高考数学第一轮复习导学案(新高考)第47讲数列中的新数列问题(微专题)(原卷版+解析)

第47讲数列中的新数列问题（微专题）题型选讲题型一由数列公共项构成新数列例1、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列的前项和为，满足，等差数列中.(1)求和的通项公式；(2)数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积.变式1、（2022·山东日照·高三期末）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上.(1)求数列的通项公式；(2)数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和.变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知等差数列中，，首项，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.(1)求的通项公式；(2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前n项和为，求.题型二由给定数列的项数构成新数列例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．(1)求数列和的通项公式；(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．变式1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知等比数列的前n项和为（b为常数）．(1)求b的值和数列的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．(1)求，的值；(2)求最小自然数n的值，使得．题型三由数列的插入项构成新数列例3、（2022·山东烟台·一模）己知等差数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．变式1、(2022·青岛期初考试)已知等差数列{An}的首项A1为4，公差为6，在{An}中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若EQa\S\DO(k\S\DO(1))，EQa\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQa\S\DO(k\S\DO(n))，…是从{an}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，eqk\s\do(1)＝1，k\s\do(2)＝5，令eqb\s\do(n)＝2nk\s\do(n)＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn．变式2、（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.

第47讲数列中的新数列问题（微专题）题型选讲题型一由数列公共项构成新数列例1、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列的前项和为，满足，等差数列中.(1)求和的通项公式；(2)数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积.【答案】(1)，；(2).【详解】（1），，当时，，两式相减得：，即，而，解得，因此数列是首项为3，公比为3的等比数列，，在等差数列中，由，得，解得，则公差，，所以和的通项公式分别为，.（2）令数列的第m项与数列的第k项相同，即，于是，显然是4的正整数倍，要成立，当且仅当为正偶数，因此数列与的共同项为，即，所以.变式1、（2022·山东日照·高三期末）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上.(1)求数列的通项公式；(2)数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和.【答案】(1)，(2)341【解析】【分析】(1)由与的关系式可得通项公式，再由点与直线的关系可得的通项公式；(2)找出满足条件的共同项再求和即可.(1)，，，①，，，满足①，所以是以1为首项2为公比的等比数列，所以.因为点在直线上，所以，，是首项为1公差为3的等差数列，所以.(2)且满足的中项一定是除3余1的数，即形如的数，同时满足，所以，，，，数列{cn}所有项的和为：.变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知等差数列中，，首项，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.(1)求的通项公式；(2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前n项和为，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意求出，从而求出通项公式；（2）先求出的前25项和，再减去前25项中含有数列中的项的和，求出答案.(1)等差数列中，，，其前四项，，，中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.根据题意，当删去数列中第三项时，满足，解得；删去时，满足，此方程无解，不满足题意，同理可证，删除与时，均不满足题意；故；所以，(2)已知等差数列中，，数列中的项为：4，8，16，32，64，128，256，…，所以.故数列的前25项和为，数列的前25项中含有数列中的项的和为，所以.题型二由给定数列的项数构成新数列例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．(1)求数列和的通项公式；(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据，，得到为等差数列，根据通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到的通项公式，再利用等比数列通项公式基本量计算出和公比，求出的通项公式；（2）在第一问的基础上得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式求出答案.【详解】（1），，，即，，，故为等差数列，设公差为，故，，解得：，，所以，设等比数列的公比为，，因为，成等差数列，所以，即，与联立得：或0（舍去），且，故，（2）由题意得：为中的整数个数，故，所以.变式1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知等比数列的前n项和为（b为常数）．(1)求b的值和数列的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；【详解】（1）解：由题设，显然等比数列的公比不为1，若的首项、公比分别为、，则，∴且，所以，故的通项公式为．当时，；（2）解：令，，解得，所以数列在中的项的个数为，则，所以，∵，①∵②

两式相减得∴．∴变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．(1)求，的值；(2)求最小自然数n的值，使得．【答案】(1)，；；(2)11【分析】（1）利用等比数列的性质求得公差，得通项公式，写出时的集合可得元素个数，即；（2）由（1）可得，然后分组求和法求得和，用估值法得时和小于2022，时和大于2022，由数列的单调性得结论．【详解】（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，，解得，所以，时，集合中元素个数为，时，集合中元素个数为；（2）由（1）知，，时，=2001<2022，时，=4039>2022，记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.题型三由数列的插入项构成新数列例3、（2022·山东烟台·一模）己知等差数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．【解析】(1)设的公差为d，由已知，．解得，d＝2．所以；(2)因为与之间插入个1，所以在中对应的项数为，当k＝6时，，当k＝7时，，所以，，且．因此.变式1、(2022·青岛期初考试)已知等差数列{An}的首项A1为4，公差为6，在{An}中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若EQa\S\DO(k\S\DO(1))，EQa\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQa\S\DO(k\S\DO(n))，…是从{an}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，eqk\s\do(1)＝1，k\s\do(2)＝5，令eqb\s\do(n)＝2nk\s\do(n)＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由题意可知，eqa\s\do(1)＝A\s\do(1)＝4，a\s\do(4)＝A2＝4＋6＝10，所以eqa\s\do(4)＝4＋(4－1)×d＝10，解得d＝2，所以eqa\s\do(n)＝a\s\do(1)＋(n－1)d＝4＋(n－1)×2＝2n＋2；(2)设等比数列EQa\S\DO(k\S\DO(1))，EQa\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQa\S\DO(k\S\DO(n))，…的公比为q，则q＝EQ\F(a\S\DO(k\S\DO(2)),a\S\DO(k\S\DO(1)))＝EQ\F(a\S\DO(5),a\S\DO(1))＝EQ\F(12,4)＝3，所以EQa\S\DO(k\S\DO(n))＝eq4·3\s\up6(n－1)，又EQa\S\DO(k\S\DO(n))＝eq2k\s\do(n)＋2，所以eq2k\s\do(n)＋2＝4·3\s\up6(n－1)，k\s\do(n)＝2·3\s\up6(n－1)－1，eq∴b\s\do(n)＝2nk\s\do(n)＋2n＝4n·3\s\up6(n－1)，因为eqT\s\do(n)＝4×3\s\up6(0)＋8×3\s\up6(1)＋12×3\s\up6(2)＋…＋4n·3\s\up6(n－1)，所以eq3T\s\do(n)＝4×31eq＋8×3\s\up6(2)＋12×3\s\up6(3)＋…＋4(n－1)·3\s\up6(n－1)＋4n·3\s\up6(n)，相减得：eq－2T\s\do(n)＝4×3\s\up6(0)＋4×3\s\up6(1)＋4×3\s\up6(2)＋…＋4·3\s\up6(n－1)－4n·3\s\up6(n)eq＝\f(4(1－3\s\up6(n)),1－3)－4n·3\s\up6(n)＝－2(2n－1)·3\s\up6(n)－2eq∴T\s\do(n)＝(2n－1)·3\s\up6(n)＋1变式2、（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由求解；（2）方法一：由题意得到，的各项为，再确定数列的项求解；方法