5.5数学归纳法课件高二下学期数学人教B版选择性

*5.5数学归纳法第五章人教B版

数学选择性必修第三册课标定位素养阐释1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.提升逻辑推理、数学运算的核心素养.自主预习新知导学数学归纳法1.震撼的多米诺骨牌效应大不列颠哥伦比亚大学物理学家A.怀特海德曾经制作了一组骨牌,共13块,第一块最小,长9.53mm,宽4.76mm,厚1.19mm,还不如小手指甲大.以后每块体积都扩大了1.5倍,依次类推,最大的第13块长61mm,宽30.5mm,厚7.6mm,牌面大小接近于扑克牌,厚度相当于扑克牌的20倍.把这套骨牌按适当间距排好,轻轻推倒第一块,必然会波及第13块.第13块骨牌倒下时释放的能量比第一块牌倒下时整整要扩大20多亿倍.因为多米诺骨牌效应的能量是按指数形式增长的.若推倒第一块骨牌要用0.024微焦,倒下的第13块骨牌释放的能量达到51焦.不过A.怀德特毕竟没有制作第32块骨牌,因为它将高达415m.假如真有人制作这样的一套骨牌,207米高的大厦会在一指之力下被轰然推倒!你能体会其中蕴含的物理原理吗?提示:多米诺骨牌效应的物理原理是:骨牌竖着时,重心较高,倒下时重心下降,倒下过程中,将其重力势能转化成动能,倒在第二块牌中,动能就转移到第二块牌上,第二块牌将第一块牌转移来的动能和自己倒下过程中由本身具有的重力势能转化来的动能之和,再传到第三块牌上,……所以每块牌倒下的时候,具有的动能都比前一块牌大,因此速度一个比一个快,也就是说,依次推倒的能量一个比一个大.2.(1)数学归纳法的定义一个与自然数有关的命题,如果①当n=n0时,命题成立;②在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成立.那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.(2)数学归纳法的框图表示3.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证(

)A.n=1 B.n=2

C.n=3 D.n=4解析:由题知,n的最小值为3,因此第一步验证n=3是否成立.答案:C【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(×)(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(×)(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.(√)合作探究释疑解惑探究一用数学归纳法证明等式【例1】

用数学归纳法证明,对任意的正整数n,都有1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2.证明:(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,所以此时等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.则1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)·(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,所以,此时n=k+1也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任意正整数都成立.数学归纳法证题中,利用假设是核心.在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“当n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1时命题也成立”.反思感悟此时当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知,对于n∈N+等式都成立.探究二用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些,方法更灵活些,用数学归纳法证明的第二步,即已知f(k)>g(k),求证f(k+1)>g(k+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点:(1)先凑假设,作等价变换;(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析,直到“凑”出结论.反思感悟证明:(

1

)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立,因此当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.探究三用数学归纳法证明几何问题【例3】

已知n个平面都过同一点,但其中任何三个平面都不经过同一直线,求证:这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.证明:(1)当n=1时,1个平面把空间分成2部分,而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分),所以命题正确.(2)假设当n=k(k∈N+)时,命题成立,即k个符合条件的平面把空间分为f(k)=k(k-1)+2(部分),当n=k+1时,第k+1个平面和其他每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分,所以共增加2k部分,故f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分),即当n=k+1时,命题也成立.根据(1)(2),知n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k增加到k+1时,所证的几何量增加多少,同时要善于利用几何图形的直观性,建立k与k+1之间的递推关系.反思感悟【变式训练3】

在平面内有n条直线,其中每两条直线相交于一点,并且每三条直线都不相交于同一点.求证:这n条直线将它们所在的平面分成

个区域.证明:(1)当n=2时,两条直线相交把平面分成4个区域,命题成立.域,直线l与其余k条直线相交,得到k个不同的交点,这k个点将l分成k+1段,每段都将它所在的区域分成两部分,故新增区域为k+1个.所以当n=k+1时命题也成立.由(1)(2)可知,原命题成立.探究四归纳—猜想—证明(1)求a2,a3.(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知命题对任何n∈N+都成立.1.本题中在由“n=k成立”证明“n=k+1成立”时,利用ak+1=Sk+1-Sk来寻找ak+1与ak的关系是证明的关键.2.在证明与数列有关的问题时,一般要用到ak+1与ak或Sk+1与Sk的关系,在寻找它们之间的关系时,往往要用到已知条件和ak+1=Sk+1-Sk来建立等量关系.反思感悟

(1)解:∵数列{an}满足a1=3,an+1=-2nan+2,n=1,2,3,…,∴a2=9-2×1×3+2=5,a3=25-2×2×5+2=7.由此猜想数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)证明:用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,a1=2×1+1=3,成立;(2)假设当n=k时成立,即ak=2k+1,则ak+1=-2kak+2=(2k+1)2-2k(2k+1)+2=2k+3=2(k+1)+1,成立,由(1)(2),得数列{an}的通项公式为an=2n+1.【易错辨析】

未应用归纳假设而致误

即当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任意n∈N+都成立.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错误的原因在第二步,直接利用等比数列的求和公式求出了当n=k+1即当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N+都成立.数学归纳法的第二步是在证明一个递推关系,即当n=k成立时,n=k+1时也成立.因此在证明当n=k+1成立时,要用上归纳假设才能说明“当n=k成立时,n=k+1也成立”.防范措施【变式训练】

已知n∈N+,求证1×22-2×32+…+(2n-1)×(2n)2-2n×(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3).证明:(1)当n=1时,左边=4-18=-14=-1×2×7=右边.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时成立,即1×22-2×32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3).则当n=k+1时,1×22-2×32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2+(2k+1)·(2k+2)2-(2k+2)·(2k+3)2=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2]=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3],即当n=k+1时成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N+结论成立.随堂练习1.用数学归纳法证明,在验证当n=1成立时,左边计算所得的项是(

)A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2.故C正确.答案:C2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为

条时,第一步验证n等于(

)