大一轮讲义下册

含2024年高考真题高考数学一轮复习知识整合+典例分析+精选练习下册高考数学大一轮复习讲义(下册)第六章数列..2416.1等差数列与等比数列..241考向1等差数列...243题型1:等差数列基本运算2.243题型2:等差数列的性质应用2.244考向2等比数列...247题型1:等比数列基本运算..247题型2:等比数列的性质.2.248考向3等差等比混合....250题型1:差比混合运算.2.250题型2：证明等差、等比.2506.2数列的通项与求和.252考向1求通项...257题型1:公式法....257题型2:累加法...258题型3:累乘法...258题型4:隔项问题..258题型5:构造数列...260考向2求和...262题型1:分组求和法...262题型2:错位相减法..262题型3:绝对值求和...263题型4:分段求和法...263题型5:裂项相消法....264题型6:奇偶分析法...266题型7:放缩求和法....267第七章立体几何..2707.1空间几何体..270考向1空间几何体的表面积与体积..274题型1:直接法求表面积体积2.274题型2:间接法求体积..275考向2球的问题....278题型1:外接球之还原型.278题型2:外接球之直棱锥(柱)2.278题型3:外接球之正棱锥(柱、台)..279题型4：外接球之二面角模型（柱、台）..280题型5:外接球之直径型..280题型6:球的截面....281题型7:内切球之截面法..281题型8:内切球之等体积法..282题型9:棱切球....2827.2点线面位置关系2.284考向1平行、垂直小题....288题型1:文字题....288题型2:图形题...288考向2平行、垂直大题....291题型1:线面平行....291题型2:面面平行....293题型3:线线平行....293题型4:线面垂直..294题型5:面面垂直..295题型6:线线垂直...2967.3空间向量与立体几何..302考向1线线角...307题型1:几何法....307题型2:坐标法...308考向2线面角..309题型1:几何法...309题型2:坐标法...310考向3二面角..312题型1:几何法....312题型2:坐标法...313考向4空间中的距离问题...317题型1:几何法....317题型2:坐标法....3187.4立体几何难点...320考向1截面问题...323题型1:正方体的截面..323题型2：其他几何体的截面3.324考向2动态立体几何...326题型1:轨迹问题...326题型2:最值问题....327题型3:翻折与旋转问题...328考向3空间中的几个定理...331题型1:空间余弦定理..331题型2：三正弦与三余弦定理...331第八章解析几何..3348.1直线与圆...334考向1直线问题汇总..346题型1:倾斜角与斜率..346题型2:几种直线方程，3.347题型3:两直线位置关系3.347题型4:距离问题...348题型5:对称问题...348题型6:定点问题....350考向2圆问题汇总...352题型1:几种圆的定义(标准圆、一般圆、三角圆、斜率圆、阿氏圆)...352题型2:点圆、线圆位置判定3.353题型3：线圆相交弦长问题..353题型4:线圆相切问题(求切线、切线长、切点弦)..354题型5:圆圆位置关系.355题型6：常见最值问题356题型7:韦达定理法....3578.2椭圆与双曲线..360考向1三大定义...369题型1:第一定义..369题型2:第三定义..369题型3:第二定义..370题型4:圆锥截口曲线..372考向2焦点三角形.3.375题型1:椭圆焦点三角形.3.375题型2:双曲线焦点三角形.376考向3离心率问题..380题型1:由特征量建立a,b,题型2:回代点的坐标..381题型3:由线段长(范围)、点的坐标范围建立a,b,题型4:由几何关系转化建立a,b,考向4双曲线渐近线问题...385考向5椭圆、双曲线共焦点问题..387考向6最值问题...387考向7点差法...3888.3抛物线..391考向1抛物线定义...394考向2抛物线焦点弦经典结论.395考向3点差法与联立...3998.4圆锥曲线在历年真题中的考法总结..402考向1圆锥曲线大题四大思想方法..402题型1:韦达定理法..402题型2:点差法...403题型3:联立硬解法...404题型4：坐标带入法（不联立）4.405考向2圆锥曲线大题常见题型整合4.406题型1:弦长问题...406题型2:面积问题...407题型3:对称问题...408题型4:垂直问题...408题型5:角的问题...409题型6:三点共线问题..409题型7:范围最值问题..410题型8:定值问题...411题型9:定点问题...412题型10:非对称韦达问题..413题型11:定比点差法.413第九章概率统计..4149.1计数原理..414考向1排列组合...416题型1:分类加法与分步乘法4.416题型2:排列、组合重要计算公式..418题型3:特殊元素特殊安排..418题型4:正难则反...418题型5:可重复问题...418题型6:多面手问题...418题型7:捆绑法...418题型8：插空法（含捆绑插空混合）.419题型9:定序整除法...419题型10:不同元素分组分配法...420题型11:相同元素隔板法.4.420题型12:涂色问题...421题型13:错位排列.4.421题型14:圆排列..422题型15:与立体几何结合..422题型16:列举法..422考向2二项式定理....425题型1:二项展开式的特定项4.425题型2:两个二项式乘积..425题型3:三项式问题....426题型4:二项式系数和.4.426题型5:系数和....426题型6:整除及余数问题4.4279.2概率..429考向1几种概率的问题....434题型1:古典概型....434题型2:互斥、对立、独立.435题型3:条件概率....436题型4:全概率与贝叶斯公式4.437题型5:独立事件概率..438题型6:马尔科夫链问题...439考向2分布列....443题型1:随机变量分布列期望与方差..443题型2:超几何分布....444题型3:类超几何分布4.446题型4:二项分布....447题型5:正态分布....4489.3统计..454考向1抽样与样本估计总体...459题型1:抽样...459题型2:统计图表..459题型3:样本数字特征.6.464考向2成对数据的统计分析...469题型1:相关性检验....469题型2:线性回归方程.4.470题型3:非线性回归方程.4.472题型4:误差分析....473题型4:独立性检验....474第六章数列6.1等差数列与等比数列【知识梳理】一.等差数列1.等差数列an①an+1−an=d(定义法); ②2an=2.等差数列通项公式:⊙an=3.等差数列前n项和公式:(公式推导方法:倒序相加法、分组求和法)①Sn=②Sn=na4.等差数列an①若a,A,b成等差数列,则A叫做a,②若m+n=p+③设an,bn为等差,则c⋅a④等差数列an的连续m项的和构成的数列:Sm,S2m−S⑤∵Snn=a1+n−1⑥若Sn=m,S⑦若Sn=Smm⑧项之比与和之比的关系:设等差数列an,bn的前n则ambm⑨在等差数列中,S2n二.等比数列1.