大学物理课件

电子教案大学物理第一章质点运动学1.1质点运动的描述1.3位移和速度1.4加速度1.5圆周运动的角量描述1.6质点运动学的两类问题1.7相对运动1.2位置矢量质点的运动学方程§1.1质点运动的描述本节主要掌握以下两个概念：参考系：在自然界中，描述物体的运动必须先选定一个参考标准，这个被选参考物就叫参考系特点：不同的参考系对同一物理运动情况的描述是不同的。质点：物体都有大小和形状，且运动方式又各不相同，但如果可以忽略其大小和形状，或是可以只考虑其平动，这样我们可以把物理看作是一个有一定质量的点，这样的点就叫质点。特点：质点是经过科学抽象而形成的理想物理模型。§1.2位置矢量质点的运动学方程一、位置矢量坐标

要描述质点在空间的运动，首先要确定质点在任一时刻的位置。因此，应先选取一个参考系，并在其上建立一个坐标系。分别表示沿三个坐标轴正方向的单位矢量。z·P(x,y,z

)^j^ix^kyr0则质点P相对于O的方位可由三个方向余弦来确定：用表示的大小，即质点p离原点o的距离质点运动学：描述质点（或物体）的位置随时间的变化。二质点的运动学方程x^y^z^x·zyz(t)y(t)x(t)r(t)P(t)0x=x(t)y=y(t)z=z(t)平均速度r(t+Δt)r(t)Δrxyz

P2

P1

0ΔSr(t+Δt)r(t)

0ΔrΔr··位移：质点在某段时间内的位移等于同一时间内位矢的增量路程：表示质点在一段时间内实际经过的那段运动轨道的长度（图中的？段）§1.3位移和速度速度的叠加：速度是各分速度之矢量和，如下式：速率瞬时速度有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为试求：1.第2秒内的平均速度；2.第2秒末的瞬时速度；3.第2秒内的路程。分析：1.由公式可知，要得到第2秒内的平均速度，就必须知道第2秒内的位移△x。2.由瞬时速度公式可知，其值为位移在第2秒末时刻的导数。3.在求路程之前，应先了解质点的运动规律，比如速度在什么时刻为零。由题意可得质点在t＝1.5s时速度为零，之后其速度方向与原来相反。因此要知道第2秒内的路程应分两步来求。求第1秒末到第1.5秒的位移减去第1.5秒到第2秒末的位移即：例1－1hs例1-2求：船速靠岸的速率解：l平均加速度瞬时加速度令t0xr(t+Δt)r(t)yz

P2

P1

0v

(t)v

(t+Δt)Δvv

(t)v

(t+Δt)··加速度合成§1.4加速度在自然坐标系中，常将加速度分解为切向加速度法向加速度θRΔSoΔ轨道曲线某点的曲率k和曲率半径ρ质点的加速度加速度的大小方向例：一质点运动轨迹为抛物线===>(z=0)求：x=-4时（t>0)粒子的速度、速率、加速度。分析：x=-4，t=2xy解：练习例1-3一质点沿半径为R的圆周运动，质点所经过的弧长与时间的关系为其中b，c为正，且Rc>。求从t＝0开始到达加速度与半径成角时所经过的时间。解设t＝0时质点的位置为自然坐标系的原点，则质点的运动学方程为于是质点的瞬时速度为1.5圆周运动一.圆周运动的切向、法向加速度1.匀速率圆周运动Ro质点沿半径R的圆周以匀速率运动由相似三角形方向:大小:指向圆心大小不变,方向变2.变速圆周运动Ro注意:1.曲线运动中圆周运动的角量描述θθrxΔSosΔ+在此只讨论用极坐标描述圆周运动的情况半径r固定，θ=θ(t)称为质点的角坐标。角位移：在Δt时间内角坐标的改变量Δθ平均角速度瞬时角速度（简称角速度）平均角加速度瞬时角加速度单位:(Rad/s)线量与角量的关系θθrxΔSosΔ+当质点以角加速度β作匀变速圆周运动时，有：例1-4：一飞轮以n＝1500转/分的角速度转动，因制动均匀减速，经50秒后静止。求（1）角加速度β极从制动开始到静止期间飞轮转过的圈数N；（2）制动开始后t＝10秒时的角速度ω。解：初始角速度：50秒后停止转过的圈数：（2）t＝10s时飞轮的角速度§1.6质点运动学的两类问题第一类问题：已知质点的运动学方程，求速度和加速度。这类问题只需按公式第二类问题：已知速度V(t）或加速度a（t），求质点的运动学方程。两个相对平动参照系Δr0Δr′A′·ABΔrA′oo′xx′y′

ySS′u·S′相对S平动，速度为u§1.7相对运动两边除t，取极限或伽里略速度变换长度测量的绝对性时间测量的绝对性叠加发生在同一个参考系，变换涉及不同参考系第三章质点动力学3.2

动能定理3.3势能3.4机械能守恒定律§3.1功保守力的功

能量的概念是自然科学中最普遍、最基本的概念。能量的形式多种多样，各种不同形式的能量可以通过不同的方式相互转化。这一章，我们着重讨论与机械能有关的能量－－动能和势能。1.恒力的功：等于力在作用点位移方向的分量于位移大小的乘积ABji运用矢量，上式可写成：A到B做功S2.变力的功：3.1功功率保守力的功3.合力的功：等于各个分力所做功的代数和。功率：表征做功的快慢平均功率：瞬时功率：保守力的功1.重力的功(质点从A移动到B）ABxyz结论：重力的功只与起点和终点有关，与路径无关。因此重力沿一闭合路径作的功为零。同样可知：万有引力和弹性力的功也只与起点和终点有关，与路径无关。保守力和非保守力保守力：对运动质点所作的功只与起点和终点有关，与路径无关。非保守力：对运动质点所作的功与路径有关。例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数

