预习第12讲直线的交点坐标与距离公式2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性）

第12讲直线的交点坐标与距离公式1.会求两直线的交点；2.会求两点间的距离；3.会求点到直线和两平行线间的距离；1两条直线的交点设两条直线的方程是l1:两条直线的交点坐标就是方程组A1x+(1)若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；(3)若方程组有无数个解，则两条直线重合.2经过两直线交点的直线系过两条已知直线l1:AA(λ∈R,这个直线系下不包括直线l2:A23两点距离公式平面上的两点P1(x4两点距离公式的几何意义几何问题与代数问题间可相互转化.形如d=x2-x125点到直线的距离公式点P0(x0,6两平行直线间的距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+

【题型一】求两直线交点相关知识点讲解设两条直线的方程是l1:两条直线的交点坐标就是方程组A1x+(1)若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；(3)若方程组有无数个解，则两条直线重合.【典题1】过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（）A．3x+y-1=0 B．3x+y+1=0 C．x-3y+13=0 D．x-3y+6=0【答案】C【分析】通过解方程组，结合互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.【详解】由3x+y-1=0x+2y-7=0可得两直线交点P由第一条直线的斜率为-3，得到所求直线的斜率为k=1∴所求直线的方程为：y-4=13(x+1)故选：C变式练习1.经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线2x-y-1=0的直线方程为（

）A．x-2y-6=0 B．x+2y-2=0C．2x-y-3=0 D．2x+y-2=0【答案】B【分析】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可.【详解】由题知：2x-3y+10=03x+4y-2=0，解得：x=-2y=2，交点直线2x-y-1=0的斜率为2，所求直线斜率为-1所求直线为：y-2=-12(x+2)故选：B.2.已知直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直，则它们的交点坐标为()A．-1,-3 B．-2,-1C．-12,-1【答案】B【分析】先根据垂直关系求解出k的值，然后联立直线方程可求交点坐标.【详解】因为2x+y+5=0与kx+2y=0互相垂直，所以2k+2=0，所以k=-1，所以2x+y+5=0x-2y=0，解得x=-2所以交点坐标为-2,-1，故选：B.3.若曲线y=kx及y=x+kk>0能围成三角形，则k的取值范围是(A．0<k<1 B．0<k≤1 C．k>1 D．k≥1【答案】C【分析】考虑当x>0时射线y=kx与直线y=x+k有交点即可.【详解】曲线y=kx由两条射线构成，它们分别是射线y=-kx,x≤0及射线y=kx,x>0因为方程y=-kxy=x+kx≤0的解x=-kk+1，故射线若曲线y=kx及y=x+kk>0能围成三角形，则方程故x=kk-1>0，因此【点睛】本题考虑直线的位置关系，属于基础题，注意直线的位置关系可以转化方程组解来处理.4.直线l1:x+m+1y-2m-2=0与直线l2:m+1x-y-2m-2=0相交于点P，对任意实数m，直线l1,lA．4 B．8 C．22 D．【答案】A【分析】首先求点A,B的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解.【详解】直线l1:x+y-2+my-2=0，当即点A0,2直线l2:x-y-2+mx-2=0，当x-y-2=0x-2=0且两条直线满足1×m+1+m+1×-1PA2PA+PB≤所以PA+PB故选：A【题型二】过两直线交点的直线系相关知识点讲解1经过两直线交点的直线系过两条已知直线l1:AA(λ∈R,这个直线系下不包括直线l2:A22直线的位置关系(1)若直线l1:A1x+B则A1(2)若直线l1:A1x+B则A1【典题1】过直线3x-2y+3=0与x+y-4=0的交点，与直线2x+y-1=0平行的直线方程为（

）A．2x+y-5=0 B．2x-y+1=0C．x+2y-7=0 D．x-2y+5=0【答案】A【分析】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得.【详解】由已知，可设所求直线的方程为：(3x-2y+3)+λ(x+y-4)=0，即(λ+3)x+(λ-2)y+3-4λ=0，又因为此直线与直线2x+y-1=0平行，所以：λ+32解得：λ=7，所以所求直线的方程为：10x+5y-25=0，即2x+y-5=0．故选：A．变式练习1.过两直线l1:x-3y+4=0和l2A．3x19y=0 B．19x3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】设过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原点坐标，得4+5λ=0，求解即可.【详解】设过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原点坐标，得4+5λ=0，解得λ=-4故所求直线方程为x-3y+4-45(2x+y+5)=0故选：D.2.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（

