专题3-2 三角函数求w类型及换元归类（解析版）

专题3-2三角函数求w类型及三角换元应用归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01平移型求w 1题型02单调区间及单调性求w 3题型03对称中心（零点）求w 5题型04对称轴型求w 8题型05对称轴及单调性型求w 11题型06“临轴”型求w 13题型07“临心”型求w 16题型08区间内有“心”型求w 19题型09区间内无“心”型求w 22题型10区间内最值点型求w 24题型11多可能性分析型求w 28题型12三角应用：三角双换元 32题型13三角应用：无理根号型 34题型14三角应用：圆代换型 36题型15三角应用：向量型换元 38高考练场 41题型01平移型求w【解题攻略】平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意是周期的整数倍，求出的表达式，从而求出其最小值.【详解】,的周期为,将的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，是周期的整数倍，，，，的最小值等于.故选：B【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图像向右平移个单位长度后与原函数图像重合，则实数的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】由题意可知是的周期的倍数，即，从而可求得答案【详解】解：因为函数的图像向右平移个单位长度后与原函数图像重合，所以是的周期的倍数，设，所以，因为，所以当时，最小，故选：C【变式1-1】（2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试）将函数的图像向左平移2个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】平移函数图象后得，根据与重合可求解.【详解】函数的图像向左平移2个单位长度后可得，，与函数的图象重合，所以，由，所以.故选：A.【变式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得，结合即可求解.【详解】由题意可得，∴，，解得，，又，∴当时，取得最小值为5．故选：D.【变式1-3】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图象变换可得，根据题意结合诱导公式可得，运算求解即可得结果.【详解】将的图象向左平移个单位长度后，得到，则，解得，所以当时，的最小值为.故选：C.题型02单调区间及单调性求w【解题攻略】正弦函数在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增，在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减余弦函数在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上都单调递减【典例1-1】（上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期数学试题）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________【答案】【解析】根据正弦函数的单调性，求出函数的单增区间，由（），可得：，所以，整理即可得解.【详解】根据正弦函数的单调性，可得：（），所以：，解得：，整理可得：，当有解，解得.故答案为：.【典例1-2】（广西玉林市育才中学2022届高三12月月考数学试题）已知函数的图象关于直线对称，且，在区间上单调，则的值为_____________.【答案】2或6.【详解】因为的图象关于直线对称,故,...①又,故或,...②①-②可得或,,.解得或,,又在区间上单调,故周期满足,且,所以故当时有满足条件.故答案为：2或6【变式1-1】函数,若在区间上是单调函数,且则的值为（）A． B．或 C． D．或【答案】B分析：由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为；讨论与是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．详解：因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，∴.故选B.【变式1-2】若函数在上是增函数，则的取值范围是____________.【答案】【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后结合三角函数的性质得到关于的不等式，求解不等式即可确定的取值范围.【详解】整理函数的解析式有：结合题意可知函数的最小正周期：,即，求解不等式可得的取值范围是.【变式1-3】（2022-2021学年度下学期高三数学备考总动员C卷）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】先由题意可知，得到，再由整体法得到单调减区间为，显然是其子集，由此可得，检验的值易得，得解.【详解】由题意可得函数的最小正周期,∴，∵函数的最小正周期为，单调减区间为，又，由，得，∴函数的单调减区间为．∵函数在区间上单调递减，∴，∴，解得．当时，，不合题意；当时，，符合题意；当时，，显然矛盾，不合题意.∴实数的取值范围是．故答案为：.题型03对称中心（零点）求w【解题攻略】正弦函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)余弦函数对称中心(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)正切函数对称中心(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可.【详解】根据题意得，，则，又，则，，对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误；对于B，由得，满足条件，故B正确；对于C，由得，与矛盾，故C错误；对于D，由得，与矛盾，故D错误.故选：B.【典例1-2】（2022秋·重庆·高三统考期中）若存在实数，使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，则，再根据，，即可得出答案.【详解】解：由题意知，存在在使得的一个对称中心为，即存在使得时，，代入，则，即，即，因为，，所以，则，由不等式性质知时，取到最小值，又由于无法取到，故，所以的取值范围为.故选：C..故选：C.【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知，周期是的对称中心，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件，列出方程即可求得，然后根据对称中心以及周期范围求出，即可得到的解析式，从而得到结果.