重庆某中学高考数学模拟试卷（理科）含解析

2016年重庆一中高考数学模拟试卷(理科)

一、选择题:本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只

12560.

有一项是符合题目要求的.

xl(已知集合M={x|y=ln(l,x)},集合N={y|y=e,x?R(e为自然对数的底数)},则

M?N=()

A({x|x,l}B({x|x,l}C({x|0,x,l}D(?

34

2(若复数z=sine,+(cos6,)i是纯虚数,则tan0的值为()

3344

4433

A(B(,C(D(,

3(设平面a与平面B相交于直线I,直线a在平面a内，直线b在平面B内，且

b?l,则"a?b"是"a邛"的()

A(充分不必要条件B(必要不充分条件

C(充要条件D(既不充分也不必要条件

sin-^-x(041)

x2+lnx(x^>l)

4(若f(x)为偶函数,且当x?[0,+?)时，f(x)=,则不等式f

),1的解集为()(x,l

A({x|0,x,2}B({x|,l,x,l}C({x|0,x,l}D({x|,2,x,2)5(《九章算术》商功章有题:

一圆柱形谷仓，高1丈3尺，容纳米2000斛(1丈=10尺，斛为容积单位，1

斛？1.62立方尺，TT?3),则圆柱底面周长约为()

A(1丈3尺B(5丈4尺C(9丈2尺D(48丈6尺

O^OEOAOC

6(设点O是边长为1的正？ABC的中心(如图所示)，贝！］(+)•(+)=()

9966

A(B(,C(,D(

7(现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中

不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4

人抽完结束的概率为()

1132

105105

A(B(C(D(

13x-2JH-4>0

<x+y-

x-ay-240

8(设实数x,y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7,最小值是,26,则实数

a的值为()

A(6B(,6C(,lD(1

9(如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0,1),一动点M从A

开始逆时针绕圆运动一周，记=*，直线AM与x轴交于点N(t,0),则函数t=f(x)

的图象大致为()

A(B(C(

D(

10(一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()

A(B(C(D(

22

yx

,22

ba

11(已知F是双曲线C:,=l(a,0,b,0)的右焦点，。是双曲线C的中心，直线y=x

是双曲线C的一条渐近线，以线段OF为边作正三角形AOF,若点A在双曲线C

上，则m的值为()

4V/灰灰

A(3+2B(3,2C(3+D(3,

3212(设函数f(x)=ax+bx+cx+d有两个极值点x,x,若点P(x,f(x))为坐标原

点,121122点Q(x,f(x))在圆C:(x,2)+(y,3)=l上运动时，则函数f(x)图象的切线

斜22

率的最大值为()

五灰五点

A(3+B(2+C(2+D(3+

二、填空题:本大题共小题，每小题分(45

13(已知函数y=f(x+l),l(x?R)是奇函数,贝f(l)=(

1

2

n414(在二项式(+2x)的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79,则展开式中x

的系数为(

2215(已知直线l:x+2y=a+2和直线l:2x,y=2a,l分别与圆(x,a)+(y,l)=16相交12

于A,B和C,D,则四边形ABCD的内切圆的面积为(

cosXBAC=y^-

16(在四边形ABCD中，AB=7,AC=6,,CD=6sin?DAC,贝UBD的最大值为

(

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17(已知数列｛a｝中，a=l,a=3,其前n项和为S,且当n?2时，

aS,aS=O(nl2nn+ln,lnn(l)求证:数列｛S｝是等比数列，并求数列｛a｝的通项公式；nn

9%

(an+3)(anl.1+3)

(2)令b=,记数列｛b｝的前n项和为T,求T(nnnn

18(某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩(得分均为整数，满分为100分)

进行统计，制成如下频率分布表：

(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案);

(2)决赛规则如下:为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答

对两

终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖(某同学进入

决道就

赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同

((1)求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；

(2)设该同学答题个数为X,求X的分布列及X的数学期望(

序号分组(分数段)频数(人数)频率

[60,70)180.16

[70,80)222a

[80,90)3140.28

[90,100)4bc

合计d1

19(某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长

方体ABCD,EFGH材料切割成三棱锥H,ACF(

(?)若点M,N,K分别是棱HA,HC,HF的中点，点G是NK上的任意一点，求

证:MG?平面ACF;

