专题6-2立体几何截面与最值归类 （原卷版）

专题6-2立体几何截面与最值归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01截面形状判断 1题型02利用相交线法做截面 2题型03利用平行线法做截面 5题型04截面计算：柱体周长 7题型05截面计算：柱体面积 8题型06锥体中截面周长与面积 9题型07台体中截面周长与面积 10题型08球截面 11题型09截面最值：球截面最值 12题型10截面最值：柱体最值 13题型11截面最值：锥体最值 14题型12截面最值：综合型最值 15题型13恒平行型求截面 16题型14恒垂直型求截面 18题型15动点型截面 19高考练场 21题型01截面形状判断【解题攻略】一般地，立体几何中的截面问题，有两种处理方法：1.是利用平行关系找交线，2.是利用共面直线延长相交得交点.【典例1-1】．（2022下·浙江温州·高三校联考）圆锥内接一个正方体，现有一个平面截这个几何体，则截面图形不可能是（

）A．B．C．D．【典例1-2】（2021下·高三课时练习）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【变式1-1】（2019·全国·高三假期作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2020下·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【变式1-3】用平面截正方体，截面不可能是（

）A．菱形 B．等腰梯形C．正五边形 D．正六边形题型02利用相交线法做截面【解题攻略】基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的），先用上表面（红色的）来做：所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H.连接HB，则的如右图的截面。再用右表面绿色的来做：则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J.连接FJ，则出右图的截面。最终，两个合在一起，就是如图的截面。以上过程，与EF是否中点，几何体是否正方体无挂具体的G,H,I,J都可以通过对应的E、F几等分点以及几何体长宽高的不同变化来计算出来，这个几何体也不一定是长方体，还可以是斜棱柱，都不影响这个作图。【典例1-1】在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（

）A．5 B． C． D．【典例1-2】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面多边形记为S，则下列命题正确的是（）A．当时，S为等腰梯形B．当时，S与的交点R满足C．当时，S为六边形D．当时，S的面积为【变式1-1】如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（

）A． B．C． D．【变式1-2】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（

）A． B． C． D．【变式1-3】在棱长为3的正方体A1B1C1D1-ABCD中，M是棱B1C1上靠近B1的三等分点，过A、D1、M作正方体的截面，则这个截面将正方体分成两部分的体积之比（体积较小的与体积较大的之比）为（

）A． B． C． D．题型03利用平行线法做截面【解题攻略】基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。平行线法。本题用平行线法，并不太快捷，不过也成立。平行线法特征：有两点连线在表面：EF，在前侧面方法如下：寻找C1点所在的与线EF的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的）在这个面内，过C1做EF平行线，显然必须扩展这个面了。如第三图。注意！注意！，E与F分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了）注意这仨面的相交棱，下边过C1做EF平行线，交这俩棱于K,L第二排图分别连FK与EL，交点为J与H。出截面，与第一种方法一致。【典例1-1】已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【典例1-2】在正方体中，点Q是棱上的动点，则过A，Q，三点的截面图形是（

）A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能【变式1-1】在棱长为3的正方体中，O为AC与BD的交点，P为上一点，且，则过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（

）A． B．C． D．【变式1-2】．正方体棱长为4，M，N，P分别是棱的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积（）A． B． C． D．【变式1-3】已知正方体，平面和线段，，，分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是（）A．梯形 B．正方形 C．长方形 D．菱形题型04截面计算：柱体周长【典例1-1】已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（

）A． B． C． D．【典例1-2】在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为A． B．C． D．【变式1-1】已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______．【变式1-2】在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（

）A． B． C． D．【变式1-3】已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（

）A． B． C． D．题型05截面计算：柱体面积【典例1-1】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，过E，F，C1三点的平面截正方体所得的截面的面积为（

）A．9 B． C． D．【典例1-2】在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则经过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为（

）．A． B． C． D．【变式1-1】如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，，的中点，过，，三点的平而截正方体所得的截面面积为（

）A．4 B． C． D．【变式1-2】在棱长为2的正方体中，为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为（

）A． B． C． D．【变式1-3】如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（

）A．2 B．4 C．4 D．题型06锥体中截面周长与面积【典例1-1】在正四面体中，，若以三角形为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（

）A． B． C． D．【典例1-2】如图，已知三棱锥，点P是的中点，且，过点P作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为_________.【变式1-1】已知正四面体的内切球的表面积为36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为A．27 B．27 C．54 D．54【变式1-2】在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为_________.【变式1-3】已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（

