北师大版选择性必修第一册116 平面直角坐标系中的距离公式作业

1.6平面直角坐标系中的距离公式

基础过关练

题组一两点间的距离公式及其应用

1.(2020安徽合肥六校高二上期末)已知点4(2,-1),6(2,3),则|初二()

A.4B.V2C.8D.2V2

2.(多选题)设点4(3,4),在x轴上有一点P(x,0),使得|为|=5,则x可以为()

A.OB.1

C.3D,6

3,△血的顶点分别是展7,8),8(10,4),。(2,-4),则△力宽的边究上的中线力〃的长为

()

A.9B.8

C.V65D.6

4.(2021天津师范大学附属中学高二上第一次月考)已知过点M(-2,a),Ma,4)的直线的斜率

为则I做V等于()

A.10B.180

C.6百D.6V5

5.(2020福建平和第一中学高三上第一次月考)已知点4(0,1),点8在直线广户1=0上运动.

当|4£|最小时，点8的坐标是()

A.(~1,1)B.(-1,0)

C.(0,-1)D.(-2,1)

6.(2021辽宁大连第一中学高二上月考)设点［在x轴上，点6在y轴上，线段力8的中点是

夕⑵-1),则|48等于.?

7.(2020河北保定第一中学高一下期末)已知△力鸵的顶点J(-3,1),5(3,-3),C(1,7).

证明:△A8C为等腰直角三角形.

8.如如点P(6,4),0(-2,1),片是点P关于x轴的对称点,连接片。交x轴于点M.

(1)求点"的坐标；

⑵求|网+|施I的值;

⑶“是才轴上不同于点M的任意一点,试比较1M+M与IM+I嗣的大小.

题组二点到直线的距离公式及其应用

9.(2021安徽合肥第一中学高二上第二次月考)点尸(x,力在直线广厂4二0上,0是坐标原点,则

@1的最小值是()

A.V7B,遥C,2V2D.V5

10.已知点X4,1)到直线7:广的H=0的距离为3,则实数炉()

02/23

A.OB.（C.31）.0或（

11.（多选题）（2021河北石家庄第一中学高二上第一次月考）已知〃是4轴上的点,点P到直线

3六4六6二0的距离为6,则产点坐标可以为（）

A.（-6,0）B.（-12,0）

C.（8,0）D.（6,0）

12.（2021安徽六安舒城中学高二上第二次月考）点八2,3）到直线上已户广2于0的距离为d,则

"的最大值为（）

A.3B.4C.5D.7

13.（多选题）（2020四川宜宾高二上期末）已知直线上四+#2=0,若点力（-1,-2）,5（3,6）到直线

1的距离相等,则实数a的值可以是（）

A.-4B.4C.-2D.2

14.（2021山东济宁实验中学高二月考）点尸（-5,7）到直线12e5厂1=0的距离为.?

15.在直线好3尸0上求一点2使它到原点的距离与到直线户3尸2=0的距离相等.

16.（2021福建厦门二中高二月考）已知直线切户r2次3二0恒过定点4若直线,经过点力且坐

标原点到直线1的距离等于2,求直线1的方程.

17.（2020湖南张家界第一中学高一下第二次月考）己知点4（1,3）,M3,1）,（7（-2,0）.

（1）求直线力/?的方程；

（2）求△力比的面积,

题组三两条平行线间的距离公式及其应用

18.(2021江西南昌第二中学高二上第一次月考)直线九3浒4尸7二0与直线4:6e8尹1二0间的

距离为()

A.8B.4C.-D.-

52

19.(2020北京东城高三一模线上统练)两条平行直线2尸户3二0和①尸4二0间的距离为d,

则当，的值分别为()

A.a=6,上四B.a=-6,庐渔

33

C.a=6,D.a=-6,

20.到直线3尸4厂1二0的距离为2的直线的方程是.?

21.若两平行线分别经过点4(5,0),6(0,12),则它们之间的距离d的范围是.?

22.(2021安徽合肥肥东高级中学高二上第二次月考)已知直线

九：六尸0,12：2丫+六3=0,13：。六2产4=0.

⑴若点P在人上,且到人的距离为3V5,求点2的坐标；

⑵若心〃4求心与4的距离.

能力提升练

题组一两点间的距离公式及其应用

1.(*)己知点4(1,2),5(-1,1),r(0,-l),0(2,0),则四边形ABCD的形状为()

A.梯形B.平行四边形

04/23

C.菱形D.正方形

2.(2020江苏淮安重点中学高一下联考,*；)设加£R,过定点A的动直线外加尸0和过定点£的

动直线底广册3二0交于点P(x,力，则|阳|、|用「的值为()

A.5B,10C,—D,旧

2

3.(2021安徽蚌埠田家炳中学高二上月考,外■)已知点必(4,3),过原点的直线,与直线厂3交于

点4若I朋二2,则直线1的方程为.?