(?)已知原长方体材料中，AB=2m,AD=3m,DH=lm,根据艺术品加工需要，

工程师必须求出该三棱锥的高(

(i)甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角0,再根据公式

h=AH.sin0求出三棱锥H,ACF的高(请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高(

(ii)乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时

乙工程师应输入的t的值是多少,(请直接写出t的值，不要求写出演算或推证的过

程)(20(已知三点0(0,0),A(,2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满

足|+|=・(+)+2(

MEOfflO^OE

(1)求曲线C的方程；

(2)动点Q(x,y)(,2,x,2)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线I:是否ooo

存在定点P(0,t)(t,O)，使得I与PA,PB都相交，交点分别为D,E,且？QAB

与？PDE的面积之比是常数,若存在，求t的值(若不存在，说明理由(

x21(已知函数f(x)=aln(x+b),g(x)=ae,l(其中a?0,b,0),且函数f(x)的图象在

点A(0,f(0))处的切线与函数g(x)的图象在点B(0,g(0))处的切线重合((1)求实数

a,b的值；

(2)记函数cp(x)=xf(x,l),是否存在最小的正常数m,使得当t,m时，对于任意正

x实数x,不等式＜p(t+x),cp(t)-e恒成立，给出你的结论，并说明结论的合理性(

［选修:几何证明选讲］4-1

22(如图，已知AB=AC,圆0是？ABC的外接圆，CD?AB,CE是圆。的直径(过

点B作圆。的切线交AC的延长线于点F(

⑺求证:AB・CB=CD・CE;

BC=&BF=2五

(?)若，，求？ABC的面积(

23(已知直线I的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为

2222极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为pcos0+3psin0=12,且曲线C的

左焦点F在

直线I上(

⑺若直线I与曲线C交于A、B两点(求|FA|・|FB|的值；

(?)设曲线C的内接矩形的周长为P,求P的最大值(

［选修:不等式选讲］4-5

)=|x+a|+|2x,l|(a?R)(24(已知函数f(x

(I)当a=l,求不等式f(x)?2的解集；

1

2

(2)若f(x)?2x的解集包含［,1］,求a的取值范围(

2016年重庆一中高考数学模拟试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只

12560.

有一项是符合题目要求的.

xl(已知集合M={x|y=ln(l,x)},集合N={y|y=e,x?R(e为自然对数的底数)},则

M?N=()

A({x|x,l}B({x|x,l}C({x|0,x,l}D(?

【考点】对数函数的定义域;交集及其运算(

【分析】分别求出M、N的范围，在求交集(

【解答】解:？集合M={x|y=ln(l,x)}={x|Lx,O}={x|x,l},

xN={y|y=e,x?R(e为自然对数的底数)}={y|y,0},

?M?N={x|0,x,l},

故选C(

34

2(若复数z=sin0,+(cose,)i是纯虚数，贝！JtanO的值为()A(B(,C(D(,

3344

4433

【考点】复数的基本概念（

3434

5555

【分析】复数z=sin&+（cos9,）i是纯虚数，可得sin&=0,cos0,?O,可得

COS0,

即可得出（

34

【解答】解:？复数z=sin0,+（cos0,）i是纯虚数,

34

前

?sin0,=O,cos0,?O,

~5

?cos9=,（

sinB3

cos04

贝Utan0==,（

故选:B（

3（设平面a与平面p相交于直线I,直线a在平面a内，直线b在平面B内，且

b?l,则"a

?b"是"a邛"的（）

A（充分不必要条件B（必要不充分条件

C（充要条件D（既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断（

【分析】分析题可知:在题目的前提下，由"a?b"不能推得"a?B",由面面垂直

的性质定理可由"a邛"推出"a?b",从而可得答案(

【解答】解:由题意可得a?B=l,a?a,b?p,若再满足a?b,则不能推得a?B；但

若满足a邛，由面面垂直的性质定理可得a?b

故"a?b"是"a邛"的必要不充分条件(

故选B

sirr^-x(041)

x2+lnx(x^>l)

4(若f(x)为偶函数,且当x?[0,+?)时，f(x)=,则不等式f(x,l),l的解集为()

A({x|0,x,2}B({x|,l,x,l}C({x|O,x,l}D({x|,2,x,2}【考点】其他不等式的解法(

【分析】由条件利用函数的单调性以及图象的对称性可得,Lx,1,1,由此求得x的

范围(【解答】解:？f(x)为偶函数，且当x?[0,+?)时，f(x)=,故f(x)在[0,+?)

