~615数乘向量向量的线性运算

6.1

平面向量及其线性运算

6.1.4~6.1.5

数乘向量

向量的线性运算第六章平面向量初步人教版高中数学B版必修二一二三一、数乘向量1.填空.2.数乘的几何意义是什么提示:向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.当λ>0时,沿着a的方向扩大(λ>1)或缩小(0<λ<1)λ倍;当λ<0时,沿着a的反方向扩大(|λ|>1)或缩小(|λ|<1)|λ|倍.一二三3.做一做:思考辨析(1)对于任意的向量a,总有0·a=0.(

)(2)当λ>0时,|λa|=λa.(

)(3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×解析:(1)0·a=0;(2)|λa|=λ|a|(λ>0).(3)当λ<0时,-λ>0,a与-λa的方向相同.一二三二、数乘向量与线性运算律1.填空.(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.2.如何理解向量数乘的运算律提示:(1)向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似,只是向量数乘分配律由于因子的不同,可分为(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb.(2)向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义.所以证明此运算律的关键,是证明等式两边向量的模相等且方向相同.并对各种可能的情况,做全面的讨论.一二三三、向量的线性运算1.填空.向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.a-bb-a

C.b-a D.a-b答案:B探究一探究二思维辨析当堂检测向量的线性运算例1化简下列各式:(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;(3)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).分析:根据向量的加法、减法及数乘运算化简即可.解:(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.(3)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟向量数乘运算的方法总结(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.探究一探究二思维辨析当堂检测(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.探究一探究二思维辨析当堂检测用已知向量表示未知向量

探究一探究二思维辨析当堂检测分析:先用向量加减法的几何意义设计好总体思路,然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示.探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟已知向量表示未知向量的策略用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的有关定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用.探究一探究二思维辨析当堂检测延伸探究1本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,试用a,b表示

.解:因为DG∥AB,所以△DFG∽△BFA,探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测向量共线问题——数学方法答案:A,B,D探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练已知m,n是不共线向量,a=3m+4n,b=6m-8n,判断a与b是否共线.解:若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb,即3m+4n=λ(6m-8n).∵