m，在外力作用下小物体（质量m）以速率v做匀速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。r解：小物体对环带压力走一段小位移ds所做的功转一周§3.2动能定理质点在合外力作用下沿曲线运动，位移为，做功为：根据牛顿第二运动定律：则做功为：则质点从A－－>B点外力所作的功为：由此式可得到质点的动能定理：作用在质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质点在该路程的始、末状态动能的增量。对于质点系（即多个质点组成的系统）如图：根据动能定理，外力对第i个质点所作的功总功为质点系的动能定理：一个质点系的总动能的增量等于作用于该质点系的外力和内力做功的总和。有关系统内力做功：由于内力总是成对出现，因此做功为：一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的路径所做的功。O注意：动能定理只能也必须在同一惯性系中例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。迄今，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能达到1019eV，是其静止能量的1010倍。例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体时速度v，求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。RMm解：重力只对小球做功水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。DsmgjDh对m，内力所做的功对M，内力所做的功*本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。由动能守恒定理可得：在保守力场（在任意点受保守力的作用），质点从A-->B，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。（如重力，万有引力，弹性力，静电力等。）AB§3.3势能势能：凡是能量的大小决定于物体之间的相互作用和相对位置，这种能量就叫势能。质点在保守力场中的势能的增量的负值等于保守力的功质点在力场中某点A的势能就等于将质点从A点移到参考点（势能零点）时保守力所作的功，即重力场：以地面为势能零点，则在任意一点z处的重力势能为弹性力场：以弹簧原长处为势能零点，则在任意一点x处的弹性势能为引力场：取无穷远处为势能零点，则在任意一点r处的引力势能为保守力与势能的微分关系将上式写成微分形式：写成矢量式，为：对质点系有动能定理：一.功能原理

将内力分为保守内力与非保守内力，有：由保守力的功和势能增量的关系：有引入系统的机械能

，有：

§3.4机械能守恒定律由功能原理，在外力和非保守力不做功的情况下，系统的机械能不变。即──机械能守恒定律普遍的能量守恒定律如考虑各种物理现象，计及各种能量，则一个孤立系统不管经历何种变化，系统所有能量的总和保持不变─－普遍的能量守恒定律。二.机械能守恒定律

所以保守内力作功是系统的势能与动能之间转化的手段和度量。解：设碰撞后两球速度由动量守恒两边平方由机械能守恒（势能无变化）两球速度总互相垂直例：在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度v。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。第五章刚体的转动质点→集合→连续介质变形体刚体弹性体塑形体5-1.刚体的定轴转动刚体:特殊的质点系,形状和大小不变的理想化的模型.研究方法:单个质点服从牛顿定律.在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。一.刚体的平动1.特点:各质元运动轨迹相同,相同.2.方法:可看作质点,用质心的运动代替刚体的运动.二.刚体的定轴转动各质元绕某一直线作圆周运动,该直线为转轴.1.特点:不变形,Δθ,ω,α相同.2.方法:一点的角量代替整体的角量.OP×ω,α定轴刚体

θzrv注意:1).转轴⊥转动平面;定轴转动中,α、ω可简化成”+”、”-”2).ω沿轴向且与转动方向成右手螺旋3).角加速度4.角量、线量的关系:5-2转动动能转动惯量一.转动动能riviΔmiω刚体上的质元Δmi在转动平面内,ri与轴垂直,刚体的动能为各质元的动能之和：注意:刚体的转动动能二.刚体的转动惯量1.定义:刚体的转动惯量等于各质元的质量和其各自到转轴的垂直距离的平方的乘积之和.2.决定因素:1).形状、大小相同时,m↑→J↑(决定于m);2).m相同,m分布离轴越远,J越大(决定于m的分布);3).同一刚体,转轴不同,J不同,(决定转轴的位置).3.计算1).质量不连续分布其中ri为Δmi到转轴的垂直距离m1m3m2r3r2r12)质量连续分布其中r为dm到转轴的垂直距离质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布面分布体分布例1.求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，dm=dx例2.求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解:在圆环上取质元dm

J是可加的，若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。例3.求质量为m、半径为R、厚为l

的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,lORrdrdm可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。思考题:两均匀圆盘其厚度相同,且有mA=mB及ρA>ρB,试问:JA与JB哪个大?∵RA<RB,∴JA<JB4.关于J的两个定理1).叠加定理:若刚体由几部分组成,则对某一转轴的转动惯量等于各部分对该轴的转动惯量之和.m1,R1m2,R22).平行轴定理若刚体绕通过质心的转轴的转动惯量为JC,则对另一与之平行且相距为d的转轴的转动惯量为J，且有：J＝JC＋md2。CdmJCJ平行ol/2l/2Cx右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）5.3力矩转动定律一.力矩θ改变刚体转动状态的力在其转动平面内方向:由矢径r经小于π的角转向F的右手螺旋方向.讨论:1.力F在转动平面内,r的方向由转轴指向力的作用点,M沿轴的方向;2.力不在转动平面内,要将其分解成与平面平行及垂直的两个分量:3.F通过转轴,M=0zOirifiFitFi二、转动定律对

mi用牛顿第二定律：切向分量式为：Fit+fit=

miait=

miriα切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直两边乘以ri,有：Fitri

+fitri

=

miri2α外力矩内力矩

mifit对所有质元的同样的式子求和：∑Fitri

+∑fitri

=∑

miri2α一对内力的力矩之和为零，所以有∑Fitri

=（∑

miri2）αJ＝∑

miri2

即为刚体对于转轴的转动惯量用M表示∑Fitri

（合外力矩）则有fijmjmifjirorjriOiZ刚体定轴转动的转动定律:刚体所受的对于某一定轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与其获得的角加速度的乘积.M＝Jα与地位相当注意:1.合外力矩M即外力矩的代数和;m1,l1mm2,l2o2.M、α是瞬时关系,时时处处对应;ACBOmgmgθ3.M、J、α均相对同一转轴;例.质量为m,半径为R的滑轮两端悬挂质量分别为m1、m2的物体,设绳与滑轮间无相对滑动,求:系统的加速度及滑轮两端绳的张力?T1m2m1R,mT2a解:受力分析绳与滑轮无相对滑动注意:1.涉及滑轮转动,滑轮两端绳的张力不相等T1≠T2;2.绳与滑轮无相对滑动,a=Rα3.若滑轮受阻力矩Mr作用,则4.注意暗含条件α不同,a相同α相同,a不同思考题:1.比较α1、α2的大小?FP=F2.质量为m长为l的直棒在摩擦系数为μ的平面内转动时,摩擦力矩?μm,l5-4力矩的功刚体定轴转动的动能定理一.力矩的功力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积xOrvFP