等比数列an①an+1an=③an=p⋅qkn2.等比数列通项公式:①an=3.等比数列前n项和公式:当q=1时,当q≠1时,4.等比数列an①若m+n=p+②等比数列an的连续m项的和构成的数列:Sm,S2m−S注意:均匀分段的和仍为等比数列.但当q=−1时,m③单调性：当a1>0q>1或a1<00<q<1时,an④设an,bn是等比数列,则当an,bn公比相同时,pan5.等比数列求基本量做题技巧:①解决“知三求二”问题:a1,q,n,②在等差、等比数列求和项数比较少的情况下,不一定非要求和公式,可以用各项相加的形式表示.③比值消元思想④化简技巧公式:Sm+n=S考向1等差数列【典例分析】题型1:等差数列基本运算题1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若S5=A.-2B.73题2.(2018*新课标I)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3A.-12B.-10C.10D.12题3.等差数列an满足2a7+A.6B.4C.3D.2题4.(2019•新课标III)记Sn为等差数列an的前n项和.若a1≠题5.(2022•上海)已知等差数列an的公差不为零,Sn为其前n项和,若Ss=0题6.(2019•新课标I)记Sn为等差数列an的前n项和.已知（1）若a3=4,求（2）若a1>0,求使得Sn≥a题型2:等差数列的性质应用题7.(2013•辽宁)下列关于公差d>0的等差数列ap1:数列anp2:数列nap3:数列anp4:数列an其中真命题是 A.p1,p2B.p题8.(2023•新高考I)记Sn为数列an的前n项和,设甲:an为等差数列;乙:SA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件题9.已知Sn是等差数列an的前n项和,若a1=−题10.等差数列an的前n项和为Sn,已知am−A.22B.18C.10D.5题11.(2021·甲卷)记Sn为数列an的前n项和,已知an>0,a2=3题12.(2023•新高考I)设等差数列an的公差为d,且d>1.令bn=n2+nan,记Sn（1）若3a2=3a1（2）若bn为等差数列,且S99−T99题13.若等差数列an、bn的前n项和为Sn、Tn,若SnT题14.若两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,且A.32B.7059C.71题15.(2013·新课标I)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm−A.3B.4C.5D.6题16.设等差数列an的前n项的和为Sn,且Sn=题17.(2020•新课标II)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板（不含天心石）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块题18.设等差数列an的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=A.aB.−C.Sn<0时,nD.数列Sna【精选练习】1.(2021•新高考II)记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若（1）求数列an的通项公式a（2）求使Sn>an成立的2.(2024·绍兴模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S55A.9B.10C.11D.123.(2024·渭南二模)设等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数nA.37B.521C.194.(2024·江苏模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,SA.7B.8C.9D.105.已知数列an的前n项和为Sn,若数列an和Sn均为等差数列,且aA.a1=6B.a86.(2024•青岛一模)记正项等差数列an的前n项和为Sn,S20=100A.9B.16C.25D.507.已知Sn是等差数列an的前n项和,且S6>S7>S5,给出下列五个命题:①d<0;②S11>0③使Sn>0的最大考向2等比数列【典例分析】题型1:等比数列基本运算题1.(2023•甲卷)已知正项等比数列an中,a1=1,Sn为an前nA.7B.9C.15D.30题2.(2023*天津)已知an为等比数列,Sn为数列an的前n项和,an+1=2A.3B.18C.54D.152题3.(2019•全国)3A.329n−1B.题4.(2019•新课标I)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1题5.(2017*江苏)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=7题6.(2015·新课标II)已知等比数列an满足a1=1A.2B.1C.12D.题型2:等比数列的性质题7.已知an是等比数列,函数y=x2−5x+3题8.在等比数列an中,a4,a6是方程题9.(2021•甲卷)等比数列an的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件题10.(2013•全国)等比数列的前n项和Sn=abn+cA.a+b=0B.b题11.(2023•新高考II)记Sn为等比数列an的前n项和,若S4=−A.120B.85C.-85D.-120题12.(2024·舍肥二模)已知等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,则A.SB.对任意n∈NC.对任意n∈N∗,都存在q,使得D.若a1<0,则数列S2n【精选练习】1.(2022•乙卷)已知等比数列an的前3项和为168,a2−aA.14B.12C.6D.32.(2020•新课标II)记Sn为等比数列an的前n项和.若a5−A.2n−1B.2−3.(2024·江西模拟)已知Sn是正项等比数列an的前n项和,a1+A.212B.168C.121D.1634.(2024·南通模拟)设an为等比数列,a2=2A.19B.15.(2024·衡水一模)在等比数列an中,若a1⋅a5⋅a12为一确定的常数,记数列an的前A.T6B.T8C.T6.(2024·商洛模拟)已知等比数列an的前n项和Sn=3A.3B.9C.-9D.-37.(2024·湖北模拟)四个实数1,−4,a,b按照一定的顺序构成一个等比数列,则A.−18.(2021•甲卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=A.7B.8C.9D.109.正项等比an的首项a1=12,前n项和为Sn,且2考向3等差等比混合【典例分析】题型1:差比混合运算题1.(2017•新课标I)记Sn为等比数列an的前n项和.已知(1)求an（2）求Sn,并判断Sn题2.等差数列an的前n项和为Sn,已知（1）求数列an的通项an与前n项和（2）设bn=Snnn∈N题型2:证明等差、等比题3.