暑期复习提升综合测试卷（测试范围选修二）

暑期复习提升综合测试卷考试时间：120分钟满分：150分测试范围：空间向量与立体几何+计数原理+概率统计一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，且，则A．10 B．100 C．1000 D．10000【分析】根据二项分布的数学期望计算公式，代入求值即可．【解答】解：因为，且，所以，解得．故选：．【点评】本题考查了二项分布的数学期望计算问题，是基础题．2．设随机事件，，已知，则A． B． C． D．【分析】根据条件概率的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式即可求解．【解答】解：由题意可知，，，，且事件与互斥，，同理，所以，．故选：．【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．3．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为A． B． C． D．【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解．【解答】解：，所以，故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．4．被9除的余数为A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．【解答】解：，，故被9除的余数为4．故选：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．5．托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为A． B． C． D．【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为（B），再分别分析，1，2三种情况求解即可．【解答】解：设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为（B），由题意可知，①，，②，，③，，根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为．故选：．【点评】本题主要考查条件概率，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．6．随机变量服从正态分布．若，则A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及条件概率公式，即可求解．【解答】解：，则，，故．故选：．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．7．为创建良好的生态环境，某地大力发展新能源产业，近4年该地新能源产业生产总值情况如下表所示：第年1234生产总值百万元32527395已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则利用该模型预测该地第六年的生产总值为A．136.5 B．137.5 C．138.5 D．139.5【分析】根据线性回归方程过样本中心点，，计算、，求出回归方程，再计算时的值即可．【解答】解：根据线性回归方程必过样本中心点，，计算，，代入回归方程得，所以，当时，．故选：．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．8．十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐．我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）．假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为A． B． C． D．【分析】利用定义作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解．【解答】解：如图，连接，交于点，连接，易知过点，取的中点，连接，，根据正八面体的几何特征，，，又平面，平面，平面平面，所以为二面角的平面角．易知平面，在面内，则，所以是直角三角形，又，，所以，所以．在中，，同理，在中，，故选：．【点评】本题考查二面角的求解，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法 B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法 C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法 D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法【分析】选项将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项采用捆绑法进行求解；选项采用插空法进行求解；选项根据先排语数英，再插空，可得结果．【解答】解：对于，有种排法，故正确；对于，采用捆绑法，有种排法，故正确；对于，采用插空法，有种排法，故正确；对于，先排语文课、数学课、英语，有1种，再在4个空里选一个，有4种排法，故错误．故选：．【点评】本题考查排列组合的性质的应用，属于基础题．10．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则下列事件的概率正确的是A．甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 B．甲、乙二人抢到的金额之和比另外三人之和多的概率是 C．甲抢到的金额比乙抢到的金额多的概率是 D．甲抢到的金额比乙抢到的金额多1元以上的概率是【分析】对于，甲、乙二人抢红包的事件数为，二人抢到的金额之和不低于3元的事件数为；对于，甲、乙二人抢到的金额之和比另外三人之和多的事件数为；对于，甲抢到的金额比乙抢到的金额多的事件数为；对于，甲抢到的金额比乙抢到的金额多1元以上的事件数为3．【解答】解：对于，甲、乙二人抢红包的事件数为，二人抢到的金额之和不低于3元的事件数为，所以甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为，正确；对于，甲、乙二人抢到的金额之和比另外三人之和多的事件数为，其概率为，错误；对于，甲抢到的金额比乙抢到的金额多的事件数为，其概率为，正确；对于，甲抢到的金额比乙抢到的金额多1元以上的事件数为3，其概率为，错误．故选：．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属中档题．11．已知正方体、的棱长为1，点是对角线、上异于、的动点，则A．当是的中点时，异面直线与所成角的余弦值为 B．当是的中点时，、、、四点共面 C．当平面时， D．