drd注意:力矩的功本质上仍是力的功,对于刚体内力矩的功为零.二.刚体定轴转动的动能定理合外力矩的功等于刚体转动动能的增量.三.刚体的机械能守恒1.势能:不太大的刚体2.机械能:3.刚体的机械能守恒:系统仅有保守力的作功,其机械能守恒.C为质心5-5角动量角动量守恒定律一.角动量1.质点对某点的角动量O注意:对某点的L要指明参考点O,O不同则L不同2.质点对轴的角动量质点在平面内运动O注意:定轴转动中,L沿轴的方向,可简化成”+””-”表示方向.思考题:1.质点以动量mv作半径为r的圆周运动,它对圆心的L=?d2m1,v1om2,v2d1L=mvr2.若以垂直向外为正向图中所示系统的L=?L=m1v1d1-m2v2d23.刚体对轴的角动量刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：riΔmiviω定轴转动L与ω同向刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量J

和角速度

的乘积。4.质点+刚体系统的Ldm1,loωm2,v二.质点角动量定理及角动量守恒定律质点所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量1.质点的角动量定理2.质点的角动量守恒定律质点所受合外力矩等于零,则其对该点的角动量不变.注意:1).M为合外力矩;2).M、L均对同一参考点(转轴);3).质点受有心力的作用,其L必守恒.有心力:力的作用线通过给定点且力的大小依赖于质点与给定点的距离.三.刚体角动量定理及角动量守恒定律1.刚体角动量定理2.刚体角动量守恒定律刚体所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量刚体所受合外力矩为零,则其角动量守恒注意:1).L=Jω=常量,J、ω可变但乘积不变;2).M、L、ω均对同一转轴,M为合外力矩,ω对同一参考系;思考题;1.相对射入的两子弹,圆盘ω改变否?如何变?m,vm,vω2.做匀速直线运动的质点角动量是否一定为零?一定守恒?做匀速圆周运动的质点的角动量是否一定守恒?对直线外的任一点的角动量不为零,一定守恒.做匀速圆周运动的质点相对圆心的角动量守恒,而对圆心以外的其它点的角动量不守恒.3.光滑水平面有一静止的细杆,在其两端施加一对大小相等,方向相反的力,细杆运动中其动量是否守恒?对中心的角动量是否守恒?动能是否守恒?FFO动量守恒,角动量不守恒,动能不守恒.4.均匀细杆可绕杆的一端其垂直于杆的水平轴无摩擦转动.若细杆竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细杆发生完全非弹性碰撞,在碰撞过程中球、杆组成的系统的动量是否守恒?对转轴的角动量是否守恒?机械能是否守恒?动量不守恒,角动量守恒,机械能不守恒.质点与刚体碰撞组成的系统一般情况下动量不守恒,而角动量守恒.例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度

。已知棒长为l,质量为M.解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：v0vmMl系统的角动量守恒:例2.长为l质量为M的均匀直杆在光滑水平面上可绕通过其中心且垂直水平面的竖直轴转动,质量为m的小球以vo水平冲击杆的一端,发生弹性碰撞后小球的v=?,杆的ω=?lm,vo解:弹性碰撞E守恒,且L守恒例3.长为l质量为M的均匀直杆一端悬挂并可绕其在竖直平面自由转动,杆从水平位置无初速落下,在竖直位置与质量为m的物体A发生非弹性碰撞,碰后在摩擦系数μ的水平面上A滑行S=?A解:下落过程中机械能守恒碰撞过程角动量守恒由动能定理:第6章机械振动一、振动的概念二、简谐振动方程三、旋转矢量四、简谐振动的速度、加速度五、简谐振动的的能量六、简谐振动实例七、阻尼振动八、受迫振动共振九、简谐振动的叠加一、振动的概念振动也称振荡。在力学中，振动是指物体围绕某个平衡位置作周期性往复的运动，又称机械振动。广义的说，任何一个物理量在某一确定值附近的反复变化都可称为振动，如电磁振动，交流电中电流、电压的反复变化等。一、振动的概念物体作机械振动时，来回往复的运动轨迹，最简单的是一条直线，称为直线振动。在平面或空间的复来振动，都可以认为是由多个直线振动叠加而成的。在直线振动中，最基本最常见的振动是简谐振动，任何复杂的振动，都可认为是由多个简谐振动合成的。二、简谐振动方程组成物质的分子、原子间的相互作用在很多情况下都可以用一个弹簧振子的振动来描述。不考虑弹簧的质量和任何摩擦，弹簧振子的振动是一种典型的简谐振动。

1.弹簧振子模型胡克定律给出弹簧的恢复力

2.简谐振动的动力学方程mxO由牛顿第二定律二、简谐振动方程令是简谐振动的动力学方程，其解为

x=Acos(ωt+

)或x=Asin(ωt+

)式中A,

为待定积分常量。二、简谐振动方程习惯上用余弦形式。

3.简谐振动的定义物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数〕的规律随时间变化，这种运动就叫简谐振动。

x=Acos(ωt+

)或

x=Asin(ωt+

)二、简谐振动方程动力学角度：若质点受的力与位移成正比，方向相反，则该质点的振动称为简谐振动。

4.简谐振动的判据二、简谐振动方程运动学角度：若质点加速度与位移成正比，方向相反，则称为简谐振动。a=-ω2x广义地讲，任何物理量的变化满足下面的微分方程都称为简谐振动。三、旋转矢量图示法（相量图法）简谐振动可以用一个旋转矢量来描述，有助于了解谐振动表达式中A，ω,φ