【详解】因为，由可得，且，所以，又因为是的对称中心，故解得且，即所以，当时，即，所以故选:D【变式1-2】（2022秋·高三课时练习）已知函数的部分图象如图，的对称中心是，则（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】可得，根据辅助角公式可得，由对称中心可得最小正周期为，故根据可求，从而可求.【详解】，由的对称中心是，知的最小正周期，故故解得.故.故选:D.【变式1-3】（2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切型函数的对称性可得出的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果.【详解】因为函数的图象的一个对称中心为，所以，，可得，，则，故函数的最小正周期为，当时，可知函数的一个最小正周期为.故选：C.题型04对称轴型求w【解题攻略】正弦函数对称轴（k∈Z）时，ymax＝1；（k∈Z）时，ymin＝－1余弦函数对称轴x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1【典例1-1】（2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】A【分析】根据给定的对称轴方程可得的周期，进而求出，再借助函数性质及给定图象求出A值作答.【详解】由给定的图象知，，，即，因函数图象的对称轴方程为，则的最小正周期，，而，显然有，即，解得，所以.故选：A【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对称轴可求的值，从而可求最小正周期.【详解】因为是函数图象的对称轴，所以，故，所以，故的最小正周期的最大值为，故选：D.【变式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由函数的图像关于对称，求出，再对化简即可求出.【详解】函数变为，（令）.因为函数的图像关于对称，所以,解得：.所以.所以函数，其中,其对称轴方程,所以.因为，所以，所以.当时，符合题意.对照四个选项，D正确.故选：D.【变式1-2】（“超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷数学试题）已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】,,由，得，,由对称轴,假设对称轴在区间内，可知当k=1,2，3时，，现不属于区间，所以上面的并集在全集中做补集，得，选B.【变式1-3】已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【详解】，又，，，所以，由的任何一条对称轴与轴的交点的横坐标都不属于区间，则得，，当，，显然不符合题意；当，符合题意；当，，符合题意；当，，显然不符合题意，综上的取值范围是，故选B题型05对称轴及单调性型求w【典例1-1】（2021届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题）已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为___________.【答案】【分析】根据，得函数的对称轴为，所以有可得，解得，再分类讨论又在区间上单调递增和递减两种情况，对每一种情况列出关于的不等式组，解之可求得的值.【详解】因为，所以函数的对称轴为，所以即，解得，,又在区间上单调，所以（1）若在区间上单调递增，则∵，∴，∴，即，解得，所以，且，所以当时，满足题意；（2）若在区间上单调递减，则∵，∴，∴，即，解得，所以，且，此时无解，综上可得满足题意；故答案为：.【典例1-2】（2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷?数学（二）试题）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】函数的对称轴可表示为：，在上单调可得，使得，然后可得，即可分析出答案.【详解】函数的对称轴可表示为：，在上单调可得，使得，解得又.，∴当3时，可取最大值为【变式1-1】（四川省成都市新都区2020-2021学年高三诊断测试数学试题）已知函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为________．【答案】【分析】根据函数在区间上单调得，再由，得到区间的长度恰好为，再根据的范围求得的最大值，进而得到的最大值.【详解】因为在区间上单调，所以，因为，，所以，所以，当，所以.故答案为：.【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用正弦函数的图象与性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数在上是单调函数，则满足，可得，结合选项可得，可能的值为和.故选：B.【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（

）A．9 B．7 C．11 D．3【答案】C【分析】根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，由得，则函数在上单调递增，而函数在区间上不单调，则，解得，所以的最小值为11.故选：C题型06“临轴”型求w【解题攻略】若的图像关于直线对称,则或.【典例1-1】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的最大值为4，最小值为0，求得A，m，再由该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，求得，然后由直线是该函数图象的一条对称轴求解.【详解】因为函数的最大值为4，最小值为0，所以，所以，又因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，所以，则，所以函数，又直线是该函数图象的一条对称轴，所以，则，因为，所以，所以该函数的解析式是，故选：B【典例1-2】（2023秋·高三课时练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果.【详解】设函数的最小正周期为，因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，则，其中，所以，，，因为函数在区间上单调，则，所以，.所以，的可能取值有：、、、、.（i）当时，，，所以，，则，，，所以，，当时，，所以，函数在上不单调，不合乎题意；（ii）当时，，，所以，，则，，，所以，，当时，，所以，函数在上单调递减，合乎题意.因此，的最大值为.故选：A.【变式1-1】（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知，是函数图象上两条相邻的对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可.