已知数列an满足a1=1,且对任意非负整数m,(1)求a0（2）求证:数列am+1−am题4.已知数列an和bn满足（1）证明:an+bn是等比数列,（2）求an和bn题5.已知数列an各项为正数,bn满足anA.bn是等差数列B.bnC.bn是等差数列D.bn题6.已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项积为TA.数列Snn是等差数列B.数列SC.数列T2n+2T2n是等比数列D.【精选练习】1.已知数列an满足a(I)证明:数列an+(II)求数列an(III)若数列bn满足4b1−146.2数列的通项与求和【知识梳理】一.数列求通项方法总结1.公式法:【题中出现n,a基本公式a（1）直接公式法【本质就是利用an=对于含有an与Sn的混合关系式Fan,Sn=0,如:对于①,利用Sn=fa对于②,借助an=Sn−Sn−eg:S思路一:Sn=2an+1Sn−1=2an作差得（2）隐藏公式法【题中未出现Sn,需要把一列式子看成某个数列的前neg:a1+2a2+⋯+n−1a2.累加法:【等差型数列:an列式an−an①若fn是关于n②若fn是关于n③若fn是关于n④若fn是关于n⑤若fn是关于n3.累乘法:【等比型数列:an列式anan−4.构造法:(1)递推公式为a待定系数法:把原递推公式转化为:an+1+t=pan+(2)递推公式为a待定系数法:an+1=pan+kn+b可化为（3）递推公式为a取倒数法:递推公式两边取倒数,1an=qan−1+tpan−1=qp+tp⋅1a变式:an−an−1+danan−1（4）递推公式为an+1=pan+qn[或an+1=pa方法一在原递推公式两边同除以qn+1,得an+1qn+1方法二在原递推公式两边同除以pn+1,得:an+1pn+1方法三待定系数法设an+1+λqn+1=pan+（5）递推公式为an+对数变换法:该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型,然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项.两边取对数得lg设b∴原等式变为bn+5.隔项数列求通项(1)形如an+an+2+an+所以a（2）形如anaan+2an+所以an二.数列求和方法总结1.公式法若已知数列是等差或等比数列,求其前n项和可直接使用对应的公式(1)等差数列求和公式S（2）等比数列求和公式S2.倒序相加(乘)法对于某个数列an,若满足a1+an=a2+a具体解法:设Sn把①反序可得Sn由①+②得2S3.分组求和法若数列cn中通项公式cn=an+bn,则数列cn的前n4.错位相减法错位相减法直求公式:Sn=列两个方程S解得A=3,B(在大题中不可在试卷上体现此过程,需要列出错位过程,然后以此公式得答案)5.奇偶并项法①an②an=−1n③a④a注意:若n为偶数时,Sn=fn,则n为奇数时,(1)1(2)1(3)1(4)2n(5)1(6)2(7)n(8)−7.常见放缩法（1）括号内放缩①1n②2（2）括号外放缩①1②1③2④1考向1求通项【典例分析】题型1:公式法题1.已知数列an的前n项和Sn=3题2.记数列an的前n项和为Sn,且a1=1,题3.(2022·甲卷)记Sn为数列an的前n项和.已知（1）证明:an（2）若a4,a7,a题4.数列an中,各项均为正数,Sn为前n项和,且有an+1a题5.数列an满足12a1题6.(2021·乙卷)记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n（1）证明:数列bn（2）求an题型2:累加法题7.已知数列an中,a1=0,a题型3:累乘法题8.(2022·新高考I)记Sn为数列an的前n项和,已知a1=1,（1）求an题9.an的前n项和为Sn,a1=1,且n2A.46B.49C.52D.55题型4:隔项问题题10.(2016·山东)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,b题11.已知数列an满足a1=1A.a4=5B.C.a1+题12.已知数列an满足a1=1,a题13.已知数列an,a1=1,anan+1=22n−1n∈A.a3=2B.an题14.(2023*宁波模拟)数列an前n项和为Sn,若an+2+−A.aB.数列a2n−C.数列a4nnD.a2n+2+题15.(2024·黑龙江模拟)已知数列an的前n项和为Sn,满足（1）若数列bn满足bn=a2n−（2）求数列an的通项公式,并求S2n.题型题16.在数列an中,a1=1题17.已知数列an的前n项和为Sn,a1题18.各项均正的数列an满足a1=4,a题19.已知数列an满足a1=1,a题20.已知数列an满足a1=1,a题21.已知数列an满足a1=1,a题22.已知数列an满足a1=3,a题23.已知数列an满足a1=12,题24.已知数列an满足a1=1,a题25.已知数列an满足an+1=an2【精选练习】1.2015⋅新课标ISn为数列an的前n项和,已知an2.已知数列an满足a（1）证明:数列1an3.已知数列an满足a1=1,a4.已知Sn为数列an的前n项和,a1=1,5.(2021•新高考I改编)已知数列an满足(1)求a(2)求a(3)求S(4)求S6.(2023*新高考II)已知an为等差数列,bn=an−6,n为奇数2an,n为偶数,记（1）求an（2）证明:当n>5时,7.已知各项都为正数的数列an满足a（1）证明:数列an+（2）若a1=12,a8.已知数列an满足a1=19.已知数列an:a1=10.已知数列an满足a1=1,a11.已知数列an满足a1=2,a12.已知数列an,bn满足a1=2,b1考向2求和【典例分析】题型1:分组求和法题1.已知数列an=2n−1+2n,求数列an题2.已知数列an=1+2+22+23+⋯+2题3.已知数列an=2n−12,求数列an的前题型2:错位相减法题4.设数列an的前n项和为Sn,已知(I)求an(II)若数列bn,满足anbn=log3an,求b题5.已知数列an的前n项和Sn=3n(I)求数列bn(II)令cn=an+1n+1bn+2题型3:绝对值求和题6.已知数列an的前n项和Sn=10n−n2,数列bn的每一项都有b题7.已知数列an的前n项和an=2n−2n−8,数列bn=an题型4:分段求和法题8.(2016·新课标II)Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28超过x的最大整数,如0.9=(I)求b1(II)求数列bn的前1000题9.(2023*4月份模拟)设数列an满足a（1）求数列an（2）在数列an的任意ak与ak+1项之间,都插入kk∈N∗个相同的数−1kk,组成数列bn,记数列bn题型5:裂项相消法题10.(2022•新高考I)记Sn为数列an的前n项和,已知a1=1,（1）求an（2）证明:1a题11.(2023•福建模拟)已知数列an满足a1=13, aA.3B.2C.1D.2题12.(2013·江西)正项数列an的前n项和an满足:（1）求数列an（2）令bn=n+1n+22n2,数列bn的前n项和为题13.