的物理意义。质点m以角速度ω做匀速圆周运动，其位矢在x

轴上的分量或投影为：

yxωtA-AOxmω称为振幅矢量x=Acos(ωt+

)A振幅：是质点离开平衡位置的最大幅度，即最大位移，它的大小表征振动的强弱。

描述简谐振动的三个特征量x=Acos(ωt+

)

yxωtA-AOxmω三、旋转矢量图示法（相量图法）ω角速度：又称圆频率，表征振幅矢量旋转的快慢，也即振动的快慢。三、旋转矢量图示法（相量图法）

yxωtA-AOxmω又称为系统的固有角频率在单位时间内完成完全振动的次数称为频率

v三、旋转矢量图示法（相量图法）所以是矢量旋转一周，即质点完成一次完全振动所需的时间，称为周期T

又称为系统的固有周期单位v的为1/秒(s-1)，称为赫兹(Hz)

的为rad/s或s-1ωt+

相位：决定了质点在t时刻的振动状态，t=0时的相位

称为初相位，简称初相。三、旋转矢量图示法（相量图法）

yxωtA-AOxmω单位弧度(rad)。相位相差2π整数倍时质点的振动状态相同。x=Acos(ωt++2k)=Acos(ωt+

)三、旋转矢量图示法（相量图法）相差

2<

1，

振动（1）比振动（2）超前或振动（2）比振动（1）落后；

2-

1=0或2π的整数倍，也即π的偶数倍，称这两个振动为同相。x1x2三、旋转矢量图示法（相量图法）

2-

1=π或π的寄数倍，称这两个振动为反相。x2x1由初始条件确定振幅A和初相

三、旋转矢量图示法（相量图法）初始条件由此解得例P.13四、简谐振动的速度、加速度简谐振动的位移简谐振动的速度简谐振动的加速度四、谐振动的速度、加速度式中vm=ωA,am=ω2A分别为速度，加速度的振幅，v,a均为谐振动，v比x相位超前/2，a与x反相。例P.9课堂练习：①②③④课堂练习：①②③④课堂练习：①②③④课堂练习：①②③④或五、简谐振动的能量弹簧振子做谐振动时，振动系统不受外力和内部非保守力的作用，系统机械能守恒。势能

Ep动能Ek五、简谐振动的能量总机械能即振动总机械能是恒量，并与振幅平方成正比。

弹簧振子动能、势能的平均值五、简谐振动的能量即动能平均值与势能平均值相等，等于总能量的一半。xttEEpEk五、简谐振动的能量T五、简谐振动的能量六、简谐振动实例

1.单摆

系统所受力矩角加速度六、简谐振动实例令有

较小时（

）则单摆作简谐振动。六、简谐振动实例对单摆的另一种处理方法

摆球所受合力摆球切向角加速度ft（

时）称为准弹性力有例1复摆（物理摆）的振动对比谐振动方程知：但若做小幅度摆动即当由转动定律得动力学方程一般情况不是简谐振动时满足的方程：振动的物理量固有圆频率角位移

振动表达式对比六、简谐振动实例

2.LC振荡

开关K打向左侧电源给电容充电开关K打向右侧LC回路中电流振荡六、简谐振动实例LC回路中六、简谐振动实例七、阻尼振动在弹性力或准弹性力作用下的简谐振动，由于没有任何阻力的作用，振动系统的能量和振幅不随时间变化，这样的振动称为无阻尼自由振动。由于阻力的作用，振动系统的能量随时间逐渐减小，因而其振幅也逐渐减小，这种振动称为阻尼振动，又称为减幅振动。实验表明，当物体运动速度不很大时，阻力与速度成正比且方向相反七、阻尼振动式中为阻尼系数，为系统的固有角频率。

A0

,

0

为积分常数，1.欠阻尼振动七、阻尼振动是一种振幅随时间指数式衰减的振动，称为欠阻尼振动。xt0当ω0>β时，微分方程的解为阻尼振动不是简谐振动，也不是严格的周期振动。七、阻尼振动xt0即比振动系统的固有周期要长。

但仍可以定义周期时间常量欠阻尼振动振幅随时间指数式衰减七、阻尼振动xt0振动能量定义作为阻尼振动的特征时间称为时间常量或鸣响时间。品质因数Q定义为鸣响时间内可能振动的次数的2

倍。七、阻尼振动品质因数即Q值越高，振动的次数越多，系统能量损失越慢，表示振动系统越“好”。在阻尼不严重的情况下，可用振动系统的固有周期和固有角频率计算。例：钢琴Q

103，激光器光学谐振腔Q

1072.当ω0<β时的阻尼运动称为过阻尼运动。x不振动，需要很长的时间才能回到平衡位置。七、阻尼振动3.当ω0=β时的阻尼运动称为临界阻尼运动。此时物体刚刚能做非周期性运动，最后回到平衡位置。和过阻尼相比，临界阻尼这种非周期性运动回到平衡位置的时间最短。在实验中，例如天平、高灵敏电流计等仪器，控制在临界阻尼状态，指针或光标可以迅速、无振荡的达到平衡位置。七、阻尼振动八、受迫振动共振谐振子在周期性外力驱动下的振动称为受迫振动。外力提供的能量刚好弥补阻尼所消耗的能量时，系统达到稳定振动状态。振动方程方程通解设驱动力为Hcost受迫振动的振动频率与外力作用频率相同而与振动系统的固有频率无关。暂态，经一定时间后衰减为零。八、受迫振动共振稳定的振动，称为受迫振动。txOA-A八、受迫振动共振受迫振动的振幅与位相令受迫振动的振幅A是驱动力频率ω的函数八、受迫振动共振受迫振动的振幅当驱动力频率这种现象称为共振。时，受迫振动的振幅A达到极大值八、受迫振动共振β小β

