专题08导数及其应用（考点清单14题型解读）（原卷版）

清单08导数及其应用【考点题型一】平均变化率与瞬时变化率问题1、平均的变化率的定义：.2、设物体运动路程与事件的关系是，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。【例1】（2324高二下·辽宁朝阳·期中）函数在上的平均变化率是（

）A． B．8 C． D．【变式11】（2324高二下·北京·期中）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（

）A． B．C． D．a和b的大小随着m，n的改变而改变【变式12】（2324高二下·广东佛山·期中）已知函数的图象上一点及附近一点，则（

）A． B．2 C． D．【变式13】（2324高二下·重庆·月考）（多选）一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（

）A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为2m/sC．该物体在第1s时的动能为16J D．该物体在第1s时的动能为8J【考点题型二】导数定义中极限的应用导数的形式化计算主要考查对导数概念的理解。需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。【例2】（2324高二下·河南·月考）已知函数，则（

）A．5 B．10 C．15 D．20【变式21】（2324高二下·湖北·期中）已知，则（

）A．－1 B．1 C．2 D．4【变式22】（2324高二下·河北邢台·期中）已知，则（

）A． B．2 C． D．【变式23】（2324高二下·江苏无锡·月考）已知是定义在上的可导函数，若，则.【考点题型三】求（复合）函数的导数1、导数的四则运算法则（1）加减法：（2）乘法：（3）除法：2、复合函数的求导法则一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法连接。【例3】（2324高二下·广东广州·期中）下列函数求导正确的是（

）A． B． C． D．【变式31】（2324高二下·北京·期中）下列导数运算错误的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则【变式32】（2324高二下·重庆·月考）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【变式33】（2324高二下·广东广州·期中）（多选）下列求导运算正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【考点题型四】“在”曲线上一点的切线问题求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。【例4】（2324高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【变式41】（2324高二下·广东深圳·月考）已知曲线在点处的切线方程是，则（

）A．2 B． C．1 D．【变式42】（2324高二下·湖南常德·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为.【变式43】（2324高二下·江西·月考）已知曲线在处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求曲线过点的切线方程.【考点题型五】“过”曲线上一点的切线问题求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．【例5】（2223高二下·辽宁·月考）过原点且与函数图像相切的直线方程是（

）A． B． C． D．【变式51】（2324高二下·江西赣州·月考）已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（

）A．24 B．或 C．45 D．0或45【变式52】（2324高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为（

）．A． B． C． D．【变式53】（2324高二下·河南·月考）过点可作的斜率为1的切线，则实数.【考点题型六】两条曲线的公切线问题求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点，则【例6】（2324高二下·湖北·月考）已知直线是曲线与的公切线，则（

）A． B．1 C． D．2【变式61】（2324高二下·江苏南通·月考）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（

）A．， B．，C．， D．，【变式62】（2223高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）．A．26 B．23 C．15 D．11【变式63】（2223高三下·安徽·开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为．【考点题型七】利用导数研究函数的单调性1、求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、含参函数讨论的（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。【例7】（2324高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．【变式71】（2324高二下·福建莆田·期中）已知函数，其单调增区间为；【变式72】（2324高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）讨论函数的单调性；【变式73】（2324高二下·吉林长春·期中）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的单调性．【考点题型八】已知函数的单调性求参数（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点【例8】（2324高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式81】（2324高二下·江苏·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式82】（2324高二下·安徽·月考）已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式83】（2324高二下·四川凉山·期中）已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为．【考点题型九】原函数与导函数的图象关系通过图象研究函数单调性的方法：（1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；（2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与轴的交点，分析导数的正负。【例9】（2324高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（

）A．， B．，C．， D．，，【变式91】（2324高二下·全国·期末）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【变式92】（2324高二下·吉林·期中）已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（

）A． B． C． D．【变式93】（2324高二下·安徽合肥·期中）已知函数的大致图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（

）A． B．C． D．【考点题型十】导数构造法解函数不等式关系式为“加”型构造：构造（2）构造（3）构造（4）构造（注意的符号）（5）构造关系式为“减”型构造：（6）构造（7）构造（8）构造（9）构造（注意的符号）（10）构造【例10】（2324高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式101】（2324高二下·山东枣庄·月考）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【变式102】（2324高二下·广东佛山·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式103】（2324高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（

）．A． B．C． D．【变式104】（2324高二下·贵州贵阳·月考）已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为.【考点题型十一】利用导数求函数的极值或极值点1、函数的极值（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2、利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）观察在每个根附近，从左到右导函数的符号如何变化．①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值．③如果在的根的左右侧的符号不变，则不是极值点．【例11】（2324高二下·广东潮州·期中）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（

）A．函数的增区间是B．函数的减区间是C．是函数的极小值点D．是函数的极小值点【变式111】（2324高二下·广东佛山·月考）函数的极大值点为．【变式112】（2324高二下·广东广州·期中）已知函数在和上为增函数，在上为减函数．（1）求的解析式；（2）求的极值．【变式113】（2324高二下·四川达州·期中）已知函数，的图象在处的切线交轴于点.（1）求实数的值；（2）求函数的极值.【考点题型十二】已知函数的极值或极值点求参数1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：=1\*GB3①求函数的导数；=2\*GB3②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。【例12】（2324高二下·宁夏吴忠·期中）若在处有极值，则（

）A．0 B． C．1 D．【变式121】（2324高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（

）A．0 B． C． D．6【变式122】（2324高二下·广东广州·期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式123】（2324高二下·安徽阜阳·期中）已知函数．（1）若，判断的单调性；（2）若在上没有极值点，求的取值范围．【考点题型十三】利用导数求函数的最值1、函数的最值（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．2、利用导数求函数最值的方法（1）若函数的图象是一条连续不断的曲线，在曲线内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点.（2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。【例13】（2324高二下·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值，最大值分别为（

）A．0， B．0， C． D．【变式131】（2324高二下·江西赣州·月考）函数的最大值是（

）A． B．0 C． D．3【变式132】（2324高二下·山东青岛·期中）函数在上的值域为（

）A． B． C． D．【变式133】（2324高二下·江苏·期中）已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）求在区间上的最小值．【考点题型十四】已知函数的最值求参数已知函数的最值求参数问题常用方法有函数图象法、导数法等。（1）图象法是较为直观的一种方法，通过观察函数的图象来判断函数的极值及其对应的参数值；（2）导数法：对于已知的函数，我们可以先求出其导数，然后找出导数为零的点或者导数变号的点，这些点就