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文档简介
1.5.1全称量词与存在量词
一、全称量词与全称量词命题思考1(教材P26)
下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?(1)x>3;(2)2x+1是整数;(3)对所有的x∈R,x>3;(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.全称量词符号表示全称量词命题形式所有的、任意一个、一切、每一个、任给∀含有全称量词的命题“对M中任意一个x,p(x)成立”符号简记为“∀x∈M,p(x)”通常,将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示.一、全称量词与全称量词命题例1(教材P27例1)
判断下列全称量词命题的真假(1)所以的素数都是奇数;(2)∀x∈R,|x|+1≥1;(3)对任意一个无理数x,x2也是无理数.注:一个大于1的整数,除1和自身外无其他正因数,则称这个正整数为素数(质数).训练1(教材P28练习1)判断下列全称量词命题的真假
(1)每个四边形的内角和都是360°;(2)任何实数都有算术平方根;
(3)∀x∈{y|y是无理数},x3是无理数.真命题假命题假命题真命题假命题假命题思考1
对给定的全称量词命题,如何判断它的真假?对集合M中每一个x,p(x)都成立,那么“∀x∈M,p(x)”为真命题;在集合M中存在一个x0,使得p(x0)不成立,那么“∀x∈M,p(x)”为假命题;二、存在量词与存在量词命题思考2(教材P27)下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?(1)2x+1=3;(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.存在量词符号表示存在量词命题形式存在一个、至少有一个、有一个,有些、有的、对某些∃含有存在量词的命题“存在M中的元素x,p(x)成立”符合简记为“∃x∈M,p(x)”二、存在量词与存在量词命题例2(教材P28例2)判断下列存在量词命题的真假(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.训练2(教材P28练习2)
判断下列存在量词命题的真假.(1)存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直;(2)至少有一个整数n,使得n2+n为奇数;(3)∃x∈{y|y是无理数},x2是无理数.假命题假命题真命题真命题真命题假命题思考2
对给定的存在量词命题,如何判断它的真假?在集合M中存在一个x0,使得p(x0)成立,那么“∃x∈M,p(x)”为真命题;对集合M中每一个x,p(x)都不成立,那么“∃x∈M,p(x)”为假命题;三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3(同步导练P22例3)
(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x,则实数m的取值范围为
__________;(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}使得m≥x,则实数m的取值范围为__________;m≥3m≥1结论1∀x∈M,a≥y(或a≤y)⇔_______________a≥ymax(或a≤ymin)结论2
∃x∈M,a≥y(或a≤y)⇔_______________a≥ymin(或a≤ymax)训练3
(1)已知对任意的x∈{x|1<x<3}都有m>x,则实数m的取值范围为__________;m≥3(范围取不到,端点添等号)(同步导练P22变式训练3)
(2)若命题“∀x∈{x|1≤x≤6},x2-a≥0”是真命题,则a的取值范围为
__________;a≤1(恒成立问题)(能成立问题)三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围例4
已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠∅,若命题p:
“∀x∈B,都有x∈A”
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