(2014·山东)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S(I)求数列an(II)令bn=−1n−14nanan+题14.已知数列an满足:(I)求数列an(II)设bn=13n+11−an1−an+1,数列bn题15.数列an满足a（1）设bn=2nan（2）设cn=1nn+1an+1,数列cn的前n题型6:奇偶分析法题16.(2023*威海一模)已知数列an的各项均为正数,记Sn为an的前n项和,且（1）求数列an（2）记cn=−1nanan+1,求数列题17.已知数列an中a1=1,an+−1nan+1题18.已知数列an=−1nln2⋅3n−1题19.(2014·山东)在等差数列an中,已知公差d=2,a2是a(I)求数列an(II)设bn=ann+12题20.在数列an中,a1=1题21.设Sn为数列an的前n项和,S（1）a（2）S题22.(2012·新课标)数列an满足an+1+−1n题23.(2020*新课标I)数列an满足an+2+−1n题24.(2009*江西)数列an的通项an=n2cos2nπ3（1）求Sn（2）bn=S3nn⋅4n,求数列bn题型7:放缩求和法题25.设数列an的前n项和为Sn,已知（1）求a2（2）求数列an（3）证明:对一切正整数n,有1a题26.已知an为等差数列,前n项和为Snn∈N∗,b（1）求an和bn（2）求数列a2n⋅bn的前n（3）证明:i=【精选练习】1.2023⋅乙卷记Sn为等差数列an的前n（1）求an（2）求数列an的前n项和T2.(2023·甲卷)已知数列an中,a2=1,设Sn为an前（1）求an（2）求数列an+12n的前n3.(2024·T8联考模拟)设数列an为等差数列,前n项和为S（1）求数列an（2）设bn=1an+an+1的前4.(2024·佛山模拟)已知数列an和等差数列bn的前n项和分别为Sn,T（1）求数列an,（2）若cnan−bn=1,求数列5.(2024·武汉模拟)各项均不为0的数列an对任意正整数n满足:1（1）若an为等差数列,求a（2）若a1=−27,求an的前n6.(2024·衡水一模)已知数列an的前n项和为Sn,an（1）求an（2）设bn=Snanan+1的前7.已知各项均为正数的数列an中,a1=1且满足an+12−an2=2an+（1）求数列an,{（2）设cn=an+bn,求数列cn（3）若在bk与bk+1之间依次插入数列an中的k项构成新数列cn:b1,a1,8.已知数列an是等差数列,a1=1,且a1,a2,a5−1成等比数列.(1)求b1,（2）求最小自然数n的值,使得b19.已知数列an满足:a(I)证明:数列ann(II)设bn=nn+22n+1an10.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,当（1）求数列an（2）求证:1a第七章立体几何7.1空间几何体【知识梳理】一.常见几何体的体积、表面积公式1.由于棱柱、棱锥、棱台是由多个平面多边形围成的几何体,所以它们的表面积就是各个面的面积和.2.圆柱的侧面积S=2πrl(侧面展开图是矩形)圆柱的表面积3.圆锥的侧面积S=12⋅2πr⋅l4.圆台的侧面积S=πr'+rl5.V柱体=Sℎ;6.8.S球=二.外接球1.还原长方体（1）使用范围：可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合（2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径（3）公式：长方体的体对角线即外接球直径,则2R2(4)图示过程2.直棱柱(锥)（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体（2）推导过程第一步:取底面的外心O1,,过外心做高的的平行且长度相等,在该线上中点为球心的位置第二步:根据勾股定理可得（3）公式:R（4）图示过程3.正棱锥（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上（2）推导过程第一步:确定球心O:取△ABC的外心O1,因为P的射影是△ABC的外心O1,则球心在直线第二步:由正弦定理asinA=2r算出小圆O1的半径第三步:求半径R:OA2=（3）公式:R（4）图示过程4.二面角型（1）使用范围：适用所有的棱锥（2）推导过程:如下图,若空间四边形ABCD中,二面角C−AB−D的平面角大小为α,ABD的外接圆圆心为O1,ABC的外接圆圆心为O2,E为公共弦AB中点,则∠OR（3）公式:R(4)图示过程三.内切球1.圆锥的内切球圆锥的轴截面为等腰三角形,等腰三角形的内切圆为内切球的大圆,内切圆的半径即为内切球的半径,设圆锥底面半径为r,高为ℎ,则SΔPAB=122.棱锥的内切球(等体积法)(1)结论:①以三棱锥为例说明：若三棱锥A−BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为②若正四面体的棱长为a,则其内切球的半径为612（2）推导过程：如图所示，设内切球的半径为R，则内切球的球心O到每个面的距离相等且等于R，设△ABC,△ABD,△则VA即V=13S【注意】三棱锥一定有内切球,但四棱锥及以上不一定有内切球.对于正四、六、八棱锥,通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大内切球的半径.以正四棱锥为例推导:设E、F分别为棱AB则△PEF的内切圆即为该正四棱锥P−该内切圆的半径为内切球的半径:R=r四.棱切球1.常用结论:①已知正方体的棱长为a,则它的棱切球半径为R=②已知正三棱柱的棱长均为a,则它的棱切球半径为R=③已知正四面体的棱长为a,则它的棱切球半径为R=2.解题技巧:①找切点,找球心,构造直角三角形.②正n棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点O，正棱锥的棱切球的球心在其高线上，可以通过对称性或者截面圆心的垂心确定.③棱长都为a的正n棱柱,则棱切球的半径为R=考向1空间几何体的表面积与体积【典例分析】题型1:直接法求表面积体积题1.(2018・江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为___.题2.(2023·新高考I)在正四棱台ABCD−A1B1C题3.(2022•甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和SZ,体积分别为V甲和V乙.若SA.5B.22C.10D.题4.(2023•深圳二模)设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V1、V2和VA.V1<V2<V题5.2023⋅新高考II已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120∘,PA=2,点CA.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为4C.AC=22D.△PAC题6.已知正四棱锥S−ABCD中,SA题型2:间接法求体积题7.