）A．x+y+1=0 B．x-y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x-y+1=0或x+y+1=0【答案】C【分析】设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.【详解】解：设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0，即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0令x=0，得y=7λ-6令y=0，得x=7λ-6由7λ-62+5λ得λ=13或所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.故选：C.【点睛】此题是一道中档题也是一道易错题，要求学生会利用待定系数法求直线的方程，学生做题时往往会把过原点的情况忽视导致答案不完整.【题型三】求各种距离相关知识点讲解1两点距离公式平面上的两点P1(x证明P12两点距离公式的几何意义几何问题与代数问题间可相互转化.形如d=x2-x123点到直线的距离公式点P0(x0,证明过点P作PQ⊥l交直线l与Q，设A≠0,B≠0，由PQ⊥l，以及直线l的斜率为-AB，可得l的垂线PQ的斜率为因此，垂线PQ的方程为y-y0=解方程组&Ax+By+C=0得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为B2于是PQ因此点P0(x0,当A=0或B=0时，上述公式仍然成立.(也可以用向量的方法证明)【例】点P(1,2)到直线3x+4y-12=0的距离为.解由点到直线的距离公式得d=|3+8-12|4两平行直线间的距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+证明在直线Ax+By+C1=0上任取一点Px0,y因为点Px0,y0在直线Ax+By+C1【例】两平行线3x-2y-15=0与3x－2y+11=0的距离为________解由两平行直线距离公式得d=|11-(-15)|【典题1】点A-1,1,B2,3，点P在x轴上，则PAA．27 B．5 C．4 D．【答案】B【分析】求得A-1,1关于x轴的对称点A1-1,-1【详解】如图所示，A-1,1关于x轴的对称点为A1则PA+当B,P,A又BA故PA+PB故选：B.【典题2】直线l过点P1,2，A2,3和B4,-5两点到直线l的距离相等，则直线lA．4x+y-9=0或3x+2y-8=0 B．4x+y-6=0或3x+2y-7=0C．4x+y-9=0或2x+3y-8=0 D．4x+y-9=0或2x+3y-8=0【答案】B【分析】分类讨论直线l斜率存在与否，利用点线距离公式判断或得到方程，解之即可.【详解】依题意，得当直线l斜率不存在时，直线l为x=1，此时A2,3到直线l的距离为1，B4,-5到直线l的距离为当直线l斜率存在时，设直线l为y-2=kx-1，即kx-y-k+2=0因为A2,3和B4,-5两点到直线所以2k-3-k+2k2+1=4k+5-k+2k2所以直线l为y-2=-4x-1或y-2=-32x-1，即故选：B.【典题3】设直线l1:x-2y-2=0与l2关于直线l:2x-y-4=0A．11x+2y-22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y-11=0 D．10x+y-22=0【答案】A【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线l2上一点，即可求解【详解】联立x-2y-2=02x-y-4=0，得x=2取直线l1:x-2y-2=0上一点0,-1，设点0,-1关于直线l:2x-y-4=0的对称点为a,b，则b+1a直线l2的斜率k=-112，所以直线l整理为：11x+2y-22=0.故选：A变式练习1.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点，且AB=AC，则实数a的值为（A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可【详解】由两点间的距离公式，及AB=AC可得：(a+2)2故选：A2.已知点A0,3及直线l:x+y-1=0上一点B，则AB的值不可能是（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】求出点A到直线l的距离d=2，易知AB≥d【详解】易知点A0,3到直线l:x+y-1=0的距离为d=所以AB≥因此AB的值不可能是1.故选：A3.直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于2的点的坐标是（

）A．(-4,5) B．(-3,4)C．(-3,4)或(-1,2) D．(-4,5)或(0,1)【答案】C【分析】设所求点坐标为x0,【详解】设所求点的坐标为x0,y0，有两式联立解得x0=-3y故选：C4.已知A-3,-4，B6,3两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求a的值（A．13 B．-97 C．-13或-【答案】C【分析】利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可．【详解】因为点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，所以|-3a-4+1|a2+1化简得27a2+30a+7=0，解得a=-故选：C.5.设点P，Q分别为直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0上的任意一点，则PQ的最小值为（

