专题5-1 等差等比性质综合（原卷版）

专题5-1等差等比性质综合目录TOC\o"1-1"\h\u题型01等差数列单调性 1题型02等比数列单调性 2题型03等差数列不等式正负分界 3题型04等比数列“1”比较型不等式 3题型05等差数列“高斯”性质 4题型06等比数列“高斯”性质 5题型07等差中项比值型 6题型08等比中项比值型 7题型09整数型比值 7题型10等差等比函数性质：恒成立求参 8题型11等差等比函数性质：奇偶型讨论 9题型12等差等比函数性质：三角函数型 9题型13等差等比插入数型 10题型14等差等比分段型数列 11高考练场 12题型01等差数列单调性【解题攻略】判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法：（1）作差比较法：当时，递增；当时，递减.（2）作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减.（3）函数图象法：设，则可用函数的图象来研究数列的单调性【典例1-1】（2023春·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（

）A． B．和均为的最大值C．存在正整数，使得 D．存在正整数，使得【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：①若数列为递增数列，则对一切，；②若对一切，，则数列为递增数列；③若存在，使得，则存在，使得；④若存在，使得，则存在，使得；其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（2019秋·河南洛阳·高三统考）已知数列为等差数列，其前项和为，若（且），有以下结论：①；②；③为递增数列；④．则正确的结论的个数为A． B． C． D．【变式1-2】（2019春·上海杨浦·高三复旦附中校考）已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：①若数列为递增数列，则对一切，②若对一切，，则数列为递增数列③若存在，使得，则存在，使得④若存在，使得，则存在，使得其中正确命题的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型02等比数列单调性【解题攻略】函数图象法：求出数列的前n项和，利用函数的图象性质来研究的最大最小值问题.【典例1-1】无穷数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的有（

）A．为等比数列 B．为递增数列【典例1-2】等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【变式1-1】已知数列满足，，设，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-2】.数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n为单调递增数列，则的取值范围为（）A． B． C． D．题型03等差数列不等式正负分界【解题攻略】邻项变号法：若当时，，当时，，则数列中，最大；若当时，，当时，，则数列中，最小.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（

）A．数列的最小项为第项 B．C． D．时，的最大值为【变式1-1】（2021·全国·高三专题练习）设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为A．3 B．4 C． D．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，为其前n项和.若，，则下列判断错误的是（

）A．数列递增 B． C．数列前2020项和最小 D．题型04等比数列“1”比较型不等式【解题攻略】等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考：1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak22.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【典例1-2】（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值【变式1-1】（2023秋·高三课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（

）A． B．C．是数列中的最大项 D．【变式1-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．没有最大值【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．的最大值为题型05等差数列“高斯”性质【解题攻略】.一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.【典例1-1】（2021·江苏·高三专题练习）已知等差数列满足，则的最大值为（

）A． B．20 C．25 D．100【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前项和为.若且，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2022秋·山东临沂·高三校考期中）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．22 B．33 C．44 D．55【变式1-2】（2023秋·高三课时练习）在等差数列中，，则数列的前19项之和为（

）A．98 B．95 C．93 D．90【变式1-3】（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考）在等差数列中，若，则（

）A．30 B．40 C．45 D．60.题型06等比数列“高斯”性质【解题攻略】等比数列“高斯技巧”（1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2；(2)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(3)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.【典例1-1】（2023秋·山西太原·高三统考）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（

）A．7 B．14 C． D．【典例1-2】（2023春·内蒙古通辽·高三校联考开学考试）已知等比数列满足：，则的值为（

）A．20 B．10 C．5 D．【变式1-1】（2023春·河南郑州·高三河南省实验中学校考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-2】（2022秋·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（

）A． B．或 C． D．【变式1-3】（2023秋·甘肃·高三校考阶段练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（

）A． B．1011C． D．1012题型07等差中项比值型【解题攻略】双数列等差中项比值转化型、均为等差数列且其前项和为、则【典例1-1】（2023春·新疆伊犁·高三校考）设等差数列、的前n项和分别是，，若，则=（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023春·江西吉安·高三永丰县永丰中学校考）等差数列和的前项和分别记为与，若，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023春·新疆·高三八一中学校考）若两个等差数列，的前n项和满足，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列和的前项和分别为，，且，则的值为（

