安徽省滁州市定远县第一初级中学九年级下学期期中数学试题

安徽省滁州市定远县第一初级中学20182019学年九年级下学期期中数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.下列等式正确的是（）．A. B.2+3＝5C.·＝6 D.【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义和性质及二次根式的乘法法则进行判断；【详解】A.，所以A选项错误；B.2+3≠5，所以B选项错误；C.·＝，所以C选项正确；D.，所以D选项错误.故选C.【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A.10m B.15m C.18m D.20m【答案】C【解析】【详解】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴AC===13m，∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18m．故选C．3.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且，计算即可．【详解】∵一元二次方程有实根，∴且，解得，故选A．4.我们给出一种运算：对于xn，规定．例如：，则方程的解是()．A. B. C.x1=x2= D.【答案】A【解析】【分析】先根据已知变形，得出一元二次方程，再求出方程的解即可．【详解】∵，∴∴即，解得，故选A.【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于结合题意将原式变形.5.已知a，b是方程x2+2017x+2=0的两个根，则（2+2019a+a2）（2+2019b+b2）的值为______．【答案】8．【解析】【分析】根据已知条件得到2+2017a+a2=0，2+2017b+b2=0，ab=2，代入代数式即可得到结论．【详解】∵a，b是方程x2+2017x+2=0的两个根，∴2+2017a+a2=0，2+2017b+b2=0，ab=2，∴（2+2019a+a2）（2+2019b+b2）=（2+2017a+2a+a2）（2+2017b+2b+b2）=4ab=8，故答案为8．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．6.下面是小明在一次测验中解答的填空题：①若x2=1，则x=1；②方程x(x1)=x1的解是x=2；③已知三角形两边分别为2和9，第三边长是方程x214x+48=0的根，则这个三角形的周长是17或19；④方程的解是x=3，试卷中每个填空题5分，最后小明填空题的得分是（）．A.0分 B.5分 C.10分 D.15分【答案】A【解析】【分析】①开方得到x=1或x=1，本选项错误；②将方程右边式子整体移项到左边，提取公因式x1，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程解即可得到原方程的解，即可作出判断；③求出方程x214x+48=0的解，得到第三边的长，求出三角形周长即可作出判断；④将方程两边都乘x+1，即可得到二元一次方程，求得方程的解再检验即可．【详解】①若x2=1，则x=±1，故错误；②方程x(x1)=x1，移项得：x(x−1)−(x−1)=0，即(x−1)(x−1)=0，可得x−1=0或x−1=0，解得：，故错误；③x214x+48=0，因式分解得：(x−6)(x−8)=0，可得x−6=0或x−8=0，解得：，∴第三边分别为6或8，若第三边为6，三边长分别为2，6，9，不能构成三角形，舍去；若第三边为8，三边长为2，8，9，此时周长为2+8+9=19则这个三角形的周长是19，故错误；④，等式两边均乘x+1，得，因式分解得：(x−3)(x−4)=0，解得：经检验均为方程的解，故错误；则答案完全正确的数目为0个，故选A【点睛】此题考查解一元二次方程、三角形三边关系，解题关键在于掌握解一元二次方程因式分解法及直接开平方法.7.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽如图所示，它由四个相同的直角三角形拼成，若较长直角边为4，较短直角边为3，则图中大正方形与小正方形的面积之比()A.16:9 B.16:1 C.25:9 D.25:1【答案】D【解析】【分析】要求正方形的面积，根据正方形的面积=边长×边长，即变为求边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，由勾股定理可以求出；小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差．【详解】如图，由勾股定理得大长方形边长：，则大正方形的面积为：；∵小正方形的边长为：3−2=1，则小正方形的面积为：.则图中大正方形与小正方形的面积之比是25:1.故选D.【点睛】此题考查勾股定理、正方形的性质，解题关键在于利用勾股定理求直角三角形的斜边长.8.下列各式中正确的个数是（）①=4a②==③④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．【详解】①=4a，故正确；②==，故错误；③，故错误；④，故正确.故选B.【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.9.已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题．中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为5，6，7的面积，从而可以解答本题．【详解】∵S=∴若一个三角形的三边长分别为5，6，7，则面积是：S=，故选A.【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简.10.的三边长分别为a，b，c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和，平方差公式，勾股定理逆定理．根据三角形的内角和为180度，即可判断①③；根据平方差公式和勾股定理，即可判断②；根据勾股定理逆定理，即可判断④．【详解】解：①∵由，∴，∴，是直角三角形．符合题意；②由，可得，是直角三角形，符合题意；③∵，∴，，，∴不是直角三角形，不符合题意；④∵，∴，∴根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，符合题意．综上：其中能判断是直角三角形的有①②④，共3个，故选：C．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=______________．【答案】3【解析】【分析】根据同类二次根式的定义得出2a1=8a，求出即可．【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴2a1=8a，解得：a=3.故答案为：3.【点睛】此题考查同类二次根式，解题关键在于掌握同类二次根式的定义即可得出等式关系.12.已知关于x的方程x2+mx+2mn=0的一个根为2，且根的判别式为0，则n=____________．【答案】12【解析】【分析】先把x=2代入方程，列出一关于m、n的方程，再由根的判别式为0列出一个关于m、n的方程，两方程联立即可求出m、n的值．【详解】∵一元二方程x2+mx+2mn=0有一个根为2，∴4+4m−n=0①，又∵根的判别式为0，∴，即②由①得：n=4+4m，把n=4+4m代入②得：，解得m=−4，代入①得：n=−12，所以m=−4，n=−12.故答案为：12.