(2022•新高考II)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FBA.V3=2V2B.题8.如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF//A.23B.33C.4题9.(2023•甲卷)在三棱锥P−ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=A.1B.3C.2D.3题10.(2024•天津)一个五面体ABC−DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1.并已知A.36B.334+题11.(2024·北京)如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA=PB=A.1B.2C.2D.3【精选练习】1.(2016•全国)正四棱锥的各棱长均为1,则它的体积是()A.33B.36C.22.(2023•新高考II)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为___.3.(2023•乙卷)已知圆锥PO的底面半径为3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120∘,若△A.πB.6πC.3πD.4.(2024·新高考I)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为()A.23πB.33π5.(2024·全国甲卷)已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1,母线长分别为2r1−r2和36.2023⋅西宁模拟直角三角形的三边满足a<b<c,分别以a,A.Vc<Vb<V7.(2023*北京模拟)在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,动点P在棱A1B1上,动点Q在线段BC1A.与λ无关,与μ有关B.与λ有关,与μ无关C.与λ,μ都有关D.与λ8.(2017•新课标I)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△考向2球的问题【典例分析】题型1:外接球之还原型题1.(2019•全国一卷)已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA题2.(2024·浙江模拟)在三棱锥A−BCD中,已知AB=AC=BD=CD=3,ADA.MNB.异面直线AN,CM所成的角的余弦值是C.三棱锥A−BCD的体积为D.三棱锥A−BCD的外接球的表面积为题型2:外接球之直棱锥(柱)题3.(2023·乙卷)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥题4.(2024·上饶二模)在四棱锥S−ABCD中,ABCD是正方形,AD⊥SD,∠SDC=A.点A到平面SBC的距离为1B.若SP=PB,则过点A,D,P的平面C.四棱锥S−ABCD外接球的表面积为D.直线AP与平面SCD所成角的正弦值的最大值为2题型3:外接球之正棱锥(柱、台)题5.(2024·琼海模拟)已知正六棱锥的侧棱长为23,其各顶点都在同一球面上,若该球的表面积16π,题6.(2022·新高考I)已知正四棱锥的侧棱长为l,其顶点都在同一球面上,若该球的体积为36π,且3≤l≤A.18,814B.274题7.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面边长分别为4,6,高为A.正四棱台ABCD−A1BB.正四棱台ABCD−A1BC.AE//平面D.A1到平面BC1D题8.(2022•乙卷)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为()A.13B.12C.3题型4:外接球之二面角模型（柱、台）题9.已知三棱锥D−ABC所有顶点都在球O的球面上,△ABC为边长为23的正三角形,△ABD是以BD为斜边的直角三角形,且AD=2,二面角C−AB−题型5:外接球之直径型题10.(2024·福建模拟)已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SCA.26B.36C.2题11.(2011·辽宁)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3A.33B.23C.3D.1题型题12.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则球O的表面积为 A.123πB.12πC.8π题13.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,⊙O1为△ABC的外接圆.若AB=BC=AC=OOA.64πB.48πC.36πD.32π题14.正三棱锥P−ABC中,PA=4,AB=42,点E在棱PA上,且PE=3EA,正三棱锥P−ABC的外接球为球O,过E点作球A.4πB.3πC.2πD.π题型7:内切球之截面法题15.已知某圆锥的高为4,其内切球的体积为43π,则该圆锥的侧面积A.πB.3πC.6πD.12π题16.(2024·T8联考)如图,已知正三棱台ABC−A1B1C1的上、下底面边长分别为2和6,侧棱长为4,点P在侧面BCC1B1内运动(包含边界),且AP与平面BCC1B1所成角的正切值为2A.正三棱台ABC−A1BB.点P的轨迹长度为3C.高为463,底面半径为3D.过点A,B,Q题型8:内切球之等体积法题17.已知三棱锥P−ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形,PA=PB=PC=21,先在三棱锥P−ABC内放入一个内切球O1,然后再放入一个球O2,使得球O2与球O1题18.点P是棱长为4的正四面体表面上的动点,MN是该四面体内切球的一条直径,则PM⋅PN题型9:棱切球题19.已知一个全面积为24的正方体,内有一个与每条棱都相切的球,此球的体积为()A.4π3B.43πC.题20.(2023·贵阳模拟)已知球O的表面积为9π,若球O与正四面体S−ABC的六条棱均相切,则此四面体的体积为A.9B.32C.92【精选练习】1.四面体A−BCD中,AB=CD=52.已知三棱锥P−ABC,∠BAC=π3,BC=3.正四棱锥S−ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,点S4.四面体ABCD的四个顶点都在球O上,且AB=AC=BC=BD5.三棱锥A−BCD中,AB6.2019⋅全国已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α7.已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC8.已知圆维的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为___.9.(2016·新课标III)在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,A.4πB.9π2C.6πD.10.