2024届新疆区乌鲁木齐高级中学高三上学期12月月考数学试题及答案

乌鲁木齐市高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（8小题每题5分共40分）1．已知集合A{∣ylg(x2)}，B∣x2x120，则AB（）A．4B．4C．2,3D．4,32i2．已知复数zA．2，则z的虚部为（）iB．2iC．2D．-2i，则AF3．等边ABC的边长为3，若，（）AD2DCBFFD217215132A．B．C．D．24．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是yxyx1D．A．yx3B．C．yex25．若椭圆经过原点，且焦点分别为F0,F3,0,则其离心率为13423114A．B．C．D．2236．已知cos75，则cos30的值为（）31313223A．B．C．D．37“数列a}和数列b}极限都存在”“数列an}和数列ab}极限都存在”nnnnn的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在ABC中，a,b,c分别为内角,B,C的对边，那么22221acbBABCABCSac的面积22，若b23，且tanC，则421B面积S的最大值为（）A．32B．33C．6D．36二、多选题（共4小题每题五分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.其结果如图所示，则下列结论正确的是（）A．甲同学体温的极差为0.4℃B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数不相等C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定D．甲同学体温的第80百分位数为36.5℃10．若3x2，5y3，则下列选项正确的有（211xyxyA．xB．C．xy2xyD．x”3xy11．下列说法中正确的是（）A．全称量词命题“xN，x2x”的否定是“xN，x2Bfx在其定义域内的最大值为20fx的值域是0,2C．定义在R上的函数yf(x)的图象与y轴有且只有一个交点0D．若fx是奇函数，则f012．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则下列说法正确的是（）2A．六面体的体积为686B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为729C．折后棱AB，CD所在直线异面且垂直D．折后棱AB，CD所在直线相交三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．用数字123456789组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个.（用数字作答）14．已知一圆台的高为3，下底面面积是上底面面积的4倍，若圆台的体积为7π，则该圆台的母线长为．4x3x|4x3|x15．已知f(x)m两个不同的零点，则m的取值范围22是．x22y216．已知双曲线C:ab0的左、右焦点分别为F、F，点在P12ab2x22y221H在直线xa2HP3HF420.若存1双曲线C:abPFPF在实数使得OHOP12，则双曲线C的离心率为sin2FsinPFF112四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）xx3223x17．已知函数f(x)cossin3cos2．3（1）若x,，求f(x)的递增区间和值域；223453（2）若f(0),0，求点sinx．02418．如图，在四面体OABCMNPQ分别为BCACOAOB的中点，若ABOC，求证：PMQN．19．已知函数fxax3bx2d的两个极值点为1，2，且在x0处的切线方程为2xy10．(1)求函数fx的表达式；156,3时，fx(2)当x恒成立，求实数k的取值范围．320．已知数列an}中，12，___________，其中nN(1)求数列an}的通项公式：.*(2)设n2an，求数列anb}的前项和.nTnn从①前n项和Snn2n，②a12an，③a82an1ana且4n2，这三个条n件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.21．肥胖已经成为威胁人类身体健康的第二大危险因素，体重指数是判断是体重否肥胖的标准之一（体重指数=，其中，体重单位：公斤，身高单位：2身高24属于肥胖.17岁的青少年中随机抽取了50302020位女生的原始数据如表所示：已知，50人中共有11人属于肥胖.编号1011121314151167181920123456789身高1160172160173165164170161170164168158165155117607163165167/59体重555566161524850535051605457655556545885/2公斤体2重0指.21.18.23.20.19.17.17.20.17.19.21.21.21.27.2109.120.21.30.数659431834303691335(1)补充列联表，并根据小概率值0.0522性别有关系？是否肥胖合计性别肥胖不肥胖男生女生合计302050n(adbc)22，其中nabc.附：d(ab)(cd)(acbd)0.0500.0100.00123.8416.63510.828(2)从11位肥胖的同学中随机抽取2人进行减肥减脂训练，记抽取到的女生人数为X，求X的分布列及均值.22n个红球(…nN)和5摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）试用n表示一次摸奖就中奖的概率；（2）若n5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为Pn取多少时，P最大？