基础课28 平面向量的基本定理及其坐标表示

基础课28平面向量的基本定理及其坐标表示课时评价·提能基础巩固练1.设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（A.e1+e2和e1C.e1+2e2和2[解析]因为e1，e2是平面内所有向量的一个基底，所以e1，e2不共线，所以e1+e2和e1−e2不共线，e1+2e2和2e1+e2不共线，e1和e1+e2不共线,2.已知向量AB=1,3,BC=2,A.5,16 B.7,−16 C.[解析]因为AB=1,3,BC=2,4,3.设x，y∈R，向量a=x,2，b=1,y，A.0 B.1 C.2 D.3[解析]因为a=x,2，b=1,y，c=−2,2，且a⊥c，b//c，4.（改编）已知向量a=λ+1,−2，b=A.10 B.103 C.5 D.[解析]向量a=λ+1,−2，b=1,3，若a⊥b，则λ+1−5.（改编）已知向量a=3,4，则与A.(45,−35) B.(−35,45) [解析]设与a垂直的单位向量e=x,y，因为a=3x2+y2=1，解得e=(45,6.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法错误的是（①a=λ②对于平面α内任一向量a，使a=λe③若向量λ1e1+μ④若存在实数λ，μ使得λe1+A.①② B.②③ C.③④ D.②[解析]由平面向量的基本定理可知，①④正确.对于②，由平面向量的基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②错误.对于③，当λ1λ2=0或μ1μ2=0时，说法不一定成立，7.（改编）已知在△ABC中，D为边AB上一点且满足AD=2DB，若P为线段CD上一点，且满足AP=λAB+μA.2 B.94 C.52[解析]因为P为线段CD上一点，所以AP=xAD+又因为AP=λAB+μAC，可得λ=可得16λ当且仅当μ6λ=3λ2μ，即μ=3λ=23时，等号成立，8.已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点P满足AP=λABA.若μ=1，则B.若λ=1，则C.若μ=12，则满足PAD.若λ=13，μ=[解析]以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B0,2，D4,0，因为AP=λAB+对于A，当μ=1时，P4,2λ，则点P到直线AB的距离为4，则对于B，当λ=1时，P4μ,2，则DP=4μ−4,2，因为0≤μ≤1，所以对于C，当μ=12时，P2,2λ，PA=−2,−2λ，PB=−2,2−2λ对于D，若λ=13，μ=23，则P(83,23)，此时点P到直线AB的距离为综合提升练9.（多选题）已知向量a=2,1,A.a+b⊥b B.向量aC.a与a−b夹角的余弦值为255 D.若c[解析]对于A,因为a+b=2,1+−3对于B,因为acos⟨a,b⟩=a⋅bb=−6+1−32+1对于C,因为a−b=2,1−−3,1=5,对于D,因为a=2,1,c=(55,−255)，而2×−210.（多选题）已知在平行四边形ABCD中，E为边CD的中点，F为边BC上靠近点B的三等分点，连接AF，BE交于点M，连接AC，N为AC上靠近点C的三等分点，记AB=a，AD=A.M，N，E三点共线B.若AM=λC.BND.S△ABM=17[解析]如图所示,在平行四边形ABCD中，因为N为边AC上靠近点C的三等分点，所以AN=23所以EN=AN−AE=1所以EM//EN，又有公共点E，所以M,N,E三点共线，故A设MA=cAF，则AE=ME−MA=−m12AB−AD−cAFBN=AN−AB=−13AB+23AD，因为EM因为AM=67AF，所以S△ABM=6711.如图所示，在边长为3的等边△ABC中，AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=[解析]如图，以O为原点建立平面直角坐标系，则A−1,0,B(12,332),C2,0，因为所以点P的轨迹方程为x2+y2=1，且在x轴的下半部分设Pcosα则BP=(cosα−12,BA=(−32因为BP=xBA+yBC，所以(cos即(cosα−12所以sin所以x+y=−239sinα+1，因为α∈[π,12.（双空题）如图，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5，D是BC的中点，AE=13EC,BF⋅AC=0，AD与BE[解析]因为AG=λAD，AD=又B，G，E三点共线，所以EG=xEB，又AE=13EC，所以AG=xAB因为BF⋅AC=0，所以BF⋅AC=AB⋅BC，所以BF=125，在Rt△BFC应用情境练13.如图,这是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮）、圆D（后轮）的半径均为3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设P为后轮上一点，则在骑该自行车的过程中，AC[解析]如图，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，因为圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为所以设点P3cosθ,3sin所以AC=6,所以AC⋅所以当sinθ+π3=−1，即θ=714.（双空题）赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形.若D为BE的中点，则△DEF与△ABC的面积的比值为17；设[解析]如图,连接AE，由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D,E,F分别为BE,CF,ADS△ABC=S因为AD=AB+BD=化简得AD=47AB创新拓展练15.已知对任意平面向量AB=x,y，将AB=x,y绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycos[解析]设Bx,y，则AB=x−1,y−即将点B绕点A沿逆时针方向旋转5π可得AP=(x−化简可得AP=(12又因为AP=(32所以12解得x=1+316.如图，平面向量e1与e2是单位向量，夹角