福建省福州十九中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

福州第十九中学2024-2025学年第一学期9月份校本练习九年级数学试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.下列实数中，是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查无理数，会判断无理数．解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数，如：；②无限不循环小数，如：（相邻两个2中间依次多1个0）；③含有的数，如：．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、是无理数，故此选项符合题意；B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．故选：A．2.2024年1月4日，西安地铁客流量再创历史新高，突破4060000人次，其中数据4060000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：数据4060000用科学记数法表示为．故选：C3.下列运算结果为的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了幂的运算法则和合并同类项，根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法分别计算即可得到答案．【详解】解：A．不能进行合并同类项，故选项不符合题意；B．，故选项不符合题意；C．，故选项符合题意；D．，故选项不符合题意．故选：C．4.如图所示，，点，，在同一直线上．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图示可得，与互余，结合已知可求，又因为与互补，即可求出的度数．【详解】，，，点，，在同一直线上，，．故选：A．【点睛】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为．5.一次函数，y随x的增大而增大，则一次函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据该函数的增减性可得，从而可判断出该函数图象经过的象限，进而即可解答．【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大，∴，∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D6.如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A.90° B.180° C.270° D.360°【答案】B【解析】【详解】如图，∠A+∠C=∠1，∠B+∠D=∠2，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°故选：B.

7.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．8.在中，点M在边上，且，阅读以下作图步骤：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；②以点M为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点；④连接并延长，交于点N，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了尺规作图--作一个角等于已知角、平行线的判定和相似三角形判定与性质，掌握知识点是解题关键．由作图可知：，推出，利用平行线的性质证出即可解决问题．【详解】解：由作图可知：，∴，∴，，，，故选：A．9.如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．【详解】解：由题意得，大正方形的边长，小正方形的边长，∴阴影部分的面积，故选：C．10.为了解全班学生的身高情况，王老师测量了班上在场学生的身高，经计算后发现男生的平均身高是，女生的平均身高是，当天有两名学生缺课．第二天这两名学生均到校上课，老师也测量了他们的身高．有趣的是，重新计算后全班男、女生的平均身高都不变．下列说法正确的是（）A.全班学生的平均身高不变B.缺课两名学生身高相同C.若缺课的两名学生都是男生，则身高都是D.若缺课的学生是男、女生各一名，则男生身高，女生身高【答案】D【解析】【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义逐项分析即可得出答案，熟练掌握平均数的定义是解此题的关键．【详解】解：∵全班男、女生的平均身高都不变，∴若缺课的学生是男、女生各一名，则男生身高，女生身高，故D正确，符合题意；若缺课的学生两名都是男生或都是女生，则全班学生的平均身高都会发生变化，故A不符合题意；若缺课的两名学生都是男生，则他们的平均身高是即可，但这两个男生的身高不一定都是，故C不符合题意；若缺课的两名学生都是男生，则他们的平均身高是即可，若缺课的两名学生都是女生，则他们的平均身高都是，但缺课的两名学生的身高不一定相同，故B不符合题意；故选：D．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）11.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式即可．【详解】解：，故答案为：．12.为了解一批灯泡的使用寿命，适合的调查方式是__________﹒(填“全面调查”或“抽样调查”)【答案】抽样调查【解析】【分析】本题考查了抽样调查和全面调查；由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：为了解一批灯泡的使用寿命，适合的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查．13.不等式2x﹣1＞x的解是_____．【答案】【解析】【详解】先去分母，再移项、合并同类项、化系数为1即可：去分母得，4x﹣2＞x，移项得，4x﹣x＞2，合并同类项得，3x＞2，系数化为1得，14.在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则代数式的值为________．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，解一元一次方程．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到关于m，n的方程，求解后代入式子即可解答．【详解】解：∵点与点关于y轴对称，∴，，∴，，∴．故答案为：415.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________秒才能停下来．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式即可求解．【详解】解：无人机着陆后滑行的距离指的是最大距离，∴，∴当时，无人机着陆后滑行的最大距离为米停下，故答案为：

