充分条件与必要条件 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.1充分条件与必要条件

一、命题

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.若p，则q命题的条件命题的结论例1

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的条件与结论.(1)对顶角相等；

(2)两个全等三角形的面积相等；

(3)三角形的内角和等于180°

若一个平面图形是三角形，则它的内角和等于180°.若两个角是对顶角，则这两个角相等.若两个三角形是全等三角形，则这两个三角形面积相等.二、充分条件与必要条件思考1(教材P17)

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(3)若x2-4x+3=0，则x=1；(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.

命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系条件关系p⇒qp⇏qp是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件想一想

若q不成立，则p是否成立？请举例说明.例：若参评三好学生，则平均分要大于90分.不成立q是p成立必不可少的条件二、充分条件与必要条件例2(教材P18例1节选)

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件?

(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；(2)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(3)若x2=1，则x=1；(4)若x，y为无理数，则xy为无理数.p⇒qp⇒qp⇏qp⇏q思考2(教材P18)

例2(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分

别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.归纳

平行四边形的每条判定定理实际上都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件.一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.二、充分条件与必要条件例3(教材P19例2节选)

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?

(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；(2)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；(3)若x=1，则x2=1；(4)若xy为无理数，则x，y为无理数.p⇒qp⇒qp⇏qp⇏q思考3

例3(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别

相等”.这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件吗？①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.归纳

平行四边形的每条性质定理实际上都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件.一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.二、充分条件与必要条件例4(P20练习1)1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB；(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；(3)若两个三角形相似，则两个三角形的面积比等于周长比的平方.(P20练习2)2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若直线l与⊙O有且仅有一个交点，则l为⊙O的一条切线；(2)若x是无理数，则x2也是无理数.(P20练习3)3.如图，直线a与b被直线l所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4.请根据

这些信息，写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件.p⇒qp⇒qp⇒qp⇏qp⇏q充分条件：“∠1=∠2”或“∠1=∠4”或“∠1+∠3=180°”必要条件：“∠1=∠2”或“∠1=∠4”或“∠1+∠3=180°”三、充分(必要)条件与集合的关系例5指出下列哪些命题中p是q的充分条件？

(1)已知x∈R，p：x>2，q：x>1；

(2)已知x∈R，p：x>2，q：x>3(3)已知x∈R，p：x>2，q：x>2.p⇒qp⇒qp⇏q思考4

观察例5，你能否利用集合间的关系判断充分条件和必要条件.设P={x|p(x)}，Q={x|q(x)}

定义Venn图集合表示p⇒qP⊆Q小范围⇒大范围判断充分(必要)条件的方法(1)定义法；(2)集合法.三、充分(必要)条件与集合的关系例6

已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实

数a的取值范围.设集合A＝{x|3a<x<a}，集合B＝{x|－2≤x≤3}.因为p⇒q，所以A⊆B.训练1(1)

使x>3成立的一个充分条件是()A.x>4B.x