【详解】由题意得：，故，则当时，，又，故.故选：A.【变式1-2】（2023春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，且当时，不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得的解析式，再得到的解析式，并求得在上的最小值，进而构造关于的不等式，解之即可求得的取值范围.【详解】又图象的相邻两对称轴间的距离为，则的周期为，则，则将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则当时，，当时，不等式恒成立，则恒成立，解之得故选：B【变式1-3】（2023春·四川成都·高三校联考阶段练习）已知直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题知，进而得，再求解函数单调区间即可.【详解】解：直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，，即，令，解得，的单调递增区间是.故选：B.题型07“临心”型求w【解题攻略】函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.【典例1-1】（2023春·广东珠海·高三校考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角化简函数解析式为，分析可知，函数的最小正周期满足，求出的取值范围，求出函数图象对称中心的横坐标，可得出所满足的不等式，即可得出的取值范围.【详解】因为，因为函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于，所以，函数的最小正周期满足，即，则，由可得，因为函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，则，可得，又因为且存在，则，解得，因为，则，所以，，故选：B.【典例1-2】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）函数，的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为，且的图象关于直线对称，则下列判断正确的是（

）A．函数在上单调递减B．将图象向右平移个单位与原图象重合C．函数图象关于点对称D．函数的图象关于直线对称【答案】D【分析】依题意可求得,从而可求得的解析式，从而可以对函数的单调区间、对称中心、对称轴、平移一一判断.【详解】函数，的最大值为2，即，所以，又图象相邻两个对称中心之间的距离为，由的图象关于直线对称，所以，即，当时，，函数不单调，故选项A错误；将图象向右平移个单位，得，其图象与原图象不重合，故选项B错误；令，可得，图象关于点对称，故选项C错误；当时，为最小值，函数的图象关于直线对称，故选项D正确.故选：D.【变式1-1】（2023下·河南焦作·高三统考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角化简函数解析式为，分析可知，函数的最小正周期满足，求出的取值范围，求出函数图象对称中心的横坐标，可得出所满足的不等式，即可得出的取值范围.【详解】因为，因为函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于，所以，函数的最小正周期满足，即，则，由可得，因为函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，则，可得，又因为且存在，则，解得，因为，则，所以，，故选：B.【变式1-2】（2023·云南红河·统考二模）已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】由正切函数的性质得出，继而由周期公式得出.【详解】解：设的最小正周期为，由函数（）的图象上相邻两个对称中心之间的距离为，知，，又因为，所以，即，则．故选：B．【变式1-3】（2021上·四川雅安·高三统考期末）已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T，然后由求出，然后再代点讨论满足题意的，即可得出答案.【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为，得.则由得，即得.由，且在区间内单调递减，则可得，∴.由得，因，可得或，当时，，由，得，则函数的单调减区间为，令，由，得函数在上不是单调递减，所以不满足题意；当时，，由，得，则函数的单调减区间为，令，由，得函数在上单调递减，所以满足题意；综上可得：满足题意.故选：A.题型08区间内有“心”型求w【解题攻略】求w的表达式时，中不要把写成k,因为后面还有一个k,中不要把写成k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等.【典例1-1】（天津市部分区2020届高考二模数学试题）若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得，由余弦函数的零点可得，即可得解.【详解】当时，，又，，函数()在区间上单调递减，，即，解得；令，则，即，由，可得当且仅当时，，又函数()在区间上存在零点，，解得；综上，的取值范围是.故选：D.【典例1-2】（2021春•商洛）已知函数在，上恰有6个零点，则的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：当时，；当时，．因为在，上恰有6个零点，且，所以，解得．故选：．【变式1-1】（2022•湖北模拟）已知函数在区间，上恰有三个零点，则的取值范围是．【解答】解：由题意：转化为与函数在区间，上恰有三个交点问题，，上，．当，可得．根据余弦函数的图象：可得，解得：的取值范围是，故答案为：，．【变式1-2】（云南省2020届高三适应性考试数学试题）若函数（，）图象过点，在上有且只有两个零点，则的最值情况为（