4.(2020内蒙古包头高一下学期期末,的已知点4(-3,0),8(1,0),以0,3),试求点〃的坐标,

使四边形力筋为等腰梯形.

5.(2020安徽芜湖高二上期末,*：)着名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万

事休「事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，求

f(x)=W+4,+20+V叉2+2.+10的最小值.

题组二点到直线的距离公式及其应用

6.(2020内蒙古呼和浩特高一下开学调研,*之)直线尸2=0和直线心3代尸10=0的夹角

平分线的方程为()

A.x+2六4=0

B.x-2j^6=0

C.x十2二4二0或2尸厂6二0

D.x十2二4二0或尸2二6二0

7.(2021黑龙江双鸭山第一中学高二月考,钠点?(2,3)到直线:左广(年1)户3:0的距离d最大

时，4与a的值依次为（）

A.3,-3B.5,2

C.5,1D.7,1

8.（2020陕西安康二中高一上期末,已知实数％y满足3尸4二6二0,则，产+俨-2丫+1的最

小值为（）

A.2B.-C.-D."

555

9.（*）已知在44比中,点4（1,1）,以加,而）（1＜冰4）,。4,2）,当刃为何值时,的面积S

最大？

题组三两条平行线间的距离公式及其应用

10.（2021天津第四十二中高二上阶段性学情调查,#?）若两条平行直线4:七2广后0（粉0）与

，2：2户〃尸6二0之间的距离是2而,则肝炉（）

A.3B.-17

C.2D,3或T7

1L（如:）已知/〃,〃，&力£R,且满足321炉6,3^4/F1,则J（m-a）2+（九-b）2的最小值

为.?

12.（2019重庆巴蜀中学高二月考,*）已知直线1经过点力（2,4）,且被平行直线71:尸八1二0与

七片厂1=0所截得的线段的中点"在直线户厂3=0上,求直线1的方程.

题组四与距离有关的综合问题

13.（2020江苏连云港海州高级中学高一下第二次阶段检测，嫩）若动点力评分别在直线

06/23

人:卢二7二0和乙:产厂5二0上移动，则用的中点M到原点的距离的最小值为（）

A.3近B.2或

C.3V3D.4企

14.（2020江西南昌外国语学校高二联考,*?）己知动直线上己加加52二0（於0,80）恒过点

户（1,历）且点0（4,0）到动直线1的最大距离为3,则;+3的最小值为（）

2（1C

A99

・

・24C.1D.9

15.（2021重庆第一中学高二上月考,"）已知点/（-2,1）,6（1,2）,C为直线理x上的一动点,

则I/C|+1BC\的最小值为.?

16.（2021山西朔州怀仁一中高二上第二次联考，"）对于平面直角坐标系内任意两点

4（岛7,）,6（用力,定义它们之间的一种“折线距离”：d（A,&=|s|+|斤w|.则下列命题正

确的是.（写出所有正确命题的序号）？

①若力（7,3）,8（1,0）,则d（A,切=5;

②若点C在线段AB£则外4而二小4册;

③在△/比中,一定有d（A,0+d（C8〉d（4B）;

④若A为坐标原点,点3在直线2户广2遥二0上,则d（4而的最小值为百.

17.（*：）己知正方形4方9的中心M-1,0）和切边所在的直线方程为广3厂5=0,求其他三边所

在直线的方程.

18.（2019湖北襄阳高二检测，姨）如缸已知直线小杆二1二0,现将直线人向上平移到直线h

的位矍若h/和两坐标轴所围成的梯形/筋的面积为4,求直线&的方程.

答案全解全析

基础过关练

l.A\AB\二J(2-2/+讨+1产=4,故选卜.

2.AD由|例=5,得(4-0)2=5,即(3-力4(4-0)2:25,

整理得V-6尸0,解得尸6或产0.

故选AD.

3.C设点〃的坐标为(屈力，则苫=6,咛二0,即点〃的坐标为(6,0)・

阔二J(6-7/+(0一8)2二病.

故选C.

4.D:过点M-2,a),Ma,4)的直线的斜率为广=弓解得斫10,

a+22

：.\MM=J(Q+2)2+(4-fl)2=J(10+2)2+(4-10)2=6A/5.故选D.