）A． B． C． D．题型07台体中截面周长与面积【典例1-1】一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______.【典例1-2】如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为的中点．若∥平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【变式1-1】正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为___________．【变式1-2】.如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么A．2＝＋ B．S0＝C．2S0＝S＋S′ D．S0＝2S′S【变式1-3】（2023下·湖北武汉·高三华中师大一附中校考）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（

）．A． B． C． D．题型08球截面【解题攻略】用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。且满足勾股数组【典例1-1】已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（

）．A．1 B． C． D．或【典例1-2】已知正四面体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则正四面体的外接球被平面所截的截面面积是（

）A． B． C． D．【变式1-1】已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是的中点，半径为2，平面截此球所得的截面面积是（

）．A． B． C． D．【变式1-2】球O与棱长为2的正方体的各个面都相切，点M为棱的中点，则平面AMC截球O所得截面的面积为（

）A． B． C． D．【变式1-3】如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（

）A． B． C． D．题型09截面最值：球截面最值【典例1-1】如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为O的球面上，点E在AB上，，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】若球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（

）A． B． C． D．【变式1-2】一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（

）A． B． C． D．【变式1-3】棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，分别为的中点，则平面截球所得圆的面积为（

）A． B． C． D．题型10截面最值：柱体最值【典例1-1】已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知正方体的体积为，点在线段上(点异于两点)，点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-1】已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于，两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-3】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为．①当时，为四边形；②当时，与的交点满足；③当时，为六边形；④当时，的面积为．则下列选项正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④题型11截面最值：锥体最值【典例1-1】正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例1-2】如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【变式1-1】如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】如图，在四面体中，，，，、分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（

）A． B． C． D．【变式1-3】在长方体中，，过点作平面与分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面积的最小值是（

）A． B． C． D．题型12截面最值：综合型最值【典例1-1】已知正四面体的棱长为4，点在棱上，且，过作四面体外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】正三棱锥，为中点，，，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为（

）A． B．C． D．【变式1-1】正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是____________.（写出所有正确命题的编号）①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，的面积为；③当，时，设与棱的交点为，则；④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值.【变式1-2】在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（

）A．若，则B．若，则C．可能值为D．当取值最大时，题型13恒平行型求截面【典例1-1】在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是__________．【典例1-2】一棱长为4的正四面体木块如图所示，P是棱的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱和，则截面的面积为（）A．2 B． C． D．4【变式1-1】某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱，，，分别交于点M，F，E，N，要求两次切割所得到的截面平行，且，则两个截面间的距离为_____________.【变式1-2】如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点O1为A1C1，B1D1的交点，点O2为AC，BD的交点，连接O1O2，点O为O1O2的中点．过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（）A．10 B．12 C．13 D．14【变式1-3】.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则下列结论正确的是（）A．直线DB1与平面AEF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．三棱锥A1−AEF的体积等于题型14恒垂直型求截面【解题攻略】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．【典例1-1】已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，则截面图形的周长为______.【典例1-2】已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（

）A． B． C． D．【变式1-1】如图，正三棱柱的高为4，底面边长为，D是的中点，P是线段上的动点，过BC作截面于E，则三棱锥体积的最小值为（

）A．3 B． C． D．12【变式1-2】在下面四个正方体中，点、、均为所在棱的中点，过、、作正方体截面，则下列图形中，平面不与直线垂直的是（

）A． B．C． D．【变式1-3】已知正方体的边长为，为边上靠近的三等分点，过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为（

）A． B． C． D．题型15动点型截面【典例1-1】（2023上·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考）如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列四个结论：①三棱锥的体积为定值；②存在点使得平面：③的最小值为；④对每一个点E，在棱上总存在一点P，使得平面；⑤M是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为其中正确结论的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例1-2】（2023下·北京密云·高三统考）如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论，其中正确的是（

）

A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使得平面C．是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为D．对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面【变式1-1】（2023·河南·校联考三模）如图，在棱长为1的正方体中，是截面上的一个动点（不包含边界），若，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【变式1-2】（2023·河南·校联考三模）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，M是截面上的一个动点（不包含边界），，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2023·江西·统考模拟预测）如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，点在棱上，且，截面内的动点满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．2高考练场1.．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（

）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形2.棱长为6的正方体中，点E是线段的中点，点F在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为（

）A． B． C． D．.3.在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，则过点B，P，Q的截面形状是______.4.已知正方体的棱长为1，点分别为的中点，则过点的截面的周长为（

）