0β大ω0ωA共振时与外力同相，驱动力对系统总作正功，形成共振。振动速度小号发出的波足以把玻璃杯振碎1940年华盛顿的塔科曼大桥建成同年7月的一场大风引起桥的共振桥被摧毁一.同方向、同频率的简谐振动的合成1.分振动:x1=A1cos(

t+

1)x2=A2cos(

t+

2)2.合振动:x=x1+x2令：九、简谐振动的叠加合振动是简谐振动,其频率仍为

合矢量A将与矢量A1

与

A2

一起以角速度ω转动。

2

1

A2A1Ax2x1xωxy

九、简谐振动的叠加即在同一直线上两个同频简谐振动的合振动，仍是一个同频率的简谐振动。九、简谐振动的叠加

2

1

A2A1Ax2x1xωxy两个特例AA2A1tx九、简谐振动的叠加,k=0，1，2，…两分振动同相

合振幅最大。问题：A1=A2时，合振动情况如何？AA1-A2tx九、简谐振动的叠加,k=0，1，2，…两分振动反相

合振幅最小。九、简谐振动的叠加

2.同一直线上n个同频率简谐振动的合成九、简谐振动的叠加在轴上的个同频率简谐振动合成的相量图

线性相加用旋矢法求解由图得一般情况特例1）主极大2）的倍数的整数极小3）次极大（多光束干涉的理论基础）特例1）主极大2）的倍数的整数极小例：三个同频率

同振幅A0同方向的SHV相邻相位差为/3求：合振幅A解：画旋矢图/3/3由图很容易得到A=2A0或将已知条件代入公式得出结果（请自解）九、简谐振动的叠加

3.同一直线上不同频率简谐振动的合成时，随时间缓慢变化，其绝对值可以看作合振动的振幅，则合振动就是“拍”。九、简谐振动的叠加拍频余弦函数的绝对值在一个周期内有两个最大值，故九、简谐振动的叠加ttt三.垂直方向、同频率简谐振动的合成1.分振动x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)2.合运动(1)合运动一般是在2A1(x向)、2A2(y向)范围内的一个椭圆

椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)在A1、A2确定之后,主要决定于

=

2-

1

=5

/4

=3

/2

=7

/4

=0

=

=

/2

=3

/4Q

=

/4P

·.x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)四.垂直方向不同频率简谐振动的合成

两分振动频率相差很小

=(

2-

1)t+(

2-

1)可看作两频率相等而

2-

1随ｔ缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化

轨迹称为李萨如图形

x

y=3

2

2=0,

1=

/4yxA1A2o-A2-A1

两振动的频率成整数比1.将质量为0.2kg的物体，系于倔强系数为k=19N/m的竖直悬挂的弹簧的下端，假定在弹簧不变形的位置将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动的频率为

,振幅为

。2.用40N的力拉一轻弹簧，可使其伸长20cm，此弹簧下应挂

kg的物体，才能使弹簧振子的周期T=0.2πs。3.一倔强系数为k的弹簧，下端挂一质量为m的物体，系统的振动周期为T，若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期等于

。4.一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，则振动系统的频率为

。5.一物块悬挂在弹簧的下端作谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的

（设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长Δl,这一振动系统的周期为

。6.一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示，其周期T=

，用余旋函数描述其初位相为

。t(s)4--22x（m）6题图7.已知两振动曲线如图，x1

比x2相位超前

。xt7题图x1x28题图8.两个简谐振动曲线如图所示，则它们的振动频率之比γ1：γ2=

。初始速度之比v10:v20

=

。9、一弹簧振子总能量为E，如果简谐振动的振幅增加为原来的2倍，重物质量增加为原来的4倍，则总能量变为原来的（）倍。

A.2B.4C.1/2D.1/410、一简谐振动的曲线如图所示，则该振动的周期为（）A.10sB.11sC.12sD.13s

11、两个弹簧振子的周期都是0.4s，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两个振动的相位差为

。x12、一质点在x轴上作简谐振动，振幅为4cm，周期为2s，取平衡位置为坐标原点，若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向负向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为：（A）1s（B）（2/3)s（C）（4/3）s（D）2s13、两个同方向同频率的简谐振动，(SI)其合振幅是

。14.x1=0.05cos(10t+3π/4)x2=0.06cos(10t+π/4)求(1)x=？(2)若有:x3=0.07cos(10t+φ

0)若使x1+x3加强最大,φ0=？若使x1+x3加强最大,φ

0=？15.两个同频率、同振幅及同振动方向的简谐振动,它们的合振动的振幅与两个分振动的振幅相同,求两个分振动的相位差.波动:振动在空间的传播过程.常见的波有:机械波,电磁波…第十二章机械波一.机械波的形成1.机械波机械振动在弹性媒质中的传播.如声波，波源：声带振动；媒质：空气绳子上的波，波源：端点振动，媒质：绳子§1机械波的形成和传播2.产生条件波源:作机械振动的物体.弹性媒质:各质元间有弹性力的作用.3.振动和波动的区别:⑴振动:质点在平衡位置附近振动,不作远距离传播.

波动:振动状态及能量状态的远距离传播.⑵振动速度:平衡位置附近往复运动的速度(与振源有关)波动速度:振动状态的传播速度(与媒质有关)4.波的分类

横波：质元的振动方向与波的传播方向垂直.

纵波：质元的振动方向与波的传播方向一致.5.波速：振动状态（相位）在媒质中的传播速度气体和液体只能传播纵波，而固体既能传播纵波，也能传播横波，波速取决于媒质的密度和弹性模量.横波纵波t=00481620············12·············t=T/4·························t=T/2·························t=3T/4······························t=T····················6.波的传播过程（以横波为例）

结论：(1)质元并未“随波逐流”波的传播不是媒质质元的传播(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现---波是振动状态（相位）的传播(4)同相点（相位差2

）----质元的振动状态相同二.波形曲线(波形图)

不同时刻对应有不同的波形曲线波形曲线能反映横波、纵波的位移情况o

xuty三.波线和波阵面波线：沿着波的传播方向做一些带箭头的线，箭头的方向为波的传播方向。球面波平面波波线波面波阵面（波前）：波在传播过程中，任一时刻媒质中各质元振动相位相同的点联成的面。球面波的传播四.波的特征量1.波长

:两相邻同相点间的距离2.波的频率

:媒质质点(元)的振动频率即单位时间传过媒质中某点的波的个数3.波速u:单位时间波所传过的距离五.波是相位的传播沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。x··ab

xu传播方向图中b点比a点的相位落后一.平面简谐波§2平面简谐波的波函数1.定义:由波源作简谐振动所传播的,波阵面为平面的波.2.特点:1°波场中各点都作简谐振动,且波的频率=波源的频率=各点的振动频率2°无吸收的介质中,各点的振幅=波源的振幅