当平面时，【分析】连接，，则异面直线与所成角即与所成角为，从而判断；再根据平面，可判断；根据线面平行的判定可得平面平面，进而得到当平面时，为与平面的交点，结合线面垂直的判定与性质可得，可判断；进而结合三角函数的关系求出当平面时，，判断．【解答】解：当是的中点时，连接，，由题意得，，三点共线，连接，则异面直线与所成角即，，故正确；平面，当是的中点时，、、、四点不共面，故错误；连接，，，，由正方体的性质得，，，，，平面平面，平面，为与平面的交点，，，，平面，，同理，，平面，，故正确；，，，故正确．故选：．【点评】本题考查异面直线所成角的定义、线面平行的判定、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为．【分析】求出展开式的通项公式，令的指数为1，进而可以求解．【解答】解：展开式的通项公式为，，1，，5，令，解得，则的系数为，故答案为：．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．13．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.85．【分析】利用全概率公式求解．【解答】解：由题意可知，这个灯泡是合格品的概率为．故答案为：0.85．【点评】本题主要考查了全概率公式，属于基础题．14．正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足．记直线与平面所成的角为，则的取值范围为．【分析】建立空间直角坐标系，设，由，得到，根据，得到或，然后利用向量法求解．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：则，设，所以，因为，所以，则，因为，则，解得或，易知平面的一个法向量为，1，，所以，则，所以，故答案为：．【点评】本题考查了直线与平面所成的角，考查了转化思想，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏．其规则是：将沙包扔向指定区域内，该区域共分为，，三个部分．如果扔进部分一次，或者扔进部分两次，或者扔进部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏．小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进部分的概率为，扔进部分的概率是扔进部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立．（1）若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为，求；（2）设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为，试比较，的大小．【分析】（1）由题意可知，恰好游戏过关包含“第一次未扔中部分，第二次扔中部分”和“第一次与第二次均扔中部分”两个事件，然后求解即可；（2）第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进部分且有两次扔进部分，根据独立重复事件的概率计算即可．【解答】解：扔进部分的概率为，扔进部分的概率为，且．（1）小杨第二次扔完沙包后，恰好游戏过关包含“第一次未扔中部分，第二次扔中部分”和“第一次与第二次均扔中部分”两个事件，则概率为，由，得，解得或者，又，所以．（2）第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进部分且有两次扔进部分，因此，又，，又，所以，当时，，；当时，，；当时，，．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．16．某公司对400名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用．公司对400名求职员工的测试得分（测试得分都在，内）进行了统计分析，得分不低于90分为“优”，得分低于90分为“良”，得到如下的频率分布直方图和列联表．男女合计优（得分不低于90分）80良（得分低于90分）120合计400（1）完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联；（2）该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案．按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取9个人的样本，并在9人中再随机抽取5人进行调查，记5人中男性的人数为，求的分布列以及数学期望．参考公式：，．0.150.10.050.012.0722.7063.8416.635【分析】（1）由已知数据完善列联表，计算相关系数后与临界值比较可得；（2）求出9人中男性和女性的人数，然后由求出的各概率得分布列，由期望公式计算期望．【解答】解：（1）得分不低于90分的人数为：，所以填表如下：男女合计优（得分不低于90分）8040120良（得分低于90分）160120280合计240160400根据列联表中的数据，经计算得到．所以依据小概率的独立性检验，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联．（2）得分为优秀的男女比例为，所以9人中男性有6人，女性有3人．因此的可能值为2，3，4，5，；；；．所以的分布列为：2345的数学期望为：．【点评】本题主要考查分布列和独立性检验，属于中档题．17．某地区2015年至2021年农村居民家庭，人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：年份2015201620172018201920202021年份代号1234567人均纯收入1112.413.915.717.318.220（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．【分析】（1）由表中数据求得与，进一步求得与，可得关于的线性回归方程；（2）在（1）中求得的回归方程中，取求得得答案．【解答】解：（1），．，，，．关于的线性回归方程为；（2）由表中数据可知，2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，在中，取，可得．预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入23千元．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面与平面相互垂直，、分别为、的中点．（1）求证：；（2）若二面角的余弦值为，求的值．【分析】（1）根据给定条件，证明，再利用线面垂直、面面垂直的性质推理作答．（2）取的中点，连接，以为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答．【解答】（1）证明：在四棱锥中，是正三角形，是的中点，则，又平面平面，平面平面，平面，则有平面，而平面，所以．（2）解：取的中点，连接，在直角梯形中，，、分别为、的中点，则，