数学答案：1．A【分析】求出集合,B可得AB.【解析】A(2,)，B(3,4)，故AB(2,4)，故选：A.2．A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，即可得到其共轭复数，从而判断可得；2i2ii【解析】解：因为z1，所以，则的虚部为2；z1zii2故选：A3．A14534【分析】取BC中点O，建立直角坐标系，得到AF,，再根据模长的坐标公式即可求解.【解析】332332如图，取BC中点O，建立直角坐标系，则A,B,0,C,0，2232333由AD2DC，若D(x,y)，则ADAC(,)3)，3223332所以(x,y)3)得：D，2，若F(m,n)，则BD(,)(,3)，11535由BFFD22224431所以(m,n)(,3)得：F35,，442442145342153419所以AF,，故AF.42故选：A4．D【解析】根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果.【解析】yx是奇函数，故A排除；ye是非奇非偶函数，C排除；3xyx是偶函数，但在上有增也有减，排除，只有正确.BD故答案为D.5．C【解析】由题意可知：3113c12cae.22a本题选择C选项.6．A【分析】由二倍角公式可求得cos150的值，结合诱导公式cos30cos150即可求得结果.23【解析】因为cos75，3322132cos2751所以cos15012，31cos15013cos180150所以cos30.3故选：A.7．Ca,limbnnnnab存在；对于必要性，nna+blimc,limd都存在，证nn都存在，证明与nnnnnna,limb明存在.nnnnanlimb，na,limba+b【解析】都存在，所以nnnnnnnnnabalimb，nnnnnnnab存在，故充分性成立；nna+b所以与nnnn11记nann，dab，则annd，bnd，nnnnnn221limc,limd由题意，都存在，所以a=limcd，nnnnn2nnnnn1limb=limcd，所以a,limb都存在，故必要性成立，nnnnnnnn2nn所以“数列a}和数列b}极限都存在”是“数列an}和数列ab}极限都存在”nnnnn的充分必要条件.故选：C.8．B【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得ca“三斜求积”用二次函数求解最值.BsinCB【解析】因为tanC，所以，1BcosC1B所以sinCCcosBCsinBCB3sinA，22221acb由正弦定理得ca，又b23，所以Sa42c222214a1214142a424a36a12108，a442221所以当a212即a23时，ABC面积S的最大值为10833.4故选：B9．ACD【分析】根据图中数据，依次分析各选项即可得答案.【解析】解：对于A选项，甲同学体温的极差为36.636.20.4℃，故A选项正确；对于B36.4,36.3,36.5,36.4,36.4,36.3,36.536.4℃位数、平均数均为36.4℃，故B选项错误；对于C选项，根据图中数据，甲同学的体温平均数为36.4℃，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的体温极差为0.4℃，大于乙同学的体温极差0.2℃同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；对于D选项，甲同学的体温从小到大排序为36.2,36.2,36.4,36.4,36.5,36.5,36.6，780%5.6，故甲同学体温的第80百分位数为36.5℃，故D选项正确.故选：ACD10．ACDx,y【分析】先把指数式化为对数式，求出的值，然后利用对数函数的性质逐个分析判断即可.【解析】由3x2，5y3得：xlog32，y3，522因为log33log339log38log32，33323所以x，故A正确；22xyylog53log5327log5325，所以y，故，故B不正确；33xy11log25log2335235232log252，23232xy所以xy2xy，所以C正确；1111因为x,y0，所以xy等价于xy0，xyxy1yx即xyxy10，11xyxy0，所以10，即1，因为，即log33log35log35log322321，而35311所以1成立，所以xy，故D正确.xy故选：ACD.11．AC【分析】对于A选项，根据全称命题的否定为特称命题即可判断A选项正误；对于B选项，可以举分段函数的反例即可判断B选项的正误；对于C选项，可以根据函数的定义进行判断C选项的正误；1对于D选项，可以举fx的反例进行判断D选项的正误.x【解析】对于A选项，已知命题“x2”的否定为“x2x”，故A选项xxx正确；对于B选项，若fx是分段函数，则其值域不一定为0,2；故B选项错误；对于Cyfx的定义域为Rx0多的对应关系，所以函数图像与y轴有且只有一个交点，故C选项正确；1对于D选项，若fx为奇函数，但是fx在x0处无意义，故D选项错误.x故选：AC12．ABD6【分析】六面体由两个全等的正四面体组成，算出每个正四面体的高为，再3利用锥体的体积公式即可判断A球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，利用等体积法求得内切球的半径6R，再利用球的体积公式即可判断BAB、CD在9共底的两个四面体的底面，可判断CD；A1BC的中点DADADBC，由正四面体性质知，顶点S在底面的投影在AD上，如图所示，232233336AD，AOADSO12323331362体的体积V2，故A正确；3436对于B133切时体积达到最大，六面体的每个面的面积是S11，连接球心与五224R213366R，解得R体积法知，所以球的体积6493443686729VR3，故B正确；39对于CDAB、CDAB与CDC错误，D正确；故选：ABD.13．1080【解析】A54C14C35A44108014．