）A．1 B．2 C．1710 D．【答案】C【分析】因为直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值为直线6x+8y-14=0与直线6x+8y+3=0距离，求解即可.【详解】由直线3x+4y-7=0可得6x+8y-14=0，所以直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值为直线6x+8y-14=0与直线6x+8y+3=0距离，所以d=3-故选：C.6.点P(cosθ,sinθ)到直线A．125,175 B．75,【答案】C【分析】由点到距离公式把距离表示成θ的三角函数，根据三角函数性质求得距离的取值范围.【详解】由点到直线距离公式有：P到直线的距离为d=3其中sinφ=由三角函数性质易知，5sin故d∈7故选：C.7.若平面内两条平行线l1：x+a-1y+2=0与l2：ax+2y+1=0间的距离为35A．1 B．2 C．l或2 D．2或l【答案】A【分析】根据题意，利用分类讨论思想，结合平行直线的性质以及距离公式，可得答案.【详解】①当a=1时，可得l1:x+2=0，l2②当a≠1时，可得直线l1的斜率k1=11-a由11-a=-a2，整理可得a2-a-2=0，则当a=2时，可得l1:x+y+2=0，l2:2x+2y+1=0，整理由两平行直线之间的距离2-1当a=-1时，可得l1:x-2y+2=0，l2:-x+2y+1=0，整理由两平行直线之间的距离2+11+4=综上可得a=-1.故选：A.8.如图所示，已知三角形的三个顶点为A2,4(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上的高AD所在直线的方程；(3)三角形ABC的面积.【答案】(1)5x+3y+1=0；(2)3x-5y+14=0；(3)23【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得BC所在直线的方程；（2）先求得直线AD的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得AD所在直线的方程；（3）利用点到直线距离公式求得BC边上的高，再利用两点间距离公式求得BC边的长，进而求得三角形ABC的面积.【详解】（1）因为B1,-2所以直线BC的两点式方程为y+23+2化简得5x+3y+1=0；（2）因为kBC=-2-3则kBC⋅k则直线AD的方程为y-4=3即3x-5y+14=0.（3）点A2,4到直线BC：5x+3y+1=0AD=又△ABC的底边BC=所以△ABC的面积为S=1【题型四】综合性问题【典题1】在平面直角坐标系中，已知点Pa,b满足a+b=1，记d为点P到直线x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据直线l:x-my-2=0过定点A确定出对于给定的一点P，d取最大值时PA⊥l且dmax=PA，然后根据点P为正方形上任意一点求解出PA【详解】直线l:x-my-2=0过定点A2,0对于任意确定的点P，当PA⊥l时，此时d=PA当PA不垂直l时，过点P作PB⊥l，此时d=PB因为PB⊥AB，所以PA>PB，所以由上可知：当P确定时，dmax即为PA，且此时PA⊥l又因为P在如图所示的正方形上运动，所以dmax当PA取最大值时，P点与M-1,0重合，此时PA所以dmax故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析d取最大值时PA与直线l的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.变式练习1.10x2-6x+1A．3 B．22 C．355【答案】D【分析】由题意，分析10x2【详解】由题意知，10x设P(x,0),M(3则(x-310)如图，作点M(310,110)关于与x轴的交点即为所求点P，此时PM+PN取得最小值，为而NM即(x-310)所以10x2-6x+1故选：D2.设x＋2y＝1，x≥0，y≥0，则x2＋y2的最小值和最大值分别为()A．15，1 B．0C．0，15 D．15【答案】A【详解】如图2，在直角坐标系中，x+2y=1表示直线，记d2=x2+y即dmin2=(1×0+2×0-112+2

点睛：本题主要考查了点到直线的距离公式和直线方程的应用，解答中把x2+y2转化为直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线x+2y=1的距离的平方即3.已知x,y∈R+，满足2x+y=2，则x+xA．54 B．85 C．1 D【答案】B【分析】先求出点O关于线段2x+y=2的对称点C的坐标，且有x2+【详解】如图，过点O作点O关于线段2x+y=2的对称点C，则PO=设Cx0,y0，则有y设Px,y，则PO=x又x,y∈R+，所以点P到y轴的距离为所以x+x2+y2可视为线段2x+y=2上的点Px,y过P作PD⊥x轴，过点C作CH⊥x轴，显然有PD+PC≥CD≥CH，则CH为所求最小值，此时CH与线段AB易得CH=85，所以x+故选：B．【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为点Px,y到y轴的距离与到C84.已知在△ABC中，其中B(1,4)，C(6,3)，∠BAC的平分线所在的直线方程为x-y+1=0，则△ABC的面积为（