上单调递增，在(,？，0]上单调递减(

siir^-x1)

x2+lnx(x^>l)

则由不等式f(x,1),1,结合函数的单调性可得,即,l,x,1,1,求得0,x,2,

故选:A(

(《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓，高1丈3尺，容纳米2000斛(1丈=10

尺，5

斛为容积单位,1斛？1.62立方尺，n?3)，则圆柱底面周长约为()

A(1丈3尺B(5丈4尺C(9丈2尺D(48丈6尺

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)(

【分析】设圆锥的底面半径为r,由题意和圆柱的体积公式列出方程，求出r,由圆

的周长公式求出圆柱底面周长(

【解答】解:设圆锥的底面半径为r,

2由题意得，nrxl3=2000xl.62,解得r?9(尺),

所以圆柱底面周长c=2nr?54(尺)=5丈4尺，

故选:B(

O^OEO^OC

6(设点O是边长为1的正？ABC的中心(如图所示)，贝！］(+)•(+)=()

1111

9966

A(B(,C(,D(

【考点】平面向量数量积的运算(

【分析】根据三角形的重心的性质及向量加法平行四边形法则、向量数乘的几何意

义便可得出，，从而根据条件进行向量数量积的运算

OA+OB=y(CA+CB)OA+OC=y(CA-2CB)向+而”加+友)

即可求出的值(

OA+OB^(CA+CB)OA+OC^(BA+BC)

*O

【解答】解:根据重心的性质,,=;

1——・i・♦I一9

y(CA-CB-CB)^y(CA-2CB)既|=|国=1,ZBCA=60*

又；

1—1•»'V10

(OA+OB)-(0A+0C)7(CA+CB)•(CA-2CB)

?=

a(CA-CA-CB-2CB)

y

匏-―

_1

7

=（

故选c（

7（现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中

不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4

人抽完结束的概率为（）

1132

105105

A（B（C（D（

【考点】古典概型及其概率计算公式（

【分析】分别计算奖票的所有排列情况和第四次活动结束的抽取方法即可（

5

5

【解答】解:将5张奖票不放回地依次取出共有A=120种不同的取法，

若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张

中奖票（共有3AA=36种取法，

故选：C（

’3x-294>。

<x+y-4<0

x-ay-2〈。

8(设实数x,y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7,最小值是,26,则实数

a的值为()

A(6B(,6C(,lD(1

【考点】简单线性规划(

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到

最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a值(

13x-2jH-4>0

x+y_440

【解答】解:先作出对应的平面区域如图，

?z=2x+y的最大值是7,最小值是,26,

?作出2x+y=7和2x+y=,26的图象，

由图象知2x+y=7与x+y,4=0相交于C,

2x+y=,26与3x,2y+4=0相交于B,

J'2x+y=7[*=3

[x+y-4=01y=i

由得，即C(3,1),

2x+y=-26f-8

3x~2y+4=0|y=-10

由得,即B(,8,,10),

?B,C同时在直线x,ay,2=0上,

<3-a-2=0

-8+10a-2=o[a=l

?得,得a=l,

故选:D(

9(如图，把圆周长为1的圆的圆心(：放在y轴上，顶点A(0,1),一动点M从A

开始逆

AM

时针绕圆运动一周，记=*，直线AM与x轴交于点N(t,0),则函数t=f(x)的图

象大

A(B(C(

D(

【考点】函数的图象（

【分析】根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论（【解答】

解:当x由0?时，t从,？？0,且单调递增，

11

22

由？1时，t从0?+?,且单调递增，

?排除A,B,C,

故选:D（

10（一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）

8484

3399

A（B（C（D（

【考点】由三视图求面积、体积（

【分析】根据三视图知该几何体是四棱锥，且是棱长为2的正方体一部分，画出直

观图，由

正方体的性质、分割法、柱体和椎体的体积公式求出该几何体的体积（【解答】解:

根据几何体的三视图得:该几何体是四棱锥M,PSQN,且四棱锥是棱长为2的正方

体的一部分，

直观图如图所示:由正方体的性质得，

所以该四棱锥的体积为：

111

232

22V=V,V=X2X2,XX2X2三棱柱三棱锥

8_

3

故选A（

11（已知F是双曲线C:,=l（a,0,b,0）的右焦点，0是双曲线C的中心，直线y=x

是双曲线C的一条渐近线，以线段OF为边作正三角形AOF,若点A在双曲线C

上，则m的值为（）

A(3+2B(3,2C(3+D(3,

【考点】双曲线的简单性质（

bllV3

【分析】根据正三角形的性质，结合双曲线的性质求出，m=,A(c,c),将A点

的坐标代入双曲线方程可得到关于m的方程，进行求解即可(

xV

a2b2\Gn»

【解答】解:？F(c,0)是双曲线C:,=l(a,0,b,0)的右焦点，直线丫=是双曲线C的

一条渐近线，

立

a

又双曲线C的一条渐近线为y=x,

bi

a2

?m=,

又点A在双曲线C上,?AOF为正三角形，

1V3

22

?A(c,c),

222?,=1,又c=a+b,

”+b23(a2+b2)

4a24b2

?,=1,

1133

4444m

即+m,,=l,

2?m,6m,3=0,又m,0,

加

?m=3+2(

故选:A(

3212(设函数f(x)=ax+bx+cx+d有两个极值点x,x,若点P(x,f(x))为坐标原

点,121122点Q(x,f(x))在圆C:(x,2)+(y,3)=l上运动时，则函数f(x)图象的切线

斜22

率的最大值为()

A(3+B(2+C(2+D(3+【考点】利用导数研究函数的极值(

2b应~

---9

3a27az

【分析】先求出c=0,d=0,得到x=„0,f(x)=,0,判断出a,0,b,0,22

3f(x2)f(x2)

2X9XA

得到k=,根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出k的最大值即max

可(

2【解答】解:f'(x)=3ax+2bx+c,若点P(x,f(x))为坐标原点,n

则f，(0)=0,f(0)=0,故c=0,d=0,

2b

3a

2?f'(x)=3ax+2bx=0,解得:x=,,2

4b3

27a2

22?f(x)=，又Q(x,f(x))在圆C：(X,2)+(y,3)=l上,222

2b妇

3a27az

?x=,,0,f(x)=,0,?a,0,b,0,22

,23f(x2)

3a

?k=,=,max

f(x2)

