江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九上数学第一次月考试卷一．选择题（共9小题）1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是（）A．r＝ B．r＞ C．3＜r＜4 D．2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或13．一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2﹣13x+15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．8 B．11.5 C．10 D．8或11.54．已知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则﹣的值为（）A． B． C．﹣1 D．15．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．无法求解6．已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝4t2﹣4t﹣5m+4，则（）A．y＞﹣2 B．y≥﹣2 C．y≤﹣2 D．y＜﹣27．已知关于x的方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，则这条抛物线的顶点坐标为（）A．（2，﹣3） B．（2，1） C．（2，5） D．（5，2）8．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+2（a≠0）与y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．9．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1）二．填空题（共11小题）10．已知关于x的方程（m+2）x2+4mx+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是．11．方程x2﹣2021x＝0中较小的根是．12．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），则△OAB外接圆的圆心坐标是．13．若一个三角形两条边长为和2和4，第三边长满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为．14．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为．16．若一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是．17．已知a﹣b＝8，ab+16≤0，则a+2b的值为．18．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则阴影部分面积为（结果保留π）．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是.（填序号）20．当x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为．三．解答题（共7小题）21．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD＝CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．22．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝++3，求c的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＝3，求m的值．24．矩形ABCD中，AB＝17，BC＝，点P在AB边上，且满足AP＝3PC，求PB之长．25．已知CD为△ABC的中线，∠A及∠BDC的度数分别是方程x2﹣75x+1350＝0的两根．（1）求∠A及∠BDC的度数；（2）求∠B的度数．26．在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为．（2）求代数式x2+10x+32的最小值．（3）你认为代数式﹣+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．（4）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．27．如图一，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．（1）求证：∠CAD＝∠BAC；（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．【解答】解：如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，由勾股定理知，AB＝＝5．∵S△ABC＝AC•BC＝CD•AB＝×3×4＝×5•CD，∴CD＝，即R的取值范围是＜r≤3．故选：D．2．【解答】解：把x＝0代入方程得：|a|﹣1＝0，∴a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a＝﹣1．故选：A．3．【解答】解：解方程2x2﹣13x+15＝0得：x＝5或1.5，①当等腰三角形的三边为5，5，1.5时，能组成三角形，三角形的周长是5+5+1.5＝11.5，②当等腰三角形的三边为1.5，1.5，5时，，1.5+1.5＜5，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去，∴该等腰三角形的周长是11.5．故选：B．4．【解答】解：∵知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，即a（a+1）＝1，∴﹣＝＝＝1．故选：D．5．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），在方程a（x+m+2）2+b＝0中，x+2＝﹣2或x+2＝1，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，故选：C．6．【解答】解：∵方程有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×m≥0，解得m≤1，∵方程x2﹣x+m＝0的根为t，∴t2﹣t+m＝0，∴4t2﹣4t+m＝0，即4t2﹣4t＝﹣m，∴y＝4t2﹣4t﹣5m+4＝﹣m﹣5m+4＝﹣6m+4，∵m≤1，∴y≥﹣2．故选：B．7．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．故选：C．8．【解答】解：∵y＝ax+2，∴b＝2，∴一次函数图象与y轴的正半轴相交，①当a＞0时，则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，②当a＜0时，则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＞0，故D正确；故选：D．