专题5-3数列求和及综合大题归类（原卷版）

专题5-3数列求和及综合大题归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01等差等比公式法求和 1题型02等差、等比、裂项、三角型分组求和 2题型03中心对称型倒序求和 3题型04难度较大的错位相消求和 4题型05奇偶讨论、正负相间型求和 5题型06插入数型求和 6题型07分段型数列求和 8题型08裂项相消型求和 8题型09裂项归类：降幂分离型 10题型10裂项归类：分子是分母差的线性型 10题型11裂项归类：指数等差型裂项 11题型12裂项归类：指数与等差“同构”型 12题型13正负型裂项：正负基础型 13题型14正负型裂项：等差裂和型 14题型15正负型裂项：指数裂和型 14题型16裂项归类：三角函数型 15题型17通项分段求和 16高考练场 17题型01等差等比公式法求和【解题攻略】对于等差等比数列，利用公式法可直接求解等差数列有关公式：通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).等比数列有关公式：通项公式：an＝a1qn－1； (2)前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))【典例1-1】（2024上·四川自贡·高三统考）设是等差数列，若．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和及其最值．【典例1-2】（2024上·湖北·高三湖北省武汉市汉铁高级中学校联考）已知是等差数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值.【变式1-1】（2024上·河南·高三校联考）已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【变式1-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校考）在等差数列中，已知：，.(1)求数列的公差及通项公式；(2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.题型02等差、等比、裂项、三角型分组求和【解题攻略】分组求和1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减【典例1-1】（23·24上·徐汇·）若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列；(1)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值；(2)若（），且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和；【典例1-2】（22·23上·广安·）已知数列满足.等比数列的公比为3，且.(1)求数列和的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【变式1-1】（23·24上·成都·阶段练习）设为数列的前项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)令，，求数列的前项和．【变式1-2】（23·24上·盐城·）设数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，且，设，求数列的前项和．题型03中心对称型倒序求和【解题攻略】倒序求和如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。比较常见于等差数列，以及具有中心对成的函数型数列求和【典例1-1】（22·23·全国·专题练习）设函数，设，．(1)计算的值．(2)求数列的通项公式．【典例1-2】（21·22·全国·专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．(1)求证：点的纵坐标为定值；(2)若且求；【变式1-1】（20·21·全国·课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.【变式1-2】（20·21·全国·课时练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若函数，令，求数列的前2020项和．题型04难度较大的错位相消求和【解题攻略】错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解．错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）思维结构结构图示如下（4）注意事项①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．（5）万能公式：形如的数列求和为，其中，，（6）公式秒杀:(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)【典例1-1】（23·24上·厦门·）已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.(1)求数列和的通项公式；(2)记，其中，求数列的前项和.【典例1-2】．（23·24上·无锡·）各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．【变式1-1】（23·24上·温州·）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式.(2)设数列的前项和为，点在直线上，，求以及的最小值.【变式1-2】（23·24上·丹东·）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且(1)求和的通项公式；(2)记，其中，求数列的前项的和．题型05奇偶讨论、正负相间型求和【解题攻略】正负相间求和：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。【典例1-1】（2024上·江苏苏州·高三统考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.(1)若，且，求；(2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和.【典例1-2】（2024上·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考）已知数列满足，且对任意正整数n都有．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和．【变式1-1】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【变式1-2】（2024上·江苏·高三）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对一切都成立.若是公差为2的等差数列，.(1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前项和.题型06插入数型求和【解题攻略】插入数型1.插入数构成等差数列在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解个数构成等差数列，公差记为，所以：插入数构成等比数列在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解个数构成等比数列，公差记为，所以：插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。【典例1-1】（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，.(1)求，的通项公式；(2)若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.【典例1-2】（2018下·江苏南京·高三南京外国语学校校考）设等比数列的前项和为；数列满足（，）．（1）求数列的通项公式；（2）①试确定的值，使得数列为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，符到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．【变式1-1】（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习）若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；(2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.【变式1-2】（2022上·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1且满足，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1=3bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设，求数列的前n项和Sn；(3)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求数列{cn}中前50项的和T50..题型07分段型数列求和【解题攻略】分段数列求和：1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。2.要注意处理好奇偶数列对应的项：（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和【典例1-1】已知数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和．【典例1-2】已知数列，的前n项和分别为，，，．(1)求及数列，的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和．【变式1-1】已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.【变式1-2】已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.