）A．最小值为，最大值为 B．无最小值，最大值为C．无最小值，最大值为 D．最小值为，最大值为【答案】C【分析】由图象过点求出，然后解，得，再分析在上有且只有两个时，的取值只能是，从而可得的范围，【详解】由题可知，即，∴，又∵，，∴.令，得，解得又∵，在上有且只有两个零点，∴只能取1，2，故，解得，∴，∴，没有最小值．故选：C.【变式1-3】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20题）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是________．【答案】【分析】原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，作出可知，满足条件可最短区间长度为，最长区间长度为，由此建立关于的不等式，解出即可．【详解】令，则，令，则，则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，作出与的图象，如图所示，由图可知，满足条件可最短区间长度为，最长区间长度为，∴，解得．故答案为：．题型09区间内无“心”型求w【解题攻略】无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.【典例1-1】已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围为_________.【答案】【分析】先把化为，求出其零点的一般形式后利用函数在区间内没有零点构建关于的不等式组，通过讨论的范围可得的取值范围.【详解】因为，故，令，则，故函数的零点为.因为函数在内无零点，故存在整数，使得，故，因为正实数，故，故，又，故，故或.当时，，当时，.故.故答案为.【典例1-2】（天津市南开中学2022届高三下学期统练二数学试题）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是______.【答案】【分析】化简变形，根据三角函数的性质求出的零点，根据条件得出区间内不存在整数，再根据可得为或的子集，从而得出的范围．【详解】．令，可得，．令，解得，∵函数在区间内没有零点，∴区间内不存在整数．又，∴，又，∴或．∴或，解得或．∴的取值范围是，故答案为．【变式1-1】函数，且，，若的图像在内与轴无交点，则的取值范围是__________.【答案】【详解】∵的图像在内与轴无交点∴∵∴∵由对称中心可知∴∵假设在区间内存在交点，可知∴当时，∴以上并集在全集中做补集，得故答案为【变式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数由函数在上没有零点，则，则由，可得假设函数在上有零点，则，则由，可得又，则则由函数在上没有零点，且，可得故选：A【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，假设函数在上有零点，令，得，，得，，则，得，，又，所以或，又函数在上有零点，且，所以或.故选：A题型10区间内最值点型求w【解题攻略】极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。【典例1-1】.已知函数（，），，，在内有相邻两个最值点，且最小值点距离轴近，则的最小正整数值为（

）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】C【分析】由结合已知条件可得，由可求出，再由，可知，结合，可求出，从而可选出正确答案.【详解】解析：因为，结合已知，知（），又因为，所以，所以．因为，所以，，解得，．又因为，可得，所以当时，的最小正整数值为9．故选:C.【典例1-2】已知函数的图象关于点及直线对称，且在不存在最值，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据对称得到，根据没有最值得到，得到，，再根据对称中心得到，得到答案.【详解】函数的图象关于点及直线对称.则.在不存在最值，则，故时满足条件，，.，则.当时满足条件，故.故选：.【变式1-1】（2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题13-16题）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．【答案】4或10##10或4【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.当时，，y＝sinx图像如图：要使在区间上有最小值无最大值，则：或，此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.【变式1-2】（2022届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题）已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.【详解】由题意知，则其中，．又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立；综上所得的最大值为．故选:C【变式1-3】（【全国百强校】河北衡水金卷2022届高三12月第三次联合质量测评数学试题）已知函数，两个等式：对任意的实数均恒成立，且上单调，则的最大值为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】由函数的图象关于直线和点对称可得：，即，结合选项检验与即可.【详解】因为两个等式：对任意的实数x均恒成立，所以的图象关于直线和点对称，所以，因为，所以.因为在上单调，所以，所以，由选项知，只需要验证.1.当时，，因为对任意的实数x均恒成立，所以，因为，所以，所以，可以验证在上不单调，2.当时，，因为对任意的实数x均恒成立，所以，因为·所以·所以，可以验证在上单调，所以w=1.故选A.题型11多可能性分析型求w【解题攻略】解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．【典例1-1】.函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：或∴或∴或∵在上单调递减，∴∴①当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，∴符合取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合当时，，舍去，当时，也舍去②当时，取知此时，当时，，此时在上单调递增，舍去当时，，舍去，当时，也舍去综上：或2，.故选：A.【典例1-2】（北京市西城区北京师范大学附属实验中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）已知点，若三个点中有且仅有两个点在函数的图象上，则正数的最小值为__________.【答案】4【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数的最小值，再进行比较从而得出结论．【详解】①若只有两点在函数的图象上，则有，，，则，即，求得无解．②若只有点在函数的图象上，则有，，，故有，即，求得的最小值为4．③若只有点在函数的图象上，则有，，，故有，即，求得的最小正值为10，综上可得，的最小正值为4，故答案为：4．【变式1-1】（北京市东城区2021-2022学年高三上学期数学试题）已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为__________．【答案】2或10【分析】令，解得或，根据存在相邻两个交点间的距离为，得到或，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，曲线与直线相交，令，即，解得或，由题意存在相邻两个交点间的距离为，结合正弦函数的图象与性质，可得，令，可得，解得.