高中数学运算能力训练2024年暑假预习初高衔接基础版

初高数学衔接之运算能力训练基础版专题01:乘法公式、因式分解、二次根式与绝对值一、填空题(共12题,每题5分)1.若x2+12mx+2.a3.分解因式a2+4.若多项式x2−3x+a可分解为x−5.当x<3时,计算6.二次根式a2=−7.若a−48.已知x−22+9.已知a<−6,化简610.已知x2+y2=16911.若a+12+b−212.因式分解a3−二.解答题(共4题,每题10分)13.计算(1)4(2)1(3)2x(4)x(5)a14.因式分解(1)x(2)8(3)b(4)3(5)b15.化简(1)4(2)3016.已知x2−3x+1=专题02:分式运算、分式方程与分式不等式(训练时间:40分钟,满分:100分)一、填空题(共12题,每题5分)1.分式2m+5的值为1时,2.代数式11+1x+13.不等式5x>4.方程1x+5.a=12,6.不等式2x−37.正数x,y满足x2−y28.方程x2x9.若2x−yx+10.若分式x−1x−1的值为11.关于x的方程2ax+3a−x=5412.若分式方程4xx−2−5=二、解答题(共4题,每题10分)13.解不等式:(1)x+3x14.解方程:(1)x(2)2x15.若5x+4xx+216.化简:2专题03:韦达定理(训练时间:40分钟,满分:100分)一、填空题(共12题,每题5分)1.已知关于x的方程x2+kx−2.若关于x的方程x2+k2−13.若一元二次方程m−1x2+24.设一元二次方程x2−6x−3=05.已知方程x2−3x−1=06.已知方程x2+px+q=7.已知α、β是方程2x28.已知关于x的等式x2+x+a=09.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2−2m+3x10.已知α,β是方程x2+2x−11.已知方程2x2−k+1x+12.若实数a1b,且a、b满足a2−值为___.二.解答题(共4题,每题10分)13.已知两个数的和为4,积为12,求这两个数.14.已知关于x的一元二次方程2x2+ax−2a+1=015.已知x1,x2是关于x的方程x2+2a−1x16.已知关于x的方程x2+2m−2x+专题04:二次函数的图像与性质(基础版)一、填空题1.二次函数y=x2.二次函数y=x2+2x+c3.已知某二次函数的顶点坐标是1,2,并且图象经过点34.已知二次函数的图象过点−1,−5.二次函数y=2x2−mx+n6.一个二次函数的图象的顶点坐标为3,−1,与y轴的交点坐标为07.把抛物线y=−x2向右平移18.二次函数y=−x2+2x+9.已知函数y=−x2+4x−2,当10.二次函数y=ax2+2ax+1的最大值为11.已知二次函数的图象过点−3,0,1,012.已知二次函数y=−x2+2x+c二、解答题13.已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点14.抛物线y=−x2+m−1x+m(1)求出m的值并画出这条抛物线;(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?15.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式;（2）若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?16.已知某二次函数的图象与x轴交于点A2,0,B（1）求此二次函数的解析式;（2）求1≤x第8页共32页专题05:三个二次的关系(基础版)(训练时间:40分钟,满分:100分)一、填空题(共12题,每题5分)1.不等式x2+2.不等式x+53.若关于x的不等式x2+mx+n<04.二次函数y=ax2+bx+5.不等式3+5x6.不等式4x27.已知不等式k−1x2−6x+8<8.不等式x2+9.关于x的不等式ax2+bx+2≥0的解集是{10.不等式−3x11.若关于x的不等式x2+k−1x+4>012.不等式ax2+x+1>0二、解答题(共4题,每题10分)13.解下列不等式:(1)4x(2)x214.已知不等式ax2+bx+1>0的解为x −并解不等式bx15.解下列不等式:(1)x2(2)a−16.已知不等式a+1x2−(1)求常数a的值;(2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为详细解析:专题一参考答案:1.1【分析】由题可得x2+【详解】因为x2+所以x2+12mx+k=x2.4ab【分析】直接由完全平方公式求解即可.