x2

而表示？C上的点Q与原点连线的斜率，由，

y=kx

(x-2)2+(y-3)2=1

22得:(l+k)x,(6k+4)x+12=0,

6±2心

-3~

得:？=0,解得:k=,

*改2)：2对

x23

?的最大值是2+,

正

?k=3+,max

故选:D(

二、填空题:本大题共小题，每小题分(45

13(已知函数y=f(x+l),l(x?R)是奇函数,贝f(l)=1(

【考点】函数奇偶性的性质（

【分析】直接利用函数的奇偶性的性质求解即可(

【解答】解:函数y=f(x+l),l(x?R)是奇函数，可知x=0时，y=0,

可得O=f(l),l,

则f(D=l(

故答案为：1(

1

2

n414(在二项式(+2x)的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79,则展开式中x

的

495

7T

系数为(

【考点】二项式系数的性质(

NW；

【分析】由=79,化简解出n=12(再利用二项式定理的通项公式即可得出(

【解答］解:？=79,

2*化为n+n,156=0,n?N(

解得n=12(

1212-rr

(y+2X)[j2(y)(2x)[^

,2rl2r?的展开式中的通项公式T==2x,r+1

-4r4495

2X[::工

4令r=4，则展开式中x的系数==(

495

TT

故答案为：(

2215(已知直线l:x+2y=a+2和直线l:2x,y=2a,l分别与圆(x,a)+(y,l)=16相交12

于A,B和C,D,则四边形ABCD的内切圆的面积为8n(【考点】直线与圆的

位置关系(

【分析】由直线方程判断出两条直线垂直，联立后求出交点坐标后可得:交点是圆

心，求出

四边形ABCD的边长和形状，再求出内切圆的半径和面积(【解答】解:由题意得直

线l:x+2y=a+2和直线l:2x,y=2a,l,则互相垂直，12

Jx+2y=a+2fx=a

I2x-y=2a-1]y=i

由得，，

?直线I和直线I交于点(a,1),1222?圆和,a)+(y,1)=16的圆心是(a,1),

472

?四边形ABCD是正方形，且边长是，

&

则四边形ABCD的内切圆半径是2,

兀(2V2)2

?内切圆的面积S==8TT,

故答案为：8TI(

cosz^BAC=---

16(在四边形ABCD中，AB=7,AC=6,,CD=6sin?DAC，贝UBD的最大

值为8(

【考点】正弦定理(

【分析】由CD=6sin?DAC,可得CD?AD(点D在以AC为直径的圆上(去掉A,

B,C)(可

1

2

得:当BD经过AC的中点0时取最大值，利用余弦定理可得:0B,可得BD的最大

值=0B+

AC(

【解答】解:由CD=6sin?DAC,可得CD?AD(

?点D在以AC为直径的圆上(去掉A,B,C)(

?当BD经过AC的中点0时取最大值，

222OB=3+7,2X3X7COS?BAC=25,

解得0B=5,

1

2

?BD的最大值=5+AC=8(

故答案为：8(

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17(已知数列｛a｝中，a=l,a=3,其前n项和为S,且当n?2时，

aS,aS=0(nl2nn+ln,lnn(l)求证:数列｛S｝是等比数列，并求数列｛a｝的通项公式；nn

95

(%+3)(a1rH+3)

(2)令b=,记数列｛b｝的前n项和为T,求T(nnnn【考点】数列的求和;等比数列

的通项公式(

【分析】(1)利用递推关系与等比数列的通项公式即可证明(

______9X3X4n-2苫入厂？§

(3X4n-2+3)(3X4n-r+3)(4n-2+l)€4^-l+l)^1=8

(2)当n?2时，b==,又(利n

用"裂项求和"方法即可得出(

【解答】(1)证明:当n?2时，aS,aS=O(n+ln,lnn

；：

%+岛-「2凡=£向-sn)sn-i-(sn-sn-))snsn+)sn-1-s^=o

?

•I

S；二Sn-1S^i(n)2)

?

•i

又由S=1?O,S=4?0,12

S2

s7

可推知对一切正整数n均有S?0,则数列｛S｝是等比数列，公比q==4,首项为

1(nn

,n2当n?2时，a=S/S=3x4,又a=S=1,nnn,lll

’1,n=l

3X4n-2,n>2

?a=(n

9=9X3X4“-2______

«广3)(&什1+3)(3*4n-2+3)(3X4n-1+3)

(2)解:当n?2时，b==n

3X4“-23

（4n-2+l）（4n_l+l）b1^8

=,又（

（n-l）

o

bn二

?

Tl=bl=f

则，

1_1

4n-2+l4n-1+l

当n?2时，b=,n

H+（

38*2,42-l+I4n-2+1厂%）8产一如

则，n=l时也成立（

谓-六

综上：（

18（某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）

进行统计，制成如下频率分布表：

（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则

如下:为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止

答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖（某同学进入决

赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同

（（1）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；

（2）设该同学答题个数为X,求X的分布列及X的数学期望（

序号分组(分数段)频数(人数)频率

[60,70)180.16

[70,80)222a

[80,90)3140.28

[90,100)4bc

合计d1

【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率；

离散型随机变量及其分布列(

颉数

总救

【分析】(1)由频率分布表的性质和频率=能求出结果(

(2)(1)先求出p=0.4,由此能求出该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率((2)

该同学答题个数为2,3,4,即X=2,3,4,分别求出相应的概率，由此能求出

X的分布列和E(X)(

【解答】解：(1)由频率分布表的性质得：

14226

0.285050

d==50,a==0.44,b=50,8,22,14=6,c==0.12(…

⑵由(1)得p=0.4...

C3X0.4XQ.62X0.4=0.172E

(I)-

(2)该同学答题个数为2,3,4,即X=2,3,4,

P(X=2)=0.42=0.16,P(X=3)=C；-0.4X0,6X。.4=0.19；

P(X=4)=C*0.4-0.62+0.6Zo.648

?X的分布列为:

X234

P0.160.1920.648

E(X)=2x0.16+3x0.192+4x0.648=3.488…

19(某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长

方体ABCD,EFGH材料切割成三棱锥H,ACF(

(?)若点M,N,K分别是棱HA,HC,HF的中点，点G是NK上的任意一点，求

证:MG?平面ACF;

