专题7-2求曲线方程和动点轨迹归类（原卷版）

专题7-2求曲线方程与动点轨迹归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01定义法求轨迹：动直线圆型 1题型02定义法求轨迹：椭圆型 2题型03定义法求轨迹：双曲线型 3题型04定义法求轨迹：抛物线型 3题型05直接法：所见即所得型 4题型06点带入法：相关点型 5题型07交轨法 6题型08消参型 7题型09空间轨迹：截面型 8题型10空间轨迹：双球模式 10题型11空间轨迹：定角模式 11高考练场 12题型01定义法求轨迹：动直线圆型【解题攻略】如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行【典例1-1】（2024上·福建泉州高三校考阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（

）A．5 B．10 C． D．【典例1-2】（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（

）A． B．5 C． D．【变式1-3】（2022·四川南充高三（理））过定点M的直线与过定点N的直线交于点P，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．8题型02定义法求轨迹：椭圆型【解题攻略】平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（

）

A．面积为的圆 B．面积为的圆 C．离心率为的椭圆 D．离心率为的椭圆【典例1-2】．（2023·江苏高三专题练习）若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023秋高三课时练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线【变式1-2】（2023·江苏高三专题练习）已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2020秋·山东淄博高三校考）已知图O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是（

）A．圈 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．双曲线的两支CB.题型03定义法求轨迹：双曲线型【解题攻略】平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．【典例1-1】已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.四川省内江市2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题【典例1-2】（2023上·四川凉山高三校联考）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2023上·北京高三北京市陈经纶中学校考阶段练习）化简方程的结果是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（

）A．B．C．或D．【变式1-3】（2023上·江苏连云港高三统考）方程可化简为（

）A． B．C． D．题型04定义法求轨迹：抛物线型【解题攻略】平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．【典例1-1】若动点满足，则点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【典例1-2】已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【变式1-1】.已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．【变式1-2】若动点满足，则点的轨迹应为（

）A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆【变式1-3】.若点满足，则动点M的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线题型05直接法：所见即所得型【解题攻略】如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．（1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．（2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．（3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．求解过程：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设轨迹上的任一点Px,y（3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨迹所满足的条件用含x,y的代数式表示，（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．【典例1-1】（2024上·安徽合肥高三合肥一中校考阶段练习）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C．或 D．或【典例1-2】（2024·浙江温州·统考一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2022上高三课时练习）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（

）A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线【变式1-2】（2021上·广东深圳高三统考）已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式1-3】（2022上·上海浦东新高三华师大二附中校考阶段练习）在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线.题型06点带入法：相关点型【解题攻略】如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出Px,y,用x,y表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P第一步：设所求轨迹的点，曲线上的动点；第二步：找出与的关系，由表示，即；第三步：满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．【典例1-1】（2022上·北京高三北京二中校考阶段练习）设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2024下·江西·高三校联考开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2021上·河南安阳高三安阳市第三十九中学校考）已知，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【变式1-2】（2024·全国高三专题练习）当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式1-3】（2023上·湖南湘潭高三湘潭大学附属实验学校校考）已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．题型07交轨法【解题攻略】求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.该法经常与参数法并用.1.求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法2.运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程，关键是参数的选取，困难是参数的消去．怎么把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程？如何选取参数？怎样消去参数？【典例1-1】（2019上·江西鹰潭高三统考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，分别过作抛物线的切线，则的交点的轨迹方程是A． B． C． D．【典例1-2】（2020上·辽宁沈阳·高三校联考）已知椭圆，点A，B分别是它的左，右顶点.一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，又当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，则直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2021上·北京高三校考）已知定点是动点且直线的斜率之积为，动点的轨迹不可能是（

）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【变式1-2】（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式1-3】．（2023上·全国高三专题练习）已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（

）A． B．（）C． D．（）题型08消参型【解题攻略】有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等）的制约，即动点坐标x,y中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参化为轨迹的普通方程Fx,y（1）选择坐标系，设动点坐标；（2）分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；（3）建立参数方程；（4）消去参数得到普通方程；（5）讨论并判断轨迹．【典例1-1】（2022上·河南信阳高三信阳高中校考）已知椭圆，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且ABCD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线【典例1-2】（2020下·四川成都高三树德中学校考）已函数的两个极值点是和，则点的轨迹是（

）A．椭圆弧 B．圆弧 C．双曲线弧 D．抛物线弧【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习）过点的动直线交圆于，两点，分别过，作圆的切线，如果两切线交于点，那么点的轨迹是（

）A．直线 B．直线的一部分C．圆的一部分 D．双曲线的一支【变式1-2】（2023上·全国高三）在矩形中，，，点，分别为直线，上的动点，交于点.若（），则点的轨迹是（

）A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线【变式1-3】（2022·浙江·高三专题练习）已知是双曲线的左右焦点，为圆上一动点（纵坐标不为零），直线分别交两条渐近线于两点，则线段中点的轨迹为（）A．平行直线 B．圆的一部分C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分题型09空间轨迹：截面型【典例1-1】（2023春·江西抚州高三金溪一中校联考）如图所示圆锥，为母线的中点，点为底面圆心，为底面圆的直径，且，，的长度成等比数列，一个平面过，，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为．【典例1-2】（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）如图所示，（直径为的球放地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为．【变式1-1】（2023·上海高三专题练习）已知圆柱底面半径为2，一个与底面成45°角的平面截这个圆柱，则截面上的椭圆离心率为．【变式1-2】如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．【变式1-3】1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A． B． C． D．题型10空间轨迹：双球模式【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为．【典例1-2】（2023·湖北·校联考模拟预测）在圆锥内放入两个大小不等的外离的球与球，半径分别为和，且，使得它们与圆锥侧面和截面相切，两个球分别与截面相切于点，，在截口上任取一点，又过点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点，则可知线段的长度之和为常数.若圆锥轴截面为等边三角形，则截口曲线的离心率是.【变式1-1】（2023秋·四川乐山高三统考）比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为，底面半径为的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为.【变式1-2】（2023秋·四川乐山高三统考）比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面､底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点）.如图，圆锥的锥角为，斜截面与圆锥轴所成角为，则椭圆的离心率为.题型11空间轨迹：定角模式【典例1-1】（2022春·福建龙岩高三福建省长汀县第一中学校考阶段练习）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足．平面上的动点满足，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【典例1-2】（2021春·浙江湖州高三浙江省德清县第三中学校考开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，点M是底面正方形的中心，点P是底面所在平面内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹为（

）A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆【变式1-1】（2019秋·浙江高三校联考）斜线段PA与平面M成α角，斜足为A，动直线PB与直线PA成β（β＜α）角，交平面M于点B，动点B的轨迹图形为（

）A．一条直线 B．一个圆 C．一个半圆 D．一个椭圆【变式1-2】（2017秋·江西吉安高三阶段练习）如图，斜线段与平面所成的角为60°，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（

）A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支高考练场1.（2021·湖南·益阳平高学校高二）设，过定点的动直线和过定点