【详解】a+b2−a3.a【分析】直接由十字相乘法分解因式即可.【详解】a2+8ab−334.a【分析】直接由整式的乘法及因式分解求解即可.【详解】x−5x−b=x2−故答案为:a=−5.3【分析】利用二次根式的性质化简,再利用绝对值的代数意义计算即可.【详解】解:∵x<3,所以∴9故答案为:36.a【分析】利用a2=a得到a=−a【详解】二次根式a2=a=−a,所以a≤0.故答案为:a≤07.【分析】利用绝对值的非负性求出a,b【详解】a−4=−b+8.3【分析】直接由绝对值和平方求出x,2y【详解】由题意知,x−2=0,2y−1=0,即【分析】利用a2=【详解】6−a2=6−a∥,因为a<−又因为a<−6,所以a+6<0,所以10.60【分析】直接由完全平方公式求解即可.【详解】由x−y=7可得x−y2=x故答案为:60.11. 【分析】根据平方和绝对值的非负性得到a+1【详解】因为a+所以a+1=0b−2=12.a【分析】直接由提公因式法和十字相乘法因式分解即可.【详解】a3−5a213.1(2)1(3)8(4)x6−【分析】由立方和、立方差等公式结合整式的乘法依次求解即可.(1)4（2）1（3）2x(4)解法一:x+解法二:x(5)a14.1(2)2a(3)b(4)3x(5)2a【分析】由十字相乘法、提公因式法和公式法依次因式分解即可.【详解】(1)x2(2)8a(3)b4(4)3x(5)b215.1(2)−【分析】(1)(2)由二次根式的运算法则依次化简求解即可.（1）4(2)30316.21.【解析】先求出x+1x=3【详解】∵x由题得原式==3故答案为:21专题二参考答案:1.3【分析】由题意,列分式方程,解得未知数的值,可得答案.【详解】由题意,可得2m+5=1,解得2.{x∣x≠−【分析】根据分式有意义的条件可得1x+1+1≠【详解】解:要使代数式11+所以1x+1+1≠0且x+1≠0,解得x≠−3.{【分析】写出分式不等式的等价不等式组,再解不等式组即可.【详解】解:因为5x>1,所以5x−所以5−xx>0故不等式5x>1的解集为{x4.1【分析】根据题意化简方程为x2−【详解】原方程可化为:1x方程两边各项都乘以x2−4,可得x−2+x2−3x+2=0,解得检验:把x=1代入x2−4,不等于把x=2代入x2−4,等于0,所以x=2是增根.5.3【分析】由题意,化简分式,代入数值,可得答案.【详解】由题意,3a将a=12,b=136.−【分析】将分式不等式转化为整式不等式,求解即可.【详解】解:∵即2x−3<0x+1>0或2x−故答案为−【点睛】本题考查分式不等式的解法,需注意将解集写成集合或区间的形式,属于基础题.7.2【分析】令t=yx,则t>0,由x2−y2=2xy,得1−t2【详解】令t=yx,因为x,y因为x2−y2=2xy,所以解得t=2−1或t=−2−1(舍),所以x8.x=−1或【分析】先将原方程整理成xx−【详解】解:由x2x2−11x去分母化简,得x2+22x+21经检验,x1=−1,x2=−219.5【分析】交叉相乘并化简得4x=5y,从而可求【详解】解:∵2x−yx+y=2310.1【分析】通过题意得到x−1x−1=【详解】解:因为分式x−1x−1的值为0,所以x−1x−故答案为:111.2【分析】将x=−2【详解】解:因为方程2ax+3a−x所以2a×−2+3a−−2=5412.8【分析】分式方程首先转化整式方程,可解得整式方程的解,方程此解为分式方程的增根时,可得答案.【详解】由分式方程4xx−2−5解得x=10+m,当m=−8时,x=2,即13.1(2){【分析】(1)由分母恒大于0直接求解即可;（2）作差,转化为求一元二次不等式即可.(1)x2−x+1所以原不等式的解集为{x（2）2x故x+2≠0x所以原不等式的解集为{x14.(1)分式方程无根(2)x【分析】(1)去分母,将分式方程变为整式方程,解方程,检验可确定原方程的根;（2）去分母,将分式方程变为整式方程,解方程,检验可确定原方程的根;(1)由xx−1−1整理得x+检验:x=1时,x−1x+所以xx−（2）由2x−1x−1整理得x2−x−2=0,解得检验:当x=2时,x−故x=2不是分式方程的根,x故2x−1x−115.A=【分析】对等式右边进行通分,再由分子相等,建立方程组,即可得出常数A,B【详解】∵∴A【点睛】本题主要考查了数与式的运算,涉及了通分的应用,属于中档题.16.2【分析】根据题意,准确化简、运算,即可求解.