3.表达方式:任一时刻同一波面上各点有相同的位相,且偏离平衡位置的位移相同,与波面垂直的任一波线上的传播规律即为波的传播规律.yxouxp一平面简谐波沿x方向传播,质元沿y方向振动,平面波的规律即确定波线上任一点p任一时刻的位移y=f(x,t)已知O点的振动表达式为：P点A,

均与O点的相同,但相位落后则P点的振动表达式一维简谐波的波的表达式波动是相位的传播,波动中的有关相位、初相、相位差的概念与振动中相应的概念具有相同的意义,只是波动不仅具有时间的周期性也具有空间的周期性.二.平面简谐波波函数三.平面简谐波表达式的物理意义1.若x=x0(波线上的定点)2.若t=t0

3.若x,t都变化,波函数表示波线上各点不同时刻的位移分布,是振动状态传播的波形图.X0处质点重复坐标原点O的谐振动，但相位比O点落后Y仅是x的函数,此时波函数表示t0时刻波线上各个质元偏离各自的平衡位置的位移分布情况,即t0时刻的波形图。—X0点的振动方程波动表达式的物理意义4.波沿x负向传播其中

x=u

ty(x+

x,t+

t)=y(x,t)o

xutyt+Δt5.波函数的其它形式根据λ=u·Tω=2πν==2π/T6.同一波线上两点之间相位差x··ab

xu传播方向图中b点比a点的相位落后例1.已知一平面简谐波的波动方程为y=Acos(bt-dx),（b,d为正的常数），则此波的频率为多少?波长为多少?例2.一横波的波动方程为y=0.02sin2π(100t-0.4x)(SI)，则振幅、波长、频率、波的传播速度及波源振动速度最大值各是多少?例3.一平面波t=0时刻的波形图如图,已知u=200m/s,求:1)O点的振动表达式?2)波函数?3)x=3m处p点的振动方程?y(m)x(m)o23p0.02u→1.y0=0.02cos(100πt+π/2)m2.y=0.02cos｛100π(t-x/200)+π/2｝m3.yp=0.02cos(100πt-π)m例4.已知向左传播的平面波t=T/4时的波形图,求波函数?y(m)x(m)o2-0.5←u=8m/sy=0.5cos｛2π(t+x/8)+π/2｝例5.已知B点的振动方程yB=Acosωt,求波函数?yxoxBB→uy=Acos｛ω(t-x/u)+ωxB/u｝例6.一平面波沿x轴以u向右传播,已知A点振动方程为yA=Acos(ωt+φ),B点在A点的右方且与之相距为b,写出四个坐标系下的波函数及B点的振动方程.yxAB→uyxAB→uL→uyxABOLBA→uOyx(a)(d)(b)(c)a.b.c.d.一.波的能量振动动能形变势能+=波的能量以绳子上传播横波为例，其波动方程为：设绳子的线密度为μ,则△m=μ△x线元的振动速度动能§3波的能量则：形变势能势能结论：在波的传播过程中,任一线元的动能和势能都随时间变化,且在任何时刻都是同相位的,其量值也是完全相等的,即动能最大,势能也最大；动能为零，势能也为零.因此总能量随时间呈周期变化.线元的总机械能为：注意:波动势能为质元的形变能,与其偏离平衡位置的位移无关.波的能量密度：平均能量密度：二.能流和能流密度波的能量—单位时间垂直通过单位面积的平均能量平均能流密度:uSux在各向同性媒质中，能流密度的方向就是波速的方向，其大小反映了波的强弱，称之为波的强度,与波的振幅平方成正比。§4惠更斯原理波的叠加原理波的干涉在波的传播过程中,波阵面上的每一点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任意时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。作用:1.可求出新的波阵面.一.惠更斯原理2.直观反映波的传播方向.3.推导反射、折射定律.4.了解衍射.当平面波通过一缝时，若缝的宽度远大于波的波长，波表现为直线传播；若缝的宽度略大于波长，波阵面弯曲，波的传播方向改变，波绕过障碍物向前传播；若缝的宽度小于波长（相当于小孔），衍射现象更加明显，波阵面由平面变成球面。波在传播过程中遇到障碍物时,波的传播方向绕过障碍发生偏折的现象.波的衍射衍射现象明显与否，和障碍物的线度有关。

二.波的叠加原理1.波的传播独立性媒质中同时有几列波传播时,每列波都将保持自己单独传播时的特性(传播方向、振动方向、频率等)不变,不受其它波的影响。2.叠加原理:几列波在空间某点相遇，该点的振动是各列波单独存在时在该点引起的振动的合成。三.波的干涉1.波的干涉现象

几列波在某一区域同时传播时,在空间可形成有些地方振动始终加强,有些地方振动始终减弱的稳定的强度分布现象.波的独立性2.相干条件(1)频率相同(2)相位差恒定(3)振动方向相同

波源S1的振动

S10=A1cos(

t+

10)

波源S2的振动

S20=A2cos(

t+

20)3.强度加强、减弱的条件设振动方向垂直屏面,则波场中任一点的振动为两个同方向的分振动的合成:

p点的两个分振动

S2

S1r1r2pP点合振动P点合振幅相位差:P点的强度ⅰ加强条件(干涉相长)讨论:(k=0,1,2,……)

=(

20-

10)–(r2-r1)=

2k

A=A1+A2xyoA1-A1A2-A2λⅱ减弱条件(干涉相消)λoA1-A1A2-A2xyA=|A1-A2|

=(

20-

10)-

(r2-r1)=

(2k+1)

(k=0,1,2,……)

=(

20-

10)-(r2-r1)(r1-r2)为波程差

设

20＝

10则

ⅴ若波源振动初相相同加强减弱

ⅳ波程差

某处质元的合振动的位相差不满足上述条件时,则合振动的振幅介于两者之间。ⅲ一般情况若两个波在不同的媒质中传播,则其在p点的振动分别为:S1S2r1r2P加强减弱P点的合振动:

波程差为波长的整数倍,为相长干涉;波程差为半波长的奇数倍，为相消干涉。一平面简谐波在弹性媒质中传播,在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中:A.它的动能转换成势能.B.它的势能转换成动能.C.它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大.D.它把自己的能量传给相邻的一段质元,其能量逐渐减少.同方向振动的两个平面简谐波源S1和S2,其振动表达式分别为:x1=A1cosωt;x2=A2sinωt,和两波源等距离的P点的振幅为?y=2cos600π(t-x/330)=2cos2π(300t-x/1.1)解:λ=1.1mC点干涉相消例1.一平面波y=2cos600π(t-x/330)m传到隔板的两个小孔A、B上,A、B相距1m,且AC⊥AB.若从A、B传出的子波到达C点恰好干涉相消,求C到A的距离?Ar1BCr2解得:k=0时,r1=(1-λ2/4)/λ=0.634m0.634m是AC上距离A最近的一个干涉相消点.例2.两波源B、C具有相同的振动方向,频率均为100Hz,C点超前B点相位为π,具有相同的振幅,两简谐波相向传播,波速均为400m/s.若B、C两点间距离为30m,求B、C连线上因叠加而静止的各点的位置.→u←uBPC解:λ=u/υ=4mP点静止即干涉相消0﹤r1﹤30时,P点静止例3.两相干波源S1、S2相距3λ/4,S1的相位超前S2π/2,若两波单独传播时,其强度相同且均为I0,则在S1、S2的连线上,S1及S2的外侧各点合成波的强度分别是多少?PP`S1S2解:S1外侧P点的相位差P点波的强度I=4I0S2外侧P`点的相位差P`点波的强度I=0第八章气体分子运动论

(Kinetictheoryofgases)热学:研究物质热运动规律的一门科学研究对象:大量微观粒子(分子或原子)组成的系统研究方法:分为宏观和微观宏观:以实验为基础—宏观理论—热力学微观:以分子原子理论－微观理论—统计物理分子物理学(气体动理论):从物质的微观模型出发,应用力学规律和统计方法,研究大量分子热运动规律.热力学:以实验为基础,经过逻辑推理,研究宏观物质热现象的规律§8.1分子运动的基本概念二、物体内的分子在永不停息地作无规则运动

扩散现象：说明了物体内的分子在永不停息地作无规则运动扩散现象和温度有关，温度越高，扩散进行得越快。

布朗运动：证实分子作无规则运动的著名实验。三、分子间存在相互作用力见教材P5图13.2。当r＝r0时，分子力f＝0；当r<r0时，分子力f表现为斥力；当r>r0时，分子力f表现为引力；一、宏观物体是由大量分子（或原子）组成的实验证明：1mol任何物质的分子数均为N0=6.022×1023mol-1本章讨论的气体分子运动论是统计物理学最简单最基本的内容。目的在于使我们了解一些气体性质的微观解释，并学到一些统计物理的基本概念和方法。§8.2气体状态参量平衡态理想气体状态方程一、气体的状态参量1.系统:被研究的对象2.状态参量P：压强Pa1atm=1.01325×105PaV：体积m3T：温度K摄氏温度t与热力学温度T之间的关系：二、平衡态

1.定义:一定质量的气体放在容器中，如果容器中的气体与外界没有能量和物质的传递，气体的能量也没有转化为其它形式的能量，气体的组成及其质量均不随时间变化，则气体的状态参量将不随时间变化，这样的状态叫平衡态三、理想气体的状态方程（条件：理想气体，平衡态）M：气体质量μ：摩尔质量（千克）R：普适恒量(8.31)状态变化过程:系统从一个平衡态过渡到另一个平衡态,中间经历的过程.2.特征:无能量交换;微观粒子仍不停运动;大量粒子(原子、分子)宏观平均效果不随时间变化—热动平衡准静态过程

Quasi-staticprocess过程中间的每一状态都是平衡态(Equilibriumstate)系统状态的变化就是过程。不受外界影响时，系统的宏观性质不随时间改变。举例1：外界对系统做功u过程无限缓慢非平衡态到平衡态的过渡时间，

即迟疑时间，约10-3秒，如果

实际压缩一次所用时间为1秒，

就可以说是准静态过程。外界压强总比系统压强大△P，就可以缓慢压缩。系统T1T1+△TT1+2△TT1+3△TT2从T1T2

是准静态过程系统温度T1直接与热源

T2接触，最终达到热平衡，

不是准静态过程。因为状态图中任何一点都表示

系统的一个平衡态，故准静态

过程可以用系统的状态图，如

P-V图（或P-T图，V-T图）中

一条曲线表示，反之亦如此。

举例2：系统（初始温度T1）从外界吸热VPo等温过程等容过程等压过程循环过程PVO(P、V、T)(P’、V’、T’)本节是典型的微观研究方法。一般气体分子热运动的概念；分子的密度3

1019个分子/cm3=3千亿个亿；分子之间有一定的间隙，有一定的作用力；分子热运动的平均速度约v=500m/s；分子的平均碰撞次数约z=1010次/秒。§8.3理想气体的压强公式一.微观模型

1.对单个分子的力学性质的假设分子当作质点，不占体积；（因为分子的线度<<分子间的平均距离）分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。（忽略重力）完全弹性碰撞（动量、能量守恒）服从牛顿力学分子数目太多，无法解这么多的联立方程。即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万变，必须用统计的方法来研究。(理想气体的微观假设)定义:某一事件i发生的概率为Pi