正三棱锥S−ABC,底面边长为3,侧棱长为11.在四面体S−ABC中,AB⊥BC,AB=BC=2,△SAC为等边三角形,二面角12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的表面上,PA⊥平面ABC,（1）球O的表面积为___;（2）若D是BC的中点,过点D作球O的截面,则截面面积的最小值是___.13.已知正三棱柱的高等于1,一个球与该正三棱柱的所有棱都相切,则该球的体积为()A.π6B.43π277.2点线面位置关系【知识梳理】一.平行的判定及其性质1.直线与平面平行（1）判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.图形语言符号语言a⊄（2）性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.图形语言符号语言α//α,α⊂2.平面与平面平行（1）判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.图形语言符号语言a⊂β,b⊂(2)性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.图形语言符号语言α//β,α∩3.平面与平面平行其他常用判定、性质（1）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.（2）平行于同一个平面的两个平面平行.（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.（4）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.（5）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.4.平行证明思路（1）证线面平行思路：①中位线（线大于面）②平行四边形(线小于面)③作面面平行来证线面平行（频率最高）④补截面（2）证面面平行思路：面面平行判定定理.（3）证线线平行思路：线面平行性质定理.二.垂直的判定及其性质1.基本垂直关系1.正方形邻边，对角线垂直2.长方形邻边垂直3.菱形对角线垂直4.筝形对角线垂直5.等腰三角形中线与底边垂直6.圆的直径所对的圆周角是直角7.勾股定理逆定理8.两边一角先余弦再勾股9.特殊菱形:菱形ABCD,∠A=60∘,E为10.特殊矩形:矩形ABCD中,ABAD=12,E为BC11.正方形:正方形ABCD中,E,F分别为边AD,CD的中点，则BE12.特殊梯形1:梯形ABCD中，AB||CD，∠A=60°,AD=CD=BC13.特殊梯形2:梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90∘2.直线与平面垂直(1)判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥m,l⊥（2）性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.图形语言符号语言a⊥α,3.平面与平面垂直（1）判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.图形语言符号语言l（2）性质定理文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.图形语言符号语言α⊥β,α∩β=4.垂直证明思路（1）证线面垂直思路：线面垂直判定定理（2）证线线垂直思路：以其中一线作面，证线面垂直来证线线垂直（3）证面面垂直思路：从其中一面中选择一线，证一次线面垂直即可（选线的原则：①该线看起来垂直于另一面，②按照题中所给的垂直找线）考向1平行、垂直小题【典例分析】题型1:文字题题1.(2013•安徽)在下列命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线题2.(2024•锦州模拟)设α,β是两个不同的平面,m,A.若m⊥α,mB.若m⊥n,mC.若α⊥β,mD.若α∩β=m题3.(2024·全国甲卷)已知α、β是两个平面,m、n是两条直线,①若m//n,则n//α②若m⊥n,则n⊥α③若n//α且n//β④若n与α,β所成的角相等,则其中,所有真命题的编号是()A.①③B.②③C.①②③D.①③④题型2:图形题题4.(2019•新课标III)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段EDA.BM=EN,且直线BMB.BM≠EN,且直线BMC.BM=EN,且直线BMD.BM≠EN,且直线BM题5.(2021·武汉二调)如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线A.B.C.D.题6.(2021•新高考Ⅱ)如图,下列正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N点,则满足MN⊥OPA.B.C.D.题7.(2022•乙卷)在正方体ABCD−A1B1C1D1中,A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面C.平面B1EF//平面A1ACD.平面【精选练习】1.(2016•新课标II)α,β是两个平面,m①如果m⊥n,m⊥②如果m⊥α,n//③如果α//β,m⊂④如果m//n,α//β,那么m与α所成的角和n其中正确的命题是___（填序号）2.(2021•浙江)如图,已知正方体ABCD−A1B1C1DA.直线A1D与直线D1B垂直,直线MNB.直线A1D与直线D1B平行,直线MNC.直线A1D与直线D1B相交,直线MND.直线A1D与直线D1B异面,直线MN考向2平行、垂直大题【典例分析】题型1:线面平行题1.(2016•新课标III)如图,四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,(I)证明:MN//平面PAB题2.如图,直三棱柱ABC−A1B1C1中,(I)证明:BC1//平面题3.(2023•武汉二调)如图,四棱台ABCD−A1B1C侧棱CC1上点E满足（1）证明:直线A1B//平面题4.如图,三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90∘,PA=AC=2,D是PA的中点,E（1）证明:EF//平面ABC题5.(2022•新高考II)如图,PO是三棱锥P−ABC的高,PA=PB,AB（1）证明:OE//平面PAC题6.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,AB=BC=2,AA1=3,P(I)求三棱锥P−AQC(II)在线段A1C1上找点M,使得B1M//题型2:面面平行题7.已知六面体EFABCD如图所示,BE⊥平面ABCD,BE//AF,AD//BC,BC（1）求证:平面BFN//平面MAC题型3:线线平行题8.