．16.对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是________时，的最小值保持不变．【答案】【解析】【分析】本题考查坐标与图形变换——平移，解题的关键是理解题中定义，灵活运用平移性质，利用图象解决问题．作出图形，根据平行线间的距离处处相等得到点在上时满足条件，即可解答．【详解】解：如图，，当点在上时，根据平行线间的距离处处相等可得的最小值保持不变，∵，，∴．故答案为：三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了绝对值的非负性，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算性质是解题的关键．依次去绝对值，零指数幂运算，负整数指数幂运算，然后进行实数的加减运算，即可求出结果．【详解】解：原式18.如图，点E，F在线段上（点E在点F左侧），，，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查全等三角性的判定及性质，可通过全等三角形的判定定理证，再利用全等三角形的性质来得出的结论．【详解】证明：∵，∴，∴．在和中，∴，∴19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．详解】解：，当时，原式．20.“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为100分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：八年级代表队：80，90，90，100，80，90，100，90，100，80；九年级代表队：90，80，90，90，100，70，100，90，90，100．（1）填表：代表队平均数中位数方差八年级代表队90________60九年级代表队________9080（2）综合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由．【答案】（1）90，90（2）八年级代表队的学生竞赛成绩更好．因为两队平均数与中位数都相同，而八年级代表队的方差小，成绩更稳定【解析】【分析】本题考查了求中位数，平均数，样本估计总体，根据方差作决策，掌握以上知识是解题的关键．（1）根据中位数的定义，平均数的公式进行计算即可；（2）根据平均数相等时，方差的意义进行分析即可．【小问1详解】解：∵八年级代表队：80，80，80，90，90，90，90，100，100，100，∴八年级代表队中位数为，九年级代表队的平均数为90；故答案为：90，90【小问2详解】解：八年级代表队的学生竞赛成绩更好．因为两队平均数与中位数都相同，而八年级代表队的方差小，成绩更稳定．21.如图，矩形的对角线相交于点O，，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由得到四边形是平行四边形，由矩形的性质得到，，从而得证结论；（2）易证是等边三角形，得到，，从而求得，进而根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求得．过点E作交延长线于点，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式即可解答．【小问1详解】证明：∵，∴四边形是平行四边形，∵四边形矩形，∴，，，∴∴四边形是菱形；【小问2详解】解：∵，，∴是等边三角形，∴，，∵在矩形，，∴，∴，∴在中，，过点E作交延长线于点，∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，等边三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，综合运用相关知识是解题的关键，22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把点A、C的坐标代入解析式，求解即可；（2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则，求得的长，再根据二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线过点，，∴，解得，∴该抛物线的解析式为．【小问2详解】解：如图，过作于点，过点作轴交于点，∵，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴∴，∴当最大时，最大，设直线解析式为，将代入得，∴，∴直线解析式为，设，则，∴，∵，∴当时，最大为，∴此时最大为，即点到直线的距离最大值为．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．23.已知关于x的方程有两个实数根，，其中，m为整数．（1）若，求的值；（2）边长为整数的直角三角形，其中两边的长度恰好为和，求该直角三角形的两直角边长．【答案】（1）28（2）两直角边长为8和6【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的应用，勾股定理．掌握分类讨论思想是解题的关键．（1）当时，方程为，从而得到，，根据完全平方公式变形后代入即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，从而，，．分两种情况：①长为，的边为两条直角边，②长为的边为斜边，长为的边为直角边时，根据该直角三角形边长为整数，进行讨论即可求解．【小问1详解】解：当时，方程为，∴，，∴．【小问2详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，，∴，，∴，，∵，∴∵直角三角形两边的长度恰好为和，且，∴分两种情况：①若长为，的边为两条直角边时，为平方数，设（k为正整数）∴，∵，k均为正整数，且，∴当时，解得（不合题意，舍去）当时，解得，此时该方程为，∵，∴方程没有实数根，故不合题意，舍去．②若长为的边为斜边，长为的边为直角边时，，∵该直角三角形边长为整数，∴为整数，设（k为正整数）∴，∵，k均为正整数，且，∴当时，解得（不合题意，舍去）当时，解得，此时该方程为，解得，，则另一直角边为，不是整数，不合题意，舍去；当时，解得：（不合题意，舍去）当时，解得，此时该方程为，解得，，则另一直角边为，符合题意；当时，解得，此时该方程为，∵，∴方程没有实数根，故不合题意，舍去．综上所述，该直角三角形的两直角边长为8和6．24.问题情境：小明在学习中发现：棱长为的正方体的表面展开图面积为，但是反过来，在面积为的长方形纸片（如图1，图中小正方形的边长为）上是画不出这个正方体表面展开图的．于是，爱思考的小明就想：要画出这个正方体的表面展开图，最少需要选用多大面积的长方形纸片呢？问题解决：小明仔细研究正方体的表面展开图的11种不同情形后发现，至少要用“”和“”两种不同的长方形纸片才能剪得一个正方体的表面展开图．（1）请你在下面两个网格中分别画出一种；（2）拓展延伸：若要在如图3所示的“”和“”的两种规格的长方形纸片上分别剪出两个正方体的表面展开图，请在图中画出裁剪方法．（3）操作应用：现有边长的正方形纸片（图4所示）能否用它剪得两个面积最大的正方体表面展开图？若能，请你画出你的设计方案；若不能，请说明理由．【答案】（1）作图见详解（2）作图见详解（3）能剪出两个面积最大的正方体表面展开图，作图见详解【解析】【分析】本题主要考查正方体的展开图，（1）根据正