【点睛】此题考查根的判别式、一元二次方程的解，解题关键在于掌握根的判别式的运用.13.如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了___________步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步，是步，是步，共步，∴少走了步，故答案为：步．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．14.观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为_______．【答案】【解析】【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．【详解】由题意可得：+++…+=+1++1++…+1+=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=9+=．故答案为．【点睛】：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．三、解答题(本大题共90分)15.计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；

（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.【详解】解：（1）==；（2）===.【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．16.解方程：①2x25x+1=0(用配方法)；②5(y2y)=3(y21)（用因式分解）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】①按照配方法按照步骤进行即可解答；②先移项，再提取公因式（y1）即可求解．【详解】①2x25x+1=0方程化为，，，解得.②5(y2y)=3(y21)，解得【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握配方法、因式分解法即可求解.17.印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖面持平，且荷花与原来位置的水平距离为二尺，问湖水有多深．【答案】湖水深3.75尺．【解析】【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件求解．【详解】设水深x尺，则荷花茎长度为x+0.5，根据勾股定理得：解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺．【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于结合题意列出方程．18.如图，点A，B在数轴上分别表示a，b，化简：【答案】【解析】【分析】根据数轴得出1<a<0<1<b，|a|<|b|，求出a+1＞0，1b＜0，ab<0，a＞0，根据二次根式的性质和绝对值求出即可．【详解】∵从数轴可知：−1<a<0<1<b，|a|<|b|，∴==故答案为：.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于根据数轴上a,b的位置判断.19.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD=30°，∠ACD=45°，AB=8，求△ABC的周长和面积．【答案】；【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出BD的长，再由勾股定理求出AD的长，由等腰直角三角形的性质即可得出AD=CD，再由勾股定理可得出△ABC的周长；根据三角形的面积公式可得出△ABC的面积．【详解】∵在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAD=30∘，AB=8，∴BD=，∴.∵∠C=45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD=CD=，∴；△ABC的周长=；△ABC的面积=【点睛】此题考查勾股定理、等腰直角三角形，解题关键在于掌握三角形周长及面积公式.20.百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【答案】每件童装应降价20元．【解析】【分析】设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量每件的利润元，列出方程求解即可．【详解】解：设每件童装应降价元，则，即：，解得：，，要扩大销售量，减少库存，舍去．答：每件童装应降价20元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可．21.已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【答案】（1）见详解；（2）4＋或4＋.【解析】【分析】（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.【详解】解：（1）证明：∵△=[（m＋2）]2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根.（2）∵此方程的一个根是1，∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.22.为了节省材料，某农户利用一段墙体为一边(墙体的长为10米)，用总长为40m的围网围成如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．（1）求AE：EB的值；（2）当BE的长为何值时，长方形ABCD的面积达到72m2？（3）当BE的长为何值时，矩形区域①的面积达到最大值？并求出其最大值．【答案】（1）2:1；（2）3米；（3）BE=2.5米，25平方米..【解析】【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，于是得到结论；（2）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设长方形ABCD的面积为y,BE=x，AE=2x，BC=204x,进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．【详解】(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，∴AE:EB=2:1；(2)∵三块矩形区域的面积相等,∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，设长方形ABCD的面积为y,BE=x，则AE=2x，∴BC=∴∵，∴2.5≤x<5，则y=；当y=72时，即解得（舍去）故BE=3m,时长方形ABCD的面积达到72m2(3)∵y=,且二次项系数为−12<0，∴当BE=2.5米时，y有最大值，最大值为75平方米.此时矩形区域①的面积为平方米.【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于结合题意得出相应的一元二次方程.23.【思考题】阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形；小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空：命题（填“