）A． B． C． D．题型08等比中项比值型【典例1-1】已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（

）A．27 B．3 C．1或3 D．1或27【典例1-2】已知等比数列中，，，成等差数列．则=（

）A．4或 B．4 C． D．【变式1-1】设等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（

）A． B． C．3 D．4【变式1-3】已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则（

）A． B． C． D．题型09整数型比值【解题攻略】整数型比值，可以通过分离常数，因式分解，整除等知识点来构造求解【典例1-1】已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比，若，且是正整数，则实数（

）A．4 B．2 C． D．【典例1-2】（2023春·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式1-1】（2022春·安徽安庆·高三安庆市第七中学校考阶段练习）已知等差数列和等差数列的前n项和分别为，且，则使为整数的正整数n的个数是（

）A．2 B．6 C．4 D．5【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（

）A． B． C．1 D．2题型10等差等比函数性质：恒成立求参【典例1-1】（2020·江苏·高三专题练习）已知是公比不为1的等比数列，数列满足：，，成等比数列，，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为A． B．C． D．【典例1-2】（2020·全国·高三专题练习）已知为递增的等差数列，且构成等比数列.若，数列的前项和恒成立，则的最小值为A． B． C． D．【变式1-1】（2021秋·山西朔州·高三校考阶段练习）等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是A． B． C． D．【变式1-2】（2023秋·辽宁·高三校考阶段练习）已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为【变式1-3】（2023秋·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为．题型11等差等比函数性质：奇偶型讨论【解题攻略】奇偶型讨论：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。【典例1-1】数列满足，则的80项和为________.【典例1-2】数列{}中，，前和为，则为（

）A．-12 B．16 C．-10 D．12【变式1-1】已知数列满足，令，设的前项和为，则（

）.A．5049 B．5050 C．5051 D．5052【变式1-2】数列满足，则数列的前48项和为（

）A．1006 B．1176 C．1228 D．2368题型12等差等比函数性质：三角函数型【典例1-1】（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（

）A． B． C．180 D．240【典例1-2】（2022·浙江宁波·统考二模）已知数列满足，.若对恒成立，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2021上·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）数列的通项，其前项和为，则S18为（

）A．173 B．174 C．175 D．176【变式1-2】（2020下·四川成都·高三树德中学校考）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若对任意n∈N*，θ∈R，不等式λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值A．1 B．2 C．1 D．【变式1-3】（2022·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）已知依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误的是（

）A．依次可组成等差数列 B．依次可组成等差数列C．依次可组成等差数列 D．依次可组成等差数列题型13等差等比插入数型【解题攻略】插入数型1.插入数构成等差数列在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解个数构成等差数列，公差记为，所以：插入数构成等比数列在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解个数构成等比数列，公差记为，所以：插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。【典例1-1】（2023·江西南昌·统考二模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【典例1-2】（2022上·浙江·高三统考学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108【变式1-1】（2019下·贵州遵义·高三统考）在1和19之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式1-2】（2018·全国·高三竞赛）已知、是不相等的正数，在、之间插入两组数，，…，，，，…，，使，，，…，，成等差数列，，，，…，，成等比数列．则下列不等式（1），（2），（3），（4）中，为真命题的是（

）．A．（1）、（3） B．（1）、（4）C．（2）、（3） D．（2）、（4）【变式1-3】（2021下·高三课时练习）在数列、、、、的每相邻两项中插入个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第项（

）A．不是原数列的项 B．是原数列的第项C．是原数列的第项 D．是原数列的第项题型14等差等比分段型数列【典例1-1】已知数列，，数列满足.若，且对任意，恒成立，则可能为（

）A． B． C． D．【典例1-2】数列满足，，若为等比数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-1】数学史上著名的“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列中，（m是正整数），若，则m所有可能的取值集合是（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知数列的通项公式为，是数列的前n项和，若，使，则（

）A．1 B．2 C．1或3 D．2或3【变式1-3】已知数列满足，且，则中整数项的个数为（

）A．20 B．21 C．22 D．23高考练场1.（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．22.设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2018春·江西抚州·高三临川一中校考）设等差数列满足，，数列的前项和记为，则A．， B．，C．， D．，4.（2022·全国·高三专题