9．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4．当x＝﹣3时，y＝（x+1）2﹣4＝0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．二．填空题（共11小题）10．【解答】解：由题意得：m+2≠0，解得：m≠﹣2，故答案为：m≠﹣2．11．【解答】解：∵x2﹣2021x＝0，∴x（x﹣2021）＝0，则x＝0或x﹣2021＝0，解得x1＝0，x2＝2021，∴方程x2﹣2021x＝0中较小的根是0，故答案为：0．12．【解答】解：∵△AOB是直角三角形，∴△OAB外接圆的圆心是斜边AB的中点，∵点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），∴△OAB外接圆的圆心坐标是（，），故答案为：（，）．13．【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，则x﹣2＝0或x﹣5＝0，解得：x＝2或x＝5，当x＝2时，三边2+2＝4，不能构成三角形；当x＝5时，此三角形的周长为2+4+5＝11，故答案为：1114．【解答】解：由已知得：，即，解得：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．15．【解答】解：如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．∵AC是直径，∴∠APC＝90°，∵BE＝EA，BM＝MP，∴EM∥PA，同理FM∥PC，∴∠BME＝∠BPA，∠BMF＝∠BPC，∴∠BME+∠BMF＝∠BPA+∠BPC＝90°，∴∠EMF＝90°，∴点M的轨迹是（EF为直径的半圆，图中红线部分），∵BC＝AC，∠ACB＝90°，AB＝8，∴AC＝BC＝4，∵AE＝EB，BF＝CF＝2，∴EF＝AC＝2，EF∥AC，∴∠EFB＝∠EFC＝∠ACB＝90°，OE＝OF＝OM＝，∴OC＝＝＝，∵CM≥OC﹣OM，∴CM≥﹣．则CM的最小值为．故答案为：﹣．16．【解答】解：由一元二次方程x2﹣x+k＝0可知，a＝1，b＝﹣1，c＝k，∵方程有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣1）2﹣4k≥0，解得k≤．故答案为：k≤．17．【解答】解：∵a﹣b＝8，∴a＝8+b，∵ab+16≤0，∴（8+b）b+16＝b2+8b+16＝（b+4）2≤0，∴（b+4）2＝0，∴b＝﹣4，a＝4，∴a+2b＝4+2×（﹣4）＝﹣4，故答案为：﹣4．18．【解答】解：在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，AB＝2OB＝8，∴OA＝＝＝4，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠DOA＝∠AOB﹣∠BOD＝30°，∴∠DOA＝∠A，∴DO＝DA，过D作DC⊥OA于C，∴OC＝AC＝OA＝2，在Rt△ODC中，∵∠DOA＝30°，∴CD＝OD＝OB＝×4＝2，∴S阴影＝S△AOD﹣S扇形＝×4×2﹣＝4﹣，故答案为：4﹣．19．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，∴﹣＝2，c＝0，∴b＝﹣4a，c＝0，∴4a+b＝0，结论②正确；③∵当x＝﹣1时，y值为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④由图象得二次函数与x轴交点有两个知，b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故答案为：①②④．20．【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，①m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±，∵m＝都不满足﹣1≤m≤1的范围，∴m＝﹣；②m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．综上所述，m＝﹣或2时，二次函数有最大值4．故答案为：2或．三．解答题（共7小题）21．【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD．（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4＝∠5，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE．由（1）知：BD＝CD∴DB＝DE＝DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）22．【解答】解：∵a﹣2≥0，a﹣2≤0，∴a＝2，∴b＝3，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是1，∴a+b+c＝0，∴2+3+c＝0，∴c＝﹣5．23．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（﹣m2）＝16+4m2．∵m2≥0，∴16+4m2＞0，即Δ＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵方程x2﹣4x﹣m2＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣m2．又∵x1x2+x1+x2＝3，∴﹣m2+4＝3，即m2＝1，解得m＝±1．故m的值为±1．24．【解答】解：设PB为x，则AP＝17﹣x，∵AP＝3PC，∴PC＝，在Rt△PBC中，PC2＝PB2+BC2，∴x2+21＝（）2，∴4x2﹣17x﹣50＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣（不符合题意舍去），答：PB之长为2．25．【解答】解：（1）x2﹣75x+1350＝0，（x﹣30）（x﹣45）＝0，x﹣30＝0或x﹣45＝0，x1＝30，x2＝45，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠BDC＞∠A，∴∠BDC＝45°，∠A＝30°∴∠A的度数为30°，∠BDC的度数为45°；（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接HD，∴∠AHB＝∠CHB＝90°，∵∠A＝30°，∴∠ABH＝90°﹣∠A＝60°，∵DH是斜边AB上的中线，∴DH＝BD＝AB，∴△BHD是等边三角形，∴HD＝HB，∠HDB＝∠ABH＝60°，∵∠BDC＝45°，∴∠HDC＝∠HDB﹣∠BDC＝15°，∵∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠ACD＝∠HDC＝15°，∴HD＝HC，∴HB＝HC，∴∠H