【详解】由2+专题三参考答案:1.2【分析】由根与系数的关系求解.【详解】由根与系数的关系知,1⋅x=−2,即x2.1【分析】利用韦达定理求出参数的值,再代入检验即可.【详解】解:设方程x2+k2−依题意x1+x2=−k2−1当k=1时方程即x当k=−1时方程即x2=0,解得x13.0【解析】设两根为x1,x2,由一元二次方程m【详解】设两根为x1,x2,根据题意可得:由Δ=又有:x1⋅x2=−2m4.42【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,结合完全平方和公式进行求解即可.【详解】一元二次方程x2−6x−3=0的两个实根为因此x12+5.1【解析】直接利用韦达定理计算可得;【详解】解:因为方程x2−3x−1=0所以x1−3x6.2,30.【分析】设方程的两根分别为x1和x2,然后根据韦达定理可得然后等式两边都加1,利用因式分解求出X1和X【详解】设x1,x2是方程的两个根,则①∵②①得:p+q=28,即x1x2−1∵两根均为正整数,∴x1−1=∴方程的两个根是:x1=2,x2=30.【点睛】本题考查二次方程根的问题,考查学生运用韦达定理求根的能力,难度一般,解答时针对原式合理变形是关键.7.4【解析】由于1α+【详解】解:因为α、β是2所以α+β=−2αβ=−32【点睛】熟练掌握根与系数的关系是解题关键.8.1【解析】用韦达定理求解即可【详解】x故答案为:19.3【分析】化简后根据根与系数的关系求出m,再由判别式检验即可.【详解】因为x1,x2是一元二次方程所以x1+x2=解得m=3或m=−1,又因为Δ=2m+32故答案为:310.0【分析】由已知中α,β是方程x【详解】解:α,β是方程x可得α+所以α2+αβ+2α【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系,难度不大,属于基础题.11.3或9.【分析】利用韦达定理求解.【详解】设x1,x2由x1−x2=整理得k2−6k−27=0,解得:经检验当k=9或k=−3时,Δ>0成立.【点睛】本题考查二次方程根与系数的关系应用,属于简单题.12.20【分析】由题意可得a、b是方程x2−8x+【详解】因为a、b满足所以a、b是方程x2−8x所以b=a+b213.2和6【分析】法一:设这两个数分别是x,y法二:由韦达定理可知,这两个数是方程x2−【详解】解:法一:设这两个数分别是x,y,则解得x=−2y=6或x=法二:由韦达定理可知,这两个数是方程x2−解得x1=−2,x214.a【解析】设x1,x12+x22【详解】解:设x1,x2为方程2即a2+16a−8将②和③代入x解得a=3或a=−11,但a=−1115.1【分析】根据两根之和等于−ba,两根之积等于c【详解】解:∵x1、x2∴∵x∴x∴a即a2−4a−5=0,解得又∵Δ=2a−1∴a=5不合题意,舍去.16.m=−【分析】根据根的判别式可得m的大范围,再根据这两个实数根的平方和比两个根的积大21,利用根与系数关系即可得到m的值【详解】解:设方程的两个实数根为X1则x1+x即x1解得m=17或m=−1,另由根的判别式可得Δ综上,m=−【点睛】本题考查二次函数零点与方程根的关系,二次函数根与系数关系、根的判别式等知识点,属于基础题.专题四参考答案:1.5【分析】将二次函数配成顶点式,即可求出函数的最小值.【详解】解:y∴当x=1时,y有最小值,最小值为5,故答案为:2.0【分析】根据二次函数的解析式,得知其开口向上,函数的最小值就是其对称轴与二次函数图象的交点的纵坐标,把x=−22×1=−【详解】∵二次函数的对称轴为直线x=−∴当x=−1时,y=−1,∴1−2+3.y【分析】利用顶点假设二次函数为y=ax−12【详解】解:∵顶点坐标是1,设该二次函数的解析式为y=∵二次函数的图像经过点3,−1,∴−1=∴二次函数的解析式为y=−34x−故答案为:y4.y【分析】用待定系数法求解即可【详解】设该二次函数为y=由函数图象过点−1,−22,解得a=−2,b=故答案为:y5.40【分析】利用二次函数的图像和性质直接计算即可.【详解】因为二次函数y=2x2−mx+n即−−m2×2=1,解得m=4;将1故答案为:4;6.y【分析】根据二次函数的顶点坐标为3,−1,设这个二次函数的解析式为顶点式y=ax−32−1【详解】∵二次函数的图象的顶点坐标是3,−∴设这个二次函数的解析式为y=ax−32−1∴这个二次函数的解析式为y=−故答案为:y=−7.y【分析】根据二次函数的图象平移规律可得答案.