）∪[1，2）．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法进行分离参数，然后构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．23．（2023•苏州三模）设a＞0，函数，若g（x）＝f（x）﹣b恰有三个不同的零点，且b是其中的一个零点，则实数b的值为．【分析】由题意可得f（x）为偶函数，所以g（x）也为偶函数，从而得有两个零点关于原点对称，第三个零点必为0，所以b＝2＞0，分﹣a≤x≤a、x＞a、x＜﹣a得函数f（x）单调性及值域，从而得b＝，于是有2＝，即可得b的值．【解答】解：因为f（x）＝+，因为f（﹣x）＝+＝+＝f（x），所以f（x）为偶函数，所以g（x）＝f（x）﹣b也为偶函数，因为函数g（x）＝f（x）﹣b恰有三个不同的零点x1，x2，b，所以有两个零点关于原点对称，第三个零点必为0，所以g（0）＝f（0）﹣b＝0，又因为f（0）＝2，所以b＝2＞0，当﹣a≤x≤a时，f（x）＝+，所以f2（x）＝2a+2，又因为∈[0，a]，所以f2（x）∈[2a，4a]，所以f（x）∈[，2]，仅当x＝0时，f（x）＝2，当x＞a时，f（x）＝+，易知f（x）单调递增，仅当x＝时，f（x）＝2，当x＜﹣a时，f（x）＝+，易知f（x）单调递减，仅当x＝﹣时，f（x）＝2，又因为b是其中一个大于0的零点，所以b＝，所以＝2，解得＝，所以