或，令，可得，解得.故答案为：或.【变式1-2】（上海市晋元高级中学2022届高三数学试题）已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在符合题意即可.【详解】解：对A，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；令时，。。所以存在使得时的值等于时的值，时的值等于时的值，时的值等于时的值.但是当等于、、、时，不存在使得这个值中的任何两个相等所以当时，集合中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；对B，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；令，。所以当时，符合题意，故B正确；对C，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；令，则，，所以当时，符合题意，故C正确；对D，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；令，，，所以当时，符合题意，故D正确.故选：A.【变式1-3】（2021•淮北二模）已知函数满足，，且在区间上单调，则满足条件的个数为A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设函数的最小正周期为，由于函数满足，，故，解得，所以，由于函数在区间上单调，故，故，，即，解得，由于，所以取0，1，2，3，4，5，6，7，8．故的取值为9个；故选：．题型12三角应用：三角双换元【解题攻略】形如，等，均可以用三角换元来解决.在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，于是我们在设置角度时要抓住2点：设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令，此时，于是.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设、且，求的取值范围是.【答案】【分析】解法一：利用条件，将转化为二次函数，进而可确定的范围．解法二：由得，设，则，再结合余弦函数及二次函数的性质计算可得.【详解】解法一：，，可得．，令，，显然函数在上单调递增，，，即，的取值范围是．解法二：由得，设，即，则令，，，，显然在上单调递增，所以，即，所以的取值范围是.故答案为：【典例1-2】（2020·江西·校联考模拟预测）若等差数列满足，且，求的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，根据求出的范围，利用等差中项的性质得到，再利用同角公式可求得结果.【详解】设，，又∵，∴，即，∴，∴，∴，又∵，所以，所以，∴．故选：B【变式1-1】（2021·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知，，求的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，设，，那么，结合三角函数的有界限，即可得到答案.【详解】由题意知，且，设，，那么，其中，因为的取值范围是，所以，即的取值范围为.故选：B【变式1-2】（江西省抚州市金溪一中等七校2021-2022学年高三考试数学试题（B卷））已知满足，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，令，所以，所以，因为，所以所以

所以，故选D.【变式1-3】（浙江省嘉兴市2022届高三试数学试题）已知实数满足,则的取值范围是_______．【答案】【解析】设因此因为，所以，即取值范围是点睛：利用三角函数的性质求范围，先通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．题型13三角应用：无理根号型【解题攻略】无理根号型求范围，可以通过换元求得：1.单根号，一般是齐次关系。2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x。3.式子可能具有“轮换特征”4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。【典例1-1】.求函数的值域.【分析】遇到根号问题，通常我们都需要利用换元法就值域，但由于根号内有平方，则需要利用含平方的换元形式，于是我们利用三角换元．解析：令，则原式=其中.，【典例1-2】求函数的值域.【答案】【分析】可化为，令，结合辅助角公式及三角函数的性质求解.【详解】可化为，令，则，，，∴,故函数的值域为.【变式1-1】若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由可得原不等式等价于，两边平方，利用均值不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以不等式可化为，设，，则，则，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以，故答案为：【变式1-2】（新疆莎车县第一中学2022届高三上学期第三次质量检测数学试题）函数y=x−4−【答案】−2【分析】函数的定义域为−2,2，设x=2cosθ将原函数转化为关于【详解】由4−x2≥0可得−2≤x≤2，即函数的定义域为−2,2。所以设x=2则y=2cos因为θ∈0,π，所以θ+π4∈所以函数y=x−4−x2的值域为−2【变式1-3】（2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题）已知，则的最大值为_________.【答案】8【分析】设，不妨设，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即可得答案.【详解】设，不妨设，则，故，所以，可设，，则，当且仅当时取等号即的最大值为8.故答案为：.题型14三角应用：圆代换型【解题攻略】圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应x，正弦对应y的参数方程是：【典例1-1】（上海市第二中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）知点A(2,0)，点P是以原点为圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点P绕点逆时针旋转90°得点Q，线段AP的中点为，则|MQ|的最大值是______【答案】1+【分析】设P(cosθ,sinθ)，则Q(−sinθ,【详解】解：由题可知，设P(cosθ,sin因为A(2,0)，所以线段AP的中点得坐标为(2+cos所以|MQ|==9+4cosθ+8sinθ所以当sin(θ+φ)=1时，|MQ|取最大值为1+52【典例1-2】设圆O:x2+y2=1上两点Ax【答案】15【解析】【分析】首先由数量积公式可得∠AOB=120°，再根据绝对值的几何意义得ℎ=x1−2y15+x2−2y25【详解】由OA⋅OB=−设ℎ=x1−2y15+取直线x−2y=0为轴重新建立直角坐标系后，则ℎ表示两点，分别到轴的距离之和.