10.【解析】设圆台的上、下底面半径分别为r，r，12r2r因为下底面面积是上底面面积的4倍，所以πr224πr21，则，2111由圆台的高为3，体积为7π，可知π3rπ3r7π，121rr12r22212r4r21233解得11，则r22，如图所示，过A作OB的垂线，垂足为C，则OCOA1，221OB2，BCOBOC1，222又AC3，故圆台的母线长．ABACBC2210故答案为：1015．(0,3)4x3x|4x3|x【分析】由题意f(x)m有两个不同的零点可化为方程224x3x|4x3|xm有两个不同的解,利用函数图象解答.224x3x|4x3|x【解析】因为f(x)m有两个不同的零点可化为方程224x3x|4x3x|m有两个不同的解，224x3x|4x3|x作函数y的图象如下所示，22由图可知，m的取值范围为(0,3)故答案为：(0,3)16．2PF431【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出，2再表示出FF，根据双曲线离心率的定义求解即可.12【解析】设直线交x轴于点Q，如图，PFPF设△PFF的外接圆半径为R，由OHOP12，12sinPFFsinPFF1221PFPF有OHOP2R12，2Rsin2F2RsinPF1F21PFPF2故PH2R1，所以直线过△PF12的内心，PF2PF1设△PFF的内切圆圆心为II分别切PF、PF、FF于点M、N、T，121212由切线长定理可得1MT，FNFT，PMPN，22所以，PF2PM1MPN2NTT2a，1T2T2a，所以，Ta，结合图形可得xccT故△PFF的内心的横坐标为a，12因为点H在直线xa上，所以点H为△PFF的内心.12由2HP3HF4HF0可得2PH3PFPH4PFPH0，212193747所以，9PH3PF4PF，记PHPFPF，12712PG2374747334PFPG，所以，设PGPFPF，则FGGF，121217所以，点G在直线FF上，又因为PH12Q，故点G与点Q重合，1293747且有PHPFPFPQ，217由角平分线的性质可知点Q到直线PF、PF的距离相等，12△QPFQ2QPHHQPF22Q4311故，同理可得，S2Q△2QPHPF2PF1PFFQFQ1272令2m，则PF14m，且12，HQQ2Q故Q2Q122m.c1F2m则双曲线C的离心率e22.aPF124mm故答案为：2.3323433,,12）sin171），值域x0.2422102x1）先利用诱导公式和降幂公式可将f(x)化为fxsin333，2利用正弦函数的性质可得函数的单调区间和值域.23（2）利用两角差的正弦公式可求sinx的值.0xx322x32x333【解析】①f(x)sincos1cos，3322x由2k2k得kxk，kZ，23324424xx,又又，所以f(x)的递增区间为，22x2x33，故0，所以0sin1，23333f(x)值域为,1.222x34532034②由f(x)sin0得sin，33223520320350，故cos因，所以42333232x2020sin0sin0sincoscossin3333333334133433.52521018．证明见解析【分析】欲证PMQN，只要证明PMQN0，需将PM,QN用其他向量表示后再进行计算．【解析】证明：如图，设OAa,OBb,OCc．11212因为P，M分别为OA，BC的中点，所以PMOMOP(bc)a[(ba)c]．2rrrr1rr11N，Q分别为AC，OB的中点,则QNONOQ(ac)b[(ba)c]222rrrrrrr1rr11所以PMQN[(ba)c][(ba)c]}(|ba|2|c|2)．224又因为ABOC，所以ABbaOCc所以PMQN0，所以PMQN，即PMQN．131219．(1)fxx3x22x16227,2(2)1fxf0，f20d1，将c2代入f2，f00，f20中求出a,b的值即可f0c求解；1x,0（2x0，x0,3，k3值问题即可求解.1）由fxax3bx2d可得fxax2bxc，xax2bxc=0的两根，则1，2是方程ffabc100所以*）f212abc因为又因为x0处的切线方程为2xy10故f01，f02dc1312代入（*）式解得a，b1312故fxx3x22x1131（2）由（1）知：fxx3x22x1，255时，fx即1恒成立，此时kR，0①当x665611256x0,3时，由fxx22x1②当即x3，313121分离参数k可得：kx2x2，6x13121设gxx2x2，则kgx，min6xx1x14x223114x33x21gxx，26x26x26x2,0上单调递减，上单调递减，上单调递增，故gx在故当x0,3时，gx在上单调递减，3上单调递增，131216122，所以gx的最小值为gxg112min所以k2，13513121x,0时，由fxx2x2③当分离参数可得k66x1121设gxx2x2，则kgxmax，36x13由②过程知gx在,0上单调递减，21111116227gxg2故1，max33323636227所以k，6227综上所述：k的取值范围为,2.20．(1)an2n4n4(2)nn2n31）选①，根据a与S的关系即可得出答案，nn选②，根据an12an，可得数列a}是以2n选③2an1anan2，可得数列a}是以2为公差的等差数列，从而可得答n案；（2）利用分组求和法即可求出答案.(1)解：选①，当n2时，anSnSn1n2nnn2n，2当n1时，也成立，所以an2n；选②，因为an12an，所以aan2，n1所以数列an}是以2为公差的等差数列，所以an2n；选③，因为2an1anan2，所以数列a}是以2为公差的等差数列，n设公差为d，则a41d8，所以d2，所以an2n；(2)解：选①②③答案相同，bn2an22n4nn14，，又n所以数列b是以4为首项，4为公比的等比数列，n所以n1b1a22ann1anb1bna22n2n2414n2144n2n4n.321．(1)列联表见解析，不能认为肥胖与性别有关系