第二十一章一元二次方程（B卷培优卷单元重点综合测试）

第二十一章一元二次方程（B卷·培优卷）考试时间：120分钟，满分：120分一、选择题：共10题，每题3分，共30分。1．（本题3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：A、该方程没有规定，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程不是整式方程，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．（本题3分）如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（

）A．3 B． C． D．0或【答案】B【分析】把x=0代入方程（m3）x2+3x+m29=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．【详解】解：把x=0代入方程（m3）x2+3x+m29=0中，得m29=0，解得m=3或3，当m=3时，原方程二次项系数m3=0，舍去，∴m=3故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.3．（本题3分）下列说法正确的是（）A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0C．只有当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程D．当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误；C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误；D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．4．（本题3分）解方程的最适当的方法是（）A．直接开平方法 B．配方法C．公式法 D．分解因式法【答案】D【分析】根据解一元二次方程的方法，逐一判断即可解答．【详解】解：∵方程的两边都有因式3x1，∴把方程右边的2(3x2)移到方程的左边，可以提公因式进行因式分解，∴解方程的最适当的方法是分解因式法，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．5．（本题3分）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程的根为，∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根，∴，∴满足要求的方程为：，故选：D．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．6．（本题3分）关于的一元二次方程的根的情况是（

）A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根C．无实数根 D．不能确定【答案】A【详解】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.【详解】，△=[(k+3)]24k=k2+6k+94k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b24ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．7．（本题3分）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（

）A．0 B．±3 C．3 D．－3【答案】D【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．【详解】解：∵，∴，由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，解得：m＝－3，故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键．8．（本题3分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】设邀请队参赛，根据“计划安排21场比赛，”可列出方程，解出即可．【详解】解：设邀请队参赛，根据题意得：，解得：或（不合题意，舍去）答：邀请7队参赛．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．9．（本题3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644D．100x+80x=356【答案】C【详解】设道路的宽应为x米，由题意有（100x）（80x）=7644，故选：C．10．（本题3分）如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①，即系数和为0，说明原方程有一根是1，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△；②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了；④把代入得到，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根．【详解】解：①若，方程有一根为1，又，则，正确；②由两根关系可知，，整理得：，正确；③若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确；④由，，所以④正确．故选．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．也考查了一元二次方程根的判别式．二、填空题：共6题，每题3分，共18分。11．（本题3分）关于x的方程是一元二次方程，则m=．【答案】【分析】由一元二次方程的定义回答即可．【详解】解：方程是一元二次方程，且．解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．12．（本题3分）若a是方程的解，则代数式的值为．【答案】【分析】根据a是方程的解，得出，再根据求解即可．【详解】解：∵a是方程的解，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，解本题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程解的定义．13．（本题3分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为．【答案】8或9【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，因此有，解得，则方程为，解得另一个根为，此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，因此，根的判别式，解得，则方程为，解得方程的根为，此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；综上，的值为8或9，故答案为：8或9．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．14．（本题3分）用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是．【答案】4，3【分析】设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据题意得：x（7﹣x）=12解得：x1=4，x2=﹣3（舍去）．当x=4时，∴7﹣x=3．故答案为4，3．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（本题3分）若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝．【答案】或1【详解】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，

整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，

解得：x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案为：或1．16．（本题3分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有（填序号）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，则；③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，则必有．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【详解】①解方程，得，，方程不是“倍根方程”．故①不正确；②是“倍根方程”，且，因此或．当时，，当时，，，故②正确；③，，，，因此是“倍根方程”，故③正确；④方程的根为，若，则，即，，，，，，若，则，，，，，．故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。17．（本题4分）解方程（1）

（2）【答案】（1），；（2），【分析】（1）先移项，再直接开平方即可；（2）先移项，再因式分解即可．【详解】解：（1）移项得两边直接开平方得，（2）移项得提取公因式得即∴或解得，【点睛】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的几种常用的方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适，简便的方法是解题的关键．18．（本题4分）2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？【答案】一共有12个球队参赛．【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，理解关系即可列出方程．【详解】解：设一共有个球队参赛，根据题意得：，整理得：，解得：，(不符合题意，舍去)，答：一共有12个球队参赛．19．（本题6分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【详解】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．20．（本题6分）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？【答案】每只病鸡传染健康鸡12只【分析】设每只病鸡传染健康鸡只，则第一天有只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡只，由题意得：，整理，得，解，得，（不符合题意舍去）．答：每只病鸡传染健康鸡12只．21．（本题8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）k＜﹣1．【分析】根据一元二次方程的解及定义，（1）根据公式法可知当≥0时，方程总有两个实数根；（2）通过因式分解法求出两根，可得其中一个为实数、一个为k＋1，再根据方程一根小于0即可求出本题答案.【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（k＋3）]2﹣4×1×（2k＋2）＝k2﹣2k＋1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0，即（x﹣2）[x﹣（k＋1）]＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1．∵方程有一个根小于0，∴k＋1＜0，∴k＜﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.22．（本题10分）某商城在年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元．(1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率；(2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？【答案】(1)；(2)元．【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据续两次降价后以每台元售卖列式求解即可得到答案；（2）设每台冰箱的售价应定为m元，根据利润列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，由题意可得，，解得：，（不符合题意舍去），答：每次降价的百分率是；（2）解：设每台冰箱的售价应定为m元，由题意可得，，解得：，答：每台冰箱的售价应定为元．【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题及平均变化问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列方程．23．（本题10分）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．(1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，则，，；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为．(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．【答案】(1)；；；(2)10(3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值；（2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．【详解】（1）解：由题意得，；∵a是正整数，∴也是正整数，∴当a越大时，b也越大，根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24，∴的最大值为；故答案为：；；；；（2）解：根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．∴最小数是10；（3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），∵时，在最后一列，假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．24．（本题12分）如图所示，中，，．

(1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为?(2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于?(3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为?【答案】(1)点之间的距离不可能为(2)秒或秒(3)秒或秒或秒【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键．（1）设经过秒，点之间的距离为，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过秒，使的面积等于，根据三角形面积公式列式求解即可；（3）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在射线上；③点在射线上，点在射线上．【详解】（1）解：设经过秒，点之间的距离为，则，，，在中，，故，化简得：，，故方程无解，故点之间的距离不可能为；（2）解：设经过秒，使的面积等于，则，，，由题意得：，解得，故经过秒或秒，的面积等于；（3）解：①点在线段上，点在线段中，设经过秒，，依题意得：，，，由题意得：，解得（舍去），，故符合题意；②点在线段上，点在射线中，设经过秒，，依题意得：，，，由题意得：，，解得符合题意；③点在射线上，点在射线中，设经过秒，，依题意得：，，，由题意得：，解得，（舍去），故符合题意；综上所述，经过秒，秒，秒后的面积为．2