(1)求数列，的通项公式；(2)定义，记，求数列的前20项和.题型08裂项相消型求和【解题攻略】常见的裂项相消法求和类型(1)；（2）；（3）；（4）；分式型：，，等；【典例1-1】（23·24上·福州·）已知是数列的前n项和，．(1)求数列的通项公式(2)设为数列前n项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值．【典例1-2】（23·24上·威海·阶段练习）设数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．【变式1-1】（23·24上·闵行·）等差数列的前项和为，已知，且.(1)求和；(2)设，若恒成立，求实数的取值范围.【变式1-2】（23·24上·佛山·阶段练习）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列．(1)证明：数列是公差为2的等差数列；(2)设数列的前项的和为，若，证明．题型09裂项归类：降幂分离型【解题攻略】分离常数型分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。【典例1-1】．（22·23下·十堰·阶段练习）设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)令，求证：.【典例1-2】（22·23下·河池·阶段练习）已知数列的前n项和为，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【变式1-1】（23·24上·深圳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且．(1)求的通项公式；(2)设的前n项和为，求．(3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值．【变式1-2】（23·24上·南昌·阶段练习）已知函数.(1)若，使得成立，求实数的取值范围；(2)证明：对任意的为自然对数的底数.题型10裂项归类：分子是分母差的线性型【解题攻略】分式型分子裂差法如果数列通项满足“分子是分母差的线性关系”即【典例1-1】（22·23·秦皇岛·模拟预测）设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，.(1)求数列的通项公式以及前项和；(2)数列的前项和为，求证：.【典例1-2】（23·24上·湖北·一模）已知正项数列的前项和，满足：．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证．【变式1-1】（22·23·海口·模拟预测）已知等差数列，其前项和满足为常数.(1)求及的通项公式；(2)记数列，求前项和的.【变式1-2】（2023·四川内江·统考一模）已知等差数列的前项和为，，.(1)求及；(2)若，求数列的前项和.题型11裂项归类：指数等差型裂项【解题攻略】指数裂项法【典例1-1】（2024·福建厦门·统考一模）已知数列的前项和为，，当，且时，．(1)证明：为等比数列；(2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值．【典例1-2】（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列为等比数列；(2)记，求数列的前项和，证明：.【变式1-1】（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）记为正项数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：.【变式1-2】（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知数列的首项，且满足，记.(1)证明：是等比数列；(2)记，证明；数列的前项和.题型12裂项归类：指数与等差“同构”型【解题攻略】指数与等差数列“同构”【典例1-1】（22·23·河南·三模）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项；(2)设，求数列的前n项和．【典例1-2】（23·24上·合肥·阶段练习）在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【变式1-1】（22·23下·抚顺·模拟预测）已知数列的前n项和为，且.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【变式1-2】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）已知数列为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．题型13正负型裂项：正负基础型【解题攻略】正负相间求和：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。【典例1-1】（22·23下·德州·）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【典例1-2】（22·23下·武汉·）设数列前n项和为，，，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列前n项和为，问是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.【变式1-1】（22·23高三下·湖北·）已知数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足：，求数列的前2n项和.【变式1-2】设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；（2）求出及数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和为.题型14正负型裂项：等差裂和型【解题攻略】正负型等差裂和型【典例1-1】（22·23下·荆州·阶段练习）已知等差数列满足，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)设，的前项和分别为，.若的公差为整数，且，求.【典例1-2】（22·23·三明·三模）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，证明：.【变式1-1】（22·23下·武汉·）设数列前n项和为，，，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列前n项和为，问是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项积为．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．.题型15正负型裂项：指数裂和型【解题攻略】正负型：等指数裂和型【典例1-1】（21·22高三下·重庆沙坪坝·）设数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和为.【典例1-2】（22·23高三下·黑龙江哈尔滨·）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.【变式1-1】（22·23下·武清·阶段练习）设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.(1)求和的通项公式；(2)设数列的前项和为.（i）求；（ii）求.【变式1-2】（23·24上·黔东南·阶段练习）已知数列满足：，.(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；(2)令，求的前n项和.题型16裂项归类：三角函数型【典例1-1】（2023·山东威海·二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前100项和．【典例1-2】（22·23上·芜湖·）已知是数列的前项和，．且(1)求的通项公式；(2)设，已知数列满足，求的前项的和【变式1-1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和．【变式1-2】（2023上·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知数列中，，设为前n项和，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和题型17通项分段求和【典例1-1】在公差为2的等差数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前20项和．【典例1-2】在公差不为0的等差数列中，前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，，求数列的前12项和．【变式1-1】（2024上·浙江杭州·高三杭州高级中学校考）已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，的前项和为，求.【变式1-2】（2024上·贵州毕节·高三统考）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设求数列的前项和.高考练场1.（2024上·广东深圳·高三统考）已知数列为等差数列，且.(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，若，求的最小值.2.（23·24上·六安·阶段练习）已知首项为1的正项等比数列，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和为．3.（20·21上·开封·阶段练习）已知函数，设数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.4.（23·24上·邢台·）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：.5.（2024上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考）已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()，(1)求数列的通项公式；(2)设，，求数列的前n