专题6-3立体几何大题综合归类（原卷版）

专题6-3立体几何大题综合归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01平行：无交线型 1题型02平行：线面平行探索性 2题型03平行：面面平行探索性 4题型04垂直：线面垂直探索性 5题型05垂直：面面垂直翻折探索性 6题型06证明与建系：斜棱柱垂面法建系 7题型07证明与建系：斜棱柱垂线法建系 8题型08证明与建系：三棱柱投影法建系 9题型09证明与建系：角平分线法建系 10题型10二面角延长线法 11题型11翻折型 12题型12台体型 13高考练场 14题型01平行：无交线型【解题攻略】两个平面相交：1.两点确定一条直线，只需确定两平面的两个公共点即可2.由于两平面有一个公共点A，再找一个公共点即可确定交线3.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，在平面内，过两平面的公共点作直线与已知直线平行，则此直线即为两平面的交线【典例1-1】如图，在平行四边形中，，，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且，，分别为，的中点.(1)证明：平面.(2)若平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.【变式1-1】如图所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,侧棱⊥底面且．(1)指出棱与平面的交点的位置（无需证明）；(2)求点到平面的距离．【变式1-2】如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，是的中点，四边形为正方形．设平面平面，证明：；.题型02平行：线面平行探索性【解题攻略】平行的常用构造方法①三角形中位线法； ②平行四边形线法； ③比例线段法.注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角； ②平行关系的判定.【典例1-1】如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为中点.(1)求证平面(2)在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置.【变式1-1】如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使．(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离.【变式1-2】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G为AE中点.(1)求证：DG⊥平面ABCE；(2)求四棱锥D-ABCE的体积；(3)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.题型03平行：面面平行探索性【解题攻略】证明平行

(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.【典例1-1】在三棱柱中，(1)若分别是的中点，求证：平面平面.(2)若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．【变式1-1】.在长方体中，，P为的中点．已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；【变式1-2】已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．（1）求证：平面；（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．题型04垂直：线面垂直探索性【解题攻略】垂直的常见构造：①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法； ③投影法.④菱形的对角线互相垂直【典例1-1】已知正方体的棱长为，、、分别是、、的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．【变式1-1】如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【变式1-2】如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在点D，使得面?若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由.题型05垂直：面面垂直翻折探索性【解题攻略】翻折翻折前后，在同一平平面内的点线关系不变翻折过程中是否存在垂直或者平行等特殊位置关系翻折过程中，角度是否为定值翻折过程中，体积是否存在变化【典例1-1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.(1)证明：MN平面PDC；(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由.【变式1-1】如图，在三棱台ABC­DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【变式1-2】如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．(1)求证：平面平面BCD；(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.题型06证明与建系：斜棱柱垂面法建系【解题攻略】斜棱柱垂线型建系如果存在垂线（投影型）斜棱柱，则可以直接借助垂线作为z轴建系，下底面，可以寻找或者做出一对垂线作为xy轴。这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标。空中点坐标可以有以下思维：让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标【典例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．

(1)求证：B，D，E，四点共面；(2)求二面角的余弦值．【变式1-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.

(1)证明：OD∥平面；(2)若，，，求平面与平面所成角的大小.【变式1-2】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形．，点D为棱AC上动点(不与A，C重合)，平面B1BD与棱A1C1交于点E．(1)求证：；(2)若，平面ABC⊥平面，，求直线BC与平面B1BDE所成角的正弦值．题型07证明与建系：斜棱柱垂线法建系【典例1-1】（2023·广东韶关·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，为的中点，，，，点在底面上的射影为点.

(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面所成角的正弦值.【变式1-1】（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四边形ABCD是菱形，，，(1)求证：平面ABCD；(2)求二面角的正弦值.【变式1-2】（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，侧面为菱形，为等边三角形．(1)求证：；(2)若，点E是侧棱上的动点，且平面与平面的夹角的余弦值为，求点B到平面的距离．题型08证明与建系：三棱锥投影法建系【典例1-1】（2023春·江苏南通·高三统考期末）如图，在三棱锥中，，D是AC的中点，E是AB上一点，平面PDE.(1)证明：平面PBC；(2)若，，求二面角的正弦值．【变式1-1】（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，是点在平面ABC上的投影，，，是BD的中点.(1)证明：平面DAC；(2)若O点正好落在的内角平分线上，，，，求二面角的正弦值.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F.(1)证明：平面平面；(2)当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.题型09证明与建系：角平分线法建系【解题攻略】等角射影平分线型建系如果一条线和一个角的两边所成角度相等，则该线在角度所在平面射影是角平分线。此时，这个模型也满足“三面角余弦定理”：大题解答时，需要简单的证明才能使用【典例1-1】（2024年九省联考）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.

(1)求证：；(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【变式1-2】(2024郑州一质检）如图，在多面体中，底面为平行四边形，平面BC，为等边三角形，．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．题型10二面角延长线法【典例1-1】.（2023春·安徽芜湖·高三统考）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，且直线与平面所成角为为中点.

(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【变式1-1】（2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，设点为上的动点.

(1)求面积的最小值；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.【变式1-2】（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，二面角为钝角，三棱锥的体积为.

(1)求二面角的大小；(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值..题型11翻折型【解题攻略】翻折型建系翻折型几何体，寻找翻折前和翻折后的“变与不变”的点线面关系。翻折前翻折后在同一平面内的点线，数量关系不变。翻折后，一般情况下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系计算翻折后，可以构造三棱锥，利用三棱锥斜面建系法来建系计算【典例1-1】（2023·福建三明·统考三模）如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.

(1)当时，证明并求四棱锥的体积；(2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值.【变式1-1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中，，，．

(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．【变式1-2】（2023·福建厦门·统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．

(1)求到平面的距离；(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．题型12台体型【解题攻略】台体建系型正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴。非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思维。【典例1-1】．（2019上·浙江·高三校联考）在三棱台中，是等边三角形，二面角的平面角为，.（I）求证：；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【变式1-1】（2024上·山东德州·高三统考）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，点分别为的中点．(1)证明：直线面；(2)求二面角的余弦值．【变式1-2】（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．

(1)求；(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．高考练场1.如图，四棱锥的底面是平行四边形，设平面与平面的交线为直线．证明：平面.2.如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．3..如图，四棱锥中，，，为的中点．(1)求证：平面.(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．4..如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．河南省开封市五县2021-2022学年高三下学期考试数学试题5.图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.(1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；(2)求图2中的直线与平面所成角的正弦值.6.（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中