在新的直角坐标系下，设Acosθ,sinθ，由对称性，不妨设点在轴上或上方，即−120°≤θ≤60°.所以ℎ=sinθ+sin0∘≤θ≤60得θ+60∘∈当−120∘≤θ<θ−30∘∈综上得32≤ℎ≤3，从而得【变式1-1】已知是单位圆（圆心在坐标原点）上任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为________.【答案】【分析】设，则，代入要求的式子由三角函数的知识可得解．【详解】设，则，，的最大值为，故答案为：【变式1-2】设圆上两点，满足：，则的取值范围是___________.【答案】【分析】首先由数量积公式可得，再根据绝对值的几何意义得表示两点，分别到直线的距离之和，再以直线为轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数表示，根据角的范围求值域.【详解】由，得.设表示两点，分别到直线的距离之和.取直线为轴重新建立直角坐标系后，则表示两点，分别到轴的距离之和.在新的直角坐标系下，设，。则有.由对称性，不妨设点在轴上或上方，即.所以，时，，得，则，当时，，，此时综上得，从而得.故答案为：【变式1-3】（2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知点为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围.【答案】[80,120]【分析】由椭圆的标准方程可得焦点,,由点在圆上可设,求得,,进而利用三角函数的性质求解即可.【详解】由题,椭圆的焦点为,,设点,则,,所以,,因为,所以,故答案为:题型15三角应用：向量型换元【解题攻略】向量中的三角换元原理之一，就是源于,实质是圆。所以模定值，可以用圆的参数方程代换。【典例1-1】（2022上·广东佛山·高三统考）菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则，的最小值为.【答案】0/-0.25【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，，，，设，则，，则，，，；因为，所以，，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为故答案为：0，【典例1-2】（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知，，则向量的最小值为.【答案】【分析】，不失一般性，设，由知的终点在两个圆上运动，设化简放缩后得到得解.【详解】，不妨设，所以在圆上运动，所以在圆上运动再令，当且仅当，时，等号成立，当且仅当时，等号成立.故答案为：【变式1-1】（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）平面向量，，满足，，则的最大值为.【答案】4【分析】不妨设，，，则求的最大值，即求的最大值，将问题转化为方程有解的问题，得到的轨迹为一个圆，最后利用投影向量的意义求出的最大值即可求解.【详解】设，，向量，的夹角为，则，，设，由得：，即，化简得：，上述方程一定有解，，即在一个圆上，而，所以转化为求的最大值，当在上投影长度最大时，，令，，则，当时，.的最大值为.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为.【答案】5【分析】令，坐标表示出、，应用坐标公式求出对应表达式中向量的模，构造函数并利用导数求最值.【详解】令，，，，，令，设，则，，令，易知：在上，即递增，所以在取得最大值，.故答案为：5.【变式1-3】（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，设，确定点A，B的轨迹，从而设，求出的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即可求得答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，令,

设则由可得，即点A轨迹为以为圆心，半径为2的圆，点B轨迹为以为圆心，半径为3的圆，则设，则，（为辅助角），令，则，则，又，而，故，故的取值范围是，故答案为：高考练场1.（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与图象重合，求得参数，，即得答案.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度后，得到的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，由于得到的函数的图象与图象重合，故，，所以，又，所以，故选：C．2.（湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）数学试题）已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为__________．【答案】【详解】，由，解得，是其子集，故，解得，由于，故令可求得的最大值为.3.（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正弦型函数的对称性进行求解即可.【详解】由于函数的图象的一个对称中心为，所以，所以，由于，则，因为，所以可得：，故选：C4.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知直线是函数（）图象的一条对称轴，则在上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由对称轴求出，再求在上的值域即可.【详解】∵直线是函数（）图象的一条对称轴，∴，，∴，，∵，∴时，，.当时，，∴当时，取最小值，当时，取最大值，∴，，∴在上的值域为.故选：D5.（2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷?数学（理）（二）试题）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】函数的对称轴可表示为：，在上单调可得，使得，然后可得，即可分析出答案.【详解】函数的对称轴可表示为：，在上单调可得，使得，解得又.，∴当3时，可取最大值为6.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.7.（2020·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知点，为曲线()(常数)的