(2023•新高考I)如图,在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1别在棱AA1,BB（1）证明:B2题9.如图,四棱锥E−ABCD,AB=AD=3,CD=CB平面CDE=（1）若点M为线段AE中点,求证:BM//题型4:线面垂直题10.(2020•新高考I)如图,四棱锥P−ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为（1）证明:l⊥平面PDC题11.(2024·烟台模拟)如图,在四棱锥P−ABCD中,AD=2,AB=BC=CD=（1）证明:PA⊥平面ABCD题12.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是梯形,AD//BC,AD=2BC,题13.(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90∘,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿（3）线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥图1图2题型5:面面垂直题14.(2022•乙卷)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD（1）证明:平面BED⊥平面ACD题15.(2018•新课标III)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D（1）证明:平面AMD⊥平面BMC题16.(2015·新课标I)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120∘,EBE⊥平面ABCD,DF⊥(I)证明:平面AEC⊥平面AFC题17.(2023•乙卷)如图,在三棱锥P−ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6（1）证明:EF//平面ADO（2）证明:平面ADO⊥平面BEF题型6:线线垂直题18.(2023•新高考Ⅱ)如图,三棱锥A−BCD中,为BC中点.（1）证明BC⊥题19.(2020•浙江)如图,在三棱台ABC−DEF中,平面ACFD⊥平面ABC(I)证明:EF⊥题20.(2021•甲卷)已知直三棱柱ABC−A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F（1）证明:BF⊥题21.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,E,F分别为AB,AC边的中点,将平面AEF沿EF折叠,M（1）设平面PBE与平面PCF相交于l,求证:l⊥题22.(2016•新课标I)如图,已知正三棱锥P−ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交(I)证明:G是AB的中点;(II)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.题23.已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC（1）求证:AF⊥（2）若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥题24.(2023•甲卷)在三棱柱ABC−A1B1C1中,AA1=2（1）求证:AC=【精选练习】1.(2014*新课标II)如图,四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(I)证明:PB2.(2024·福州模拟)如图,以正方形ABCD的边AB所在直线为旋转轴,其余三边旋转120∘形成的面围成一个几何体ADF−BCE.设P是CE上的一点,G,H分别为线段AP,EF的中点.（1）证明:3.(2024·新疆模拟)在圆柱OO1中,AB是圆O的一条直径,CD是圆柱OO1的母线,其中点C与A,B不重合,M,N（1）若平面COM和平面CAN的交线为l,证明:l//平面ABD4.(2015•安徽)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,(I)证明:EF//5.2020⋅新课标I如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为（1）证明:PA⊥平面PBC6.(2016•浙江)如图,在三棱台ABC−DEF中,平面BCFE⊥平面ABC(I)求证:BF⊥平面ACFD7.(2008•山东)如图,在四棱锥P−ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB//DC(I)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD8.(2019•浙江)如图,已知三棱柱ABC−A1B1C1,平面A1ACC1⊥(I)证明:EF⊥9.(2022•浙江)如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=6010.(2024·杭州模拟)如图,在多面体ABCDPQ中,底面ABCD是平行四边形,∠DAB=60∘,BC=2PQ=4AB（1）证明:∠ABQ7.3空间向量与立体几何【知识梳理】一.几何法解决空间角与距离1.线线角（1）位置关系的分类:共面直线（2）异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a'//a,b'//b,把a'与b'所成的锐角（或直角)②范围:(③求法:平移法:将异面直线a,b2.线面角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.②范围:0③求法:常规法:过平面外一点B做BB'⊥平面α,交平面α于点B';连接AB',则∠BAB'即为直线AB与平面α的夹角.接下来在Rt△ABB'中解三角形.即sin∠BAB'=BB'AB=3.二面角(1)二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个平面称为二面角的面.(二面角α−l−β（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角;范围0,（3）二面角的求法法一:定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角α−l−β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和法二:三垂线法在面α或面β内找一合适的点A,作AO⊥β于O,过A作AB⊥c于B,则BO为斜线AB在面β内的射影,∠ABO为二面角α−①找点做面的垂线;即过点A,作AO⊥β于②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线;即过A作AB⊥c于B,连接③计算:∠ABO为二面角α−c−β图1图2图3法三:射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cosθ=S射法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时,也可直接用法三的摄影面积法解题.