(?)已知原长方体材料中，AB=2m,AD=3m,DH=lm,根据艺术品加工需要，

工程师必须求出该三棱锥的高(

(i)甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角0,再根据公式

h=AH・sin。求出三棱锥H,ACF的高(请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高(

(ii)乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时

乙工程师应输入的t的值是多少,(请直接写出t的值，不要求写出演算或推证的过

程)(【考点】点、线、面间的距离计算;程序框图;直线与平面平行的判定(

【分析】(？)证法一:利用线面平行的判定证明MK?平面ACF,MN?平面ACF,从

而可得平面MNK?平面ACF,利用面面平行的性质可得MG?平面ACF;证法二:利

用线面平行的判定证明MG?平面ACF;

n=(2,3,-6)

(?)(i)建立空间直角坐标系，求出平面ACF的一个法向量，求出AH所在直线与平

面ACF所成的角0,再根据公式h=AH・sin6求出三棱锥H,ACF的高(ii)t=2(

【解答】(？)证法一:？HM=MA,HN=NC,HK=KF,

?MK?AF,MN?AC(?MK?平面ACF,AF?平面ACF,

?MK?平面ACF,

同理可证MN?平面ACF,...

?MN,MK?平面MNK,且MK?MN=M,

?平面MNK?平面ACF，…

又MG?平面MNK,故MG?平面ACF(...

证法二:连HG并延长交FC于T,连接AT(

?HN=NC,HK=KF,

?KN?FC,见IHG=GT,

?MG?AT，…？MG?平面ACF,AT?平面ACF,又？HM=MA,

?MG?平面ACF(...

(?)解:⑴如图，分别以DA,DC,DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角

坐标系O,xyz(则有A(3,0,0),C(0,2,0),F(3,2,1),H(0,0,

AC=(-3,2,0),AF=(0,2,1)AH=(-3,0,1)

1)(...,(

设平面ACF的一个法向量，

(____..12

n，AL3x+2y=0x-§y

《

,n-AF=2y+z=0|z=-2y

则有，解得，

n=(2,3,~6)

令y=3,则，…

SW1lAHlInll-7-VT0-35

?,…

AH»sin9*V10=y,

?三棱锥H,ACF的高为(…

(ii)t=2(...

>\z

JB

HA

20(已知三点0(0,0),A(,2,1),B(21),曲线C上任意一点M(x,y)满足

|+|=・(+)+2(

ME0M0A0E

(1)求曲线C的方程；

(2)动点Q(x,y)(,2,x,2)在曲线(：上，曲线C在点Q处的切线为直线I:是否ooo

存在定点P(0,t)(t,O),使得I与PA,PB都相交，交点分别为D,E,且？QAB

与？PDE的面积之比是常数,若存在，求t的值(若不存在，说明理由(

【考点】圆锥曲线的轨迹问题;利用导数研究曲线上某点切线方程(

【分析】(1)用坐标表示，，从而可得+,可求|+|,利用向量的数量积，结合

M(x,y)满足|+|=・(+)+2,可得曲线C的方程；

t-1

—,—"—,—,—,-------x+十

(2)假设存在点P(0,t)(t,O),满足条件，则直线PA的方程是y=,直线PB的方

程是y=

1-tt-1^r/X。

分类讨论:？当,Lt,0时，l?PA,不符合题意;？当t?,l时，，

,分别联立方程组，解得D,E的横坐标，进而可得？QAB与？PDE的面积之比，

利用其为常数，即可求得结论(

【解答】解：(1)由=(,2,x,l,y),=(2,x,l,y)可得+=(,2x,2,2y),

而刮4x2+(2-2y)而赢

?|+|=,・(+)+2=(x,y)-(0,2)+2=2y+2(

V4x2+(2-2y)S

2由题意可得=2y+2，化简可得x=4y(

t-1

F一x+t

(2)假设存在点P(0,t)(t,O),满足条件，则直线PA的方程是y=,直线PB的方

程是y=

?,2,x,2,?o

2222

?当,Lt,0时，，存在x?(,2,2),使得o

?I?PA,?当,l,t,0时,不符合题意;

**

?当t?,l时，，，

?1与直线PA,PB一定相交，分别联立方程组

t-11-t

--x+tk〒x+t

0

2+4t

xxKx2x0

00X_-f-与=2(x+l-t)

F-0

,解得D,E的横坐标分别是,

p

XO+4t

XE=

2(x0+t-l)

〃一、xo2+4t

XE-XD=(1-t)、一

xn-(t-l)

?

x0

4

?|FP|=,

2

t-1(x0+4t)