Ni----事件i发生的次数

N----各种事件发生的总次数统计规律有以下三个特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).（3）总是伴随着涨落.NNPiNilim¥®=例.扔硬币2.对分子集体的统计假设统计规律性：大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。对大量分子组成的气体系统的统计假设：VNdVdNn==（3）平衡态时分子的速度在各个方向的分量的各种平均值相等

vx=vy=vz=0vx2=vy2=vz2=v23vx=

nii

nivxiivx2=

nii

nivxi2i（1）在一个体积内飞向上下左右前后的分子数各占总分子数的1/6；（2）平衡态时分子沿空间各方向运动的分子数是相等的，即分子数密度到处一样，不受重力影响；长方形容器总分子数N单个分子质量m推算垂直X轴的器壁A所受压强，建立坐标oxyz二．理想气体压强公式的推导1、某一分子a，与器壁A碰一次，在X方向施于A的冲量 XYZA2、单位时间内，分子多次碰撞A，总计施与A的冲量连续两次与A相撞经历时间,单位时间相撞次单位时间内，分子施于器壁A的冲量为3、对所有N个分子求和，单位时间内N个分子施器壁A总冲量的4、求压强上式总冲量是分子断断续续施于器壁上的，但是，由于分子数目极大，所以在宏观上显示出一个持续作用的恒定的力F。设F持续作用时间为单位1、则=，这只有大量分子的条件下成立，这里用了统计的概念。 XYZA单位体积中分子数括弧内为容器内N个分子沿X轴速度分量的平方的平均值平衡态下，气体性质与方向无关，分子向各个方向运动的概率均等，所以对大量分子而言，三个速度分量的平方的平均值必然相等。即（对大量分子成立的统计概念）5、为了使结果意义明确，对表示式化简表示气体中分子平均平动动能。注意：压强公式是一个统计规律，而非力学规律。P,n均为统计平均值如果气体的分子总数为N，每一个分子的质量m,则：m/=Nm

由理想气体状态方程1mol物质所含的分子数为NA

=6×1023§8.4理想气体分子的平均平动动能与温度的关系为了纪念奥地利物理学家玻耳兹曼（1844---1906）K叫玻耳兹曼常量气体分子的平均动能只与温度有关，并与热力学温度T成正比说明：1、以分子动理论的角度对温度的定义。从微观的角度阐述了温度的实质，温度标志着物体分子无规则运动的剧烈程度。2、指出了宏观量T和微观量的平均值之间的关系。温度是大量分子热运动的集体表现，必定包含有统计意义的。v2=3kTm=3RT

3.方均根速率1.例题与习题1.一容器储有标准状态下的氮气,求:n=？;εk=？2.容器内储有氧气,P=1atmT=270C.求:n、m、ρ、εk=？3.质量一定的理想气体,(1)等压过程,ρ与T的关系(2)等温过程,ρ与P的关系4.容积V=10-2m3、M=100g、200m/s,求:P=？v2=ρPO正比ρTO反比前面讨论分子无规则运动时，只考虑分子的平动，实际上，除单原子分子外，一般分子的运动还有转动和分子内原子间的振动。为了确定分子的各种形式运动能量的统计规律，引入自由度的概念。自由度定义：确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。§8.5能量均分定理理想气体内能质点的自由度:坐标x、y、z完全可以确定质点的位置,因此其自由度为3(属于平动)刚体自由度:确定质心需要3个(平动),确定转轴需要2个(转动),确定刚体绕转轴转过角度需要1个(转动),一共6个自由度.1、单原子分子（如氦、氖）可看作为自由运动的质点，它的位置需要用三个独立坐标，如X、Y、Z来决定。所以有三个自由度。2、双原子分子（如CO、氧、氢）

两个原子由一个键连接起来，根据对分子光谱的研究，知道这种分子除整体做平动和转动外，两个原子还沿着连接的方向做微振动。对这样的力学系统，需要用三个独立坐标系决定质心的位置。一个独立坐标决定两质点的相对位置，双原子分子共有六个自由度。三个平动自由度：两个转动自由度：一个振动自由度3、多原子分子（由三个或三个以上原子组成的分子）的自由度。XYZαβγ两个独立坐标（如α、β）决定其连线的方向（三个立体角αβγ中，因为=1，所以只有两个是独立的）需要根据实际情况具体分析才能确定。一般而言，如果某一分子由n个原子组成，则这个分子最多3n个自由度，其中3个平动的，三个3转动的，其余3n-6个是振动的。当分子的运动受到某种限制时，其自由度数就会减少，二、能量按自由度均分定理气体处于平衡态时，物质（气体、固体或液体）分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，大小为，叫能量按自由度均分定理。平衡态下假设:分子每种运动形式不比其它形式占优势.单原子分子3003双原子分子3205多原子分子3306能量均分定理是关于分子热运动的统计规律，是对大量分子统计平均得的结果。对个别分子而言，任一瞬间，它的各种形式动能会有很大差别。一个分子的平均总动能E=对刚性分子而言平动t转动r振动si（无振动）自由度自由度自由度三、理想气体的内能对实际气体而言，除了分子的各种形式的动能和分子内部原子间的振动势能外，还有分子间的势能，所有分子的这些形式的动能和势能的总和，叫气体的内能。理想气体分子间无相互作用，所以其内能只是分子的各种形式动能的总和（刚性分子）一个分子的总平均动能一摩尔理想气体的内能n摩尔理想气体的内能理想气体内能只是温度的单值函数，与热力学温度成正比。刚性单原子分子i=3总动能为：刚性双原子分子i=5总动能为：刚性多原子分子i=6总动能为：§8.6麦克斯韦速率分布律单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循确定的统计规律，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。0～100100～200200～300300～400400～500……ΔN1ΔN2ΔN3ΔN4ΔN5ΔNΔN1/NΔN2/NΔN3/NΔN4/NΔN5/NΔN/N单位:m/s0～1010～2020～3030～4040～50……ΔN1’ΔN2’ΔN3’ΔN4’ΔN5’ΔN’ΔN1'/NΔN2’/NΔN3’/NΔN4’/NΔN5’/NΔN/N单位:m/s速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变，不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就是分子按速率的分布。设总分子数N，速率区间v~v+dv，该速率区间内分子数dNdNNdv=f(v)速率分布函数速率v附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。

dN∝N

dN∝dvdN∝f(v)dN∝Nf(v)dv则dNN=f(v)dv显然

f(v)dv=1

0归一化条件

f(∞)=0f(0)

=0边界条件麦克斯韦速率分布函数（1859年从理论上推导）