）A．52 B．102 C．8 D【答案】C【分析】首先求得直线x-y+1=0与直线BC的交点D的坐标，利用D到直线AB,AC的距离相等列方程，解方程求得A点的坐标.利用A到直线BC的距离以及BC的长，求得三角形ABC的面积.【详解】直线BC的方程为y-4=-15x-1由x+5y-21=0x-y+1=0解得D设Aa,a+1,a≠83，直线AB,ACa-3x-a-1y+3a-1，a-2x-a-6y-3a-6=0a-3×2a-1632a2a2-83a=0，解得a=0所以A0,1到直线BC的距离为5-2112+5故选：C

【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5.某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中AB=40，BC=15，O为AB上一点（不与端点重合），且BO=10，线段OC，OD，MN为表演队列所在位置（M，N分别在线段OD，OC上），△OCD内的点P为领队．位置，且点P到OC(1)当d为何值时，P为队列MN的中点？(2)求观赏效果最好时△OMN的面积．【答案】(1)13(2)654【分析】（1）建立平面直角坐标系，易得OC:y=32x；OD：y=-12x，可设Pa,ba<0,b>0，M-2m,m，N（2）由M，N，P【详解】（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则C10,15，B10,0，∴直线OC的方程为y=32x，直线OD设Pa,ba<0,b>0，M-2m,m由题意得32a-b94+1=∴P-2,72．∵P为MN的中点，∴-2m+n=-4∴M-132,∴当d=1354时，P（2）由M，N，P三点共线，得m-7∴S△OMN又∵5n+13当且仅当25m2n=169n∴观赏效果最好时△OMN的面积为654【A组基础题】1.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0【答案】A【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】2x＋3y因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直所以所求直线方程：4x－3y＋9＝0故选A2.已知Aa,-5与B0,10两点间的距离是17，则a的值为(A．8 B．266 C．±266 D【答案】D【分析】直接用两点间得距离公式计算即可.【详解】由两点间的距离公式得：a-02+-5-10故选：D3.过点P1,1引直线，使A2,3，B4,-5A．4x+y-5=0 B．x+4y-5=0C．x+y-2=0或4x+y-5=0 D．x+y-2=0或x+4y-5=0【答案】C【分析】当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求解即可.【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为x=1，A2,3，B4,-5到它的距离分别为1，当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x-1)，即kx-y-k+1=0，由A2,3，B得2k-3-k+1k2+1=4k+5-k+1k2+1，解得故选：C.4.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x-a2+y-b2可以转化为点x,y到点a,b的距离，则A．3 B．22+1 C．23【答案】D【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.【详解】x2可以看作点Px,0到点A作点A关于x轴的对称点A'0,-1，显然当最小值为B,A'间的距离故选：D.5.若P(2,3)既是Aa1，b1、Ba2，b2的中点A．3x-2y=0 B．3x-2y-12=0C．2x-3y-13=0 D．2x-3y+5=0【答案】A【分析】直线l1:a1x+b1y-13=0与直线l2【详解】解：直线l1:a(a把点P代入可得：kAB∴线段AB的中垂线方程是y-3=32(x-2)故选A．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知直线2x+y-3=0与直线4x-my-3=0平行，则它们之间的距离是【答案】3【分析】利用两条直线平行的条件、平行直线的距离公式运算即可得解.【详解】解：∵直线2x+y-3=0与直线4x-my-3=0平行，∴24=1∴直线4x+2y-3=0，又∵直线2x+y-3=0可化为4x+2y-6=0，∴两平行线之间的距离d=-3-7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A3,1，B4,2，C2,3，则△ABC【答案】x+y-5=0【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知，△ABC的重心为G3,2可得直线AB的斜率为1-23-4=1，则AB边上高所在的直线斜率为则方程为y-3=-x-2，