1____x_____________

24

S^PDE方|FPIIXE-*DI*Xo-(t-1)

?=

'△QAB_2

4222

Saxn-[4+(t-l)]xn+4(t-I)

RkQAB4_________________0___________

,△PDE1-tXg4+8tXg2+16t2

?=x

?x?(,2,2),?QAB与？PDE的面积之比是常数o

-4-(t-1)2=8t

4(t-l)2=1,6t2

?,解得t=,l,

??QAB与？PDE的面积之比是2(

x21(已知函数f(x)=aln(x+b),g(x)=ae,l(其中a?O,b,O),且函数f(x)的图象在

点A(0,f(O))处的切线与函数g(x)的图象在点B(O,g(O))处的切线重合((1)求实数

a,b的值；

(2)记函数(p(x)=xf(x,l),是否存在最小的正常数m,使得当t,m时，对于任意正

x实数x,不等式cp(t+x),cp(t)-e恒成立，给出你的结论，并说明结论的合理性(【考

点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值(【分析】(1)

求出f(x)的导数，求得切线的斜率和方程;求得g(x)的导数，求得切线的斜率和方

程，由切线重合，可得方程，解得a,b;

e

(2)等价变形可构造函数，则问题就是求m(t+x),m(t)恒成立(求出m(x)的导数，

令h(x)=lnx+l,xlnx,求出导数，单调区间，运用零点存在定理可得h(x)的零点

以及m(x)的单调性和最值，结合单调性，即可判断存在(

£'&)=•

【解答】解：(l)?f(x)=aln(x+b),导数,

b

则f(x)在点A(0,alnb)处切线的斜率,切点A(0,alnb),则f(x)在点A(0,

alnb)处切线方程为，

y=-^-x+alnb

xx又g(x)=ae,l,?g'(x)=ae,

则g(x)在点B(0,a,1)处切线的斜率k=g'(O)=a,切点B(0,a,l),则g(x)在点

B(0,a,1)处切线方程为y=ax+a,l,

alnb=a_1

由，解得a=l,b=l;

<t>(t+x)<<t>野

(2),

构造函数，则问题就是求m(t+x),m(t)恒成

(lnx+1)exxlnx*exlnx+1-xlnx

mz(x)-

立(，令h(x)=Inx+l,xlnx,

h'()=--lnx-1

xx

则，显然h'(x)是减函数，又h'(l)=O,所以h(x)在(0,1)上是增函数，在(1,

+?)上是减函数，而,h(l)=lnl+l,lnl=l,0,

h(e)=lne+l,elne=l+l,e=2,e,0,所以函数h(x)=lnx+l,xlnx在区间(0,1)

和(1,+?)上各有一个零点，令为X和x(x,x),并且有在区间(0,x)和(x,+?)

上,h(X),0,121212

4+1-2+1+卷=^~~<C

eeee4ee

即m'(x),0;在区间(x,x)±,h(x),0,即m'(x),0,12

从而可知函数m(x)在区间(0,x)和(x,+?)上单调递减，12

在区间(x,x)上单调递增(m(l)=0,当0,x,l时,m(x),0;12

当x,l时,m(x),0,

还有m(x)是函数的极大值，也是最大值，题目要找的m=x,22

理由:当t,x时,对于任意非零正数x,t+x,t,x,22

而m(x)在(x,+?)上单调递减，2

所以m(t+x),m(t)一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立；当0,t,x时，取

x=x,t,显然m(t+x)=m(x),m(t),222

题目要求的不等式不恒成立，说明m不能比x小；2

综合可知，题目所要求的最小的正常数m就是x,2

即存在最小正常数m=x,当t,m时，对于任意正实数x,2x不等式

m(t+x),m(t)»e恒成立(

［选修:几何证明选讲］4-1

22(如图，已知AB=AC,圆。是？ABC的外接圆，CD?AB,CE是圆。的直径(过

点B作圆。的切线交AC的延长线于点F(

⑺求证:AB・CB=CD・CE;

BC=V^BF=2衣

⑺若，，求？ABC的面积（

【考点】与圆有关的比例线段（

【分析】（？）连接AE,证明Rt?CBD?Rt?CEA，结合AB=AC,即可证

明:AB・CB=CD・CE;

2（?）证明？ABF,?BCF,可得AC=CF,利用切割线定理有FA・FC=F