法五:垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角.例如:过二面角内一点A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C,面ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角.4.空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解.二.空间向量解决空间角与距离1.求异面直线a,b已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b则cosθ①向量AC,BD所成角<AC,BD>的范围是(0,π]，而异面直线AC,BD所成的角范围是0,π2;②故cosθ=cos<2.求直线l和平面α所成的角设直线l方向向量为a,平面α法向量为n,直线与平面所成的角为θ,a与n的夹角为α,则θ为α的余角或α的补角的余角,即有sinθ当θ=π2−α时,sinθ=cosα;不管哪种情况,都有sinθ3.求平面α与平面β的夹角（1）二面角的平面角是指在二面角α−lAO⊥l,BO⊥l,则∠AOB为二面角（2）平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.（3）空间向量求平面α与平面β的夹角求法：设平面α与平面β的法向量分别为m,n,再设m,n的夹角为φ,平面α与平面β的平面角为θ,则θ为φ或则cosθ4.点A、BAB5.点Q到直线l距离若Q为直线l外的一点,P在直线上,a为直线l的方向向量,b=则点Q到直线l距离为d=如图,d=6.点Q到平面α的距离若点Q为平面α外一点，点M为平面α内任一点，平面α的法向量为n，则Q到平面α的距离就等于MQ在法向量n方向上的投影的绝对值,即d=如图,d=7.直线a平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离.8.利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.考向1线线角【典例分析】题型1:几何法题1.(2021・乙卷)在正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为B1D1A.π2B.π3C.π题2.2017⋅新课标II已知直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ABC=A.32B.155C.10题3.2015⋅浙江如图,三棱锥A−BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC题4.(2014·大纲版)已知二面角α-l−β为60∘,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,A.14B.24C.3题5.如图,在三棱台ABC−DEF中,平面ACFD⊥平面（1）求异面直线EF与DB所成角的余弦值;题型2:坐标法题6.(2015•新课标I)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120∘,EBE⊥平面ABCD,DF⊥(I)证明:平面AEC⊥平面AFC(II)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.考向2线面角【典例分析】题型1:几何法题1.(2022•新高考I)已知正方体ABCD−A1A.直线BC1与DA1B.直线BC1与CA1C.直线BC1与平面BB1D.直线BC1与平面ABCD所成的角为题2.(2022•甲卷)在长方体ABCD−A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCDA.ABB.AB与平面AB1C1C.ACD.B1D与平面BB1题3.(2023·乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C−AB-D为150∘,则直线CD与平面A.15B.25C.3题4.(2023•甲卷)在三棱柱ABC−A1B1C1中,AA1=2（1）求证:AC=（2）若直线AA1与BB1距离为2,求AB1题型2:坐标法题5.(2022•甲卷)在四棱锥P−ABCD中,PD⊥底面（1）证明:BD⊥（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.题6.2019⋅浙江如图,已知三棱柱ABC−A1B1C30∘,A1A=(I)证明:EF⊥(II)求直线EF与平面A1BC题7.(2021·浙江)如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是平行四边形,BC=4,PA=15,M,(I)证明:AB⊥(II)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.【精选练习】1.(2022•乙卷)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD（1）证明:平面BED⊥平面ACD（2）设AB=BD=2,∠ACB=60∘,点F在BD上,当△AFC2.(2015•浙江)如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,∠BAC=90∘,AB=AC=2,(I)证明:A1D⊥平面(II)求直线A1B和平面B考向3二面角【典例分析】题型1:几何法题1.(2024•新高考I)如图,四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面（1）若AD⊥PB,证明:AD//平面（2）若AD⊥DC,且二面角A−CP−D的正弦值为题2.(2024*云南模拟)如图,在直三棱柱A1B1C1−ABC中,AB⊥AC,（1）求证:BA1//平面（2）求二面角A1−题3.如图所示,平面ABFE⊥平面ABCD,四边形AEFB为矩形,BC//AD（1）求多面体ABCDEF的体积;（2）求二面角F−CD题4.如图,在三棱台ABC−DEF中,平面ACFD⊥平面（1）求异面直线EF与DB所成角的余弦值:（2）求二面角A−CD题型2:坐标法题5.(2021•新高考II)在四棱锥Q−ABCD中,底面ABCD是正方形,若(I)求证:平面QAD⊥平面ABCD(II)求二面角B−QD题6.(2022•新高考I)如图,直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为（1）求A到平面A1BC（2）设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥题7.(2023•新高考Ⅱ)如图,三棱锥A−BCD中,DA=DB=DC（1）证明BC⊥（2）点F满足EF=DA,求二面角D题8.(2018•新课标II)如图,在三棱锥P−ABC中,AB=BC=2中点.（1）证明:PO⊥平面ABC（2）若