【详解】把抛物线y=−x2向右平移1则平移后抛物线的解析式为:y=−x−128.6【分析】令函数值等于零没求出图像与x轴两交点即可求解.【详解】解:由题意得:令y=−x2+二次函数y=−x2+2x+8这两点间的距离为4−−29.2【分析】通过配方,结合二次函数性质即可确定确定当1≤x≤4上时【详解】∵y则二次函数在−∞,2上单调递增,在2,+∞∴在1≤x≤4上,当x=410.−【分析】由二次函数y=ax2+2ax【详解】∵二次函数y=ax2+∴a<0,且二次函数取得最大值时,此时∴a×−1211.y=12x【分析】由题意可设二次函数为y=ax+3x−1 a≠0,求得顶点的纵坐标为【详解】解:因为二次函数的图象过点−3所以可设二次函数为y=ax+3顶点的纵坐标为−12由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,∴−4a=2,即a=±12,所以二次函数的表达式为故答案为:y=12x212.4【分析】由一元二次函数的图像和性质计算即可.【详解】二次函数y=−x2+2x+当−1≤x≤2时,y的最大值在x由二次函数的对称性可得,当x=−1时,y取最小值,所以ymax−y13.y【解析】要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a.【详解】解:∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+1上,所以,2=x+设该二次函数的解析式为y=ax−1代入解得a=−34.∴二次函数的解析式为【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解.求二次函数的解析式时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.14.1m=3,图象见解析2交点坐标−1(3)−1<【详解】(1)由抛物线y=−x2+m−1x+m与∴抛物线为y=−xx10123Y03430图象如下.（2）由−x2+2x+3=0,解得x1∵y=−x2+2x+（3）由（1）的图象结合（2）中所求点的坐标,可得当−1<x<3(4)由(1)的图象结合(2)中所求点的坐标,可得当1<x时,Y的值随x15.(1)y=−3x2最大销售利润,最大销售利润为432元.【解析】(1)求得每件商品的销售利润,乘以销量可得出销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式,并可求得x的取值范围;（2）利用二次函数的基本性质可求得销售利润的最大值及其对应的x值,进而可得出结论.【详解】(1)由已知得每件商品的销售利润为x−30元,且那么m件的销售利润为y=m30（2）由（1）知,二次函数y=−3x2+且该二次函数的图象开口向下,故当x=42时,二次函数yy因此,当每件商品的售价定为42元时,每天有最大销售利润,最大销售利润为432元.【点睛】本题考查二次函数模型的实际应用,求出二次函数的解析式是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.16.(1)y=x【解析】(1)设二次函数的解析式为y=ax−2x（2）根据二次函数的性质讨论即可.【详解】解:(1)设二次函数的解析式为y=将点1,3代入得:3=1−（2）∵y=x−3与点1,3关于对称轴对称的点为若1<b≤3时,y随着则当x=1时取得最大值,为:当x=b时取得最小值,为:y=若3<b当x=1时取得最大值,为:当x=3时取得最小值,为若b>5当x=b时取得最大值,为y=当x=3时取得最小值,为专题四参考答案:1.−∞,−【分析】把不等式化简为x+2【详解】∵不等式x2+6x+8所以不等式的解集为−∞,−4∪−2,+∞2.−【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】由x+51−xx2+4x+3所以不等式x+51−x≥83.5【分析】由一元二次不等式的解集,利用根于系数的关系即可得解.【详解】由题意知,−3,2是则−3+2=−m−3×2=n,解得4.−【详解】由图像知:1和2是关于x的方程ax2所以a>0,1+不等式ax+bcx−b<0可化为ax−3a所以不等式ax+bcx−b<05.−【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】不等式3+5x−2x即2x+1x−3<0,解得−12<【分析】根据一元二次