5.B因为点8在直线户户1=0上运动,所以设点8的坐标为(x,-『1),由两点间的距离公式可

知，|AB\=J(x-0)2+(-x-1-1)2=V2X2+4x+4=^2(x+1)2+2,显然4-1时，I仍有最小值,

08/23

最小值为应,此时点6的坐标是(T,0),故选B.

6.答案2V5

解析因为点A在彳轴上，点5在y轴上,且线段的中点是P(2,-1),所以1(4,0),6(0,-2),

所以|48=J(0-4)2+(-2-0)2=2V5.

7.证明因为

|^|=J[3-(-3)]2+(-3-DMV13,

|5d=J(l-3)2+[7-(-3)]2=2V26,

IAC\=J[l-(-3)]2+(7-l)2=2V13,

所以|3|2+|〃T二|8C|：且I的二|“1.

所以△4比为等腰直角三角形.

8.解析(1)根据题意可知匕(6,-4),

又0(-2,1),

所以而通=笑=-*

所以直线幺。的方程为尸1=《(广2),

整理可得5户8六2二0.

令片0,解得A=-1,

所以点"的坐标为

⑵根据题意I网+1阕=I邮1+1阑二I。川，

由R(6,-4),0(-2,1),得|。川二J(6+2)<+(-4-1)2二屈.

所以+婚|二俪.

⑶|胪|+|用二|朋|十|阕，

I网+|附同两国网二I的L

在△△沙)中，由两边之和大于第三边，

知I州1+1网〉1。川，

所以陷|十|网〉|如I+MI.

9,C由题意知J您I的最小值即原点到直线抬=4=0的距离,为号皆夫2式.故选C

Vl2+12V2

10.1)因为点M(4,1)到直线/:广叼T=0的距离为3,所以粤=43,解得炉0或舄,故选D.

vl2+m24

11.BC设点尸(a,0),

则点产到直线3『4片6=0的距离内产+6i_」316__6,

^32+(-4)2

解得折8或a=-12,

所以尸点坐标为(T2,0)或(8,0).

故选BC.

12.A解法一:易得直线/:产-以六2),据此可知直线/恒过定点1/(2,0),

10/23

当直线时,"有最大值,

结合两点间的距离公式,可得d的最大值为J(2-2/+(3-0)2二3.故选A.

解法二:由点到直线的距离公式有沙与警故选A.

va2+lva2+l

13.AC点4(-1,-2),6(3,6)到直线户2=0的距离相等,

*即1PH3K81,解得所-4或无-2.

va2+lVa2+1

故选AC.

14.答案2

解析点〃(-5,7)到直线12户5厂1二0的距离为庐弋］；)2：；了1二2.

15.解析设点P的坐标为HU,。，

则J(Tt)2十代嗡弟,

解得i=±i

..•点/的坐标为(-11)或(|,力

16.解析由m戏广2nr3=0得(尸2)册厂3:0,由｛；_：二,得0(2,3).

由直线1经过点A且坐标原点到直线1的距离等于2,得

当直线1的斜率不存在时,直线1的方程为产2,满足题意.

当直线1的斜率存在时,设直线1的方程为尸32(尸2),即4尸厂2%+3=0,

原点0（0,0）到直线1的距离庐若1=2,解得小,

vl+kz12

则直线1的方程为厂3磊（尸2）,即5『12户26二0.

综上,直线1的方程为产2或5尸12尹26二0.

17.解析（1）由已知得〃后詈-1,

则直线友的方程为广3=-（尸1）,

即户广4=0.

（2）由⑴得点以-2,0）到直线AB的距离为号二3/.

V1+1

又|AB\二J（3-11+（1一3/二2七

A^^X2V2X3V2=6.

18.D将直线L的方程3户4片7=0整理为6户8厂14二0.

因为直线人的方程为6户8户1=0,

所以直线Z与直线4间的距离卢姿

V6z+8Z2

故选D.

19.B・・,两条直线为平行直线，

・•・2X3=1•a,解得炉一6,

.,・直线科3尸4二0的方程为-6熄尸4二0,即2匕片=°,

12/23

故选B.

20.答案3尸4『11=0或3『4户9=0

解析设所求直线的方程为3『4尹伐0(m-1),根据两条平行线间的距离公式得

c+i二义二2,解得小-11或小9,

"⑷25

所以所求直线的方程为3『4厂11=0或3f4六9二0.

21.答案(0,13]

解析易知当两平行线与直线48垂直时"最大，

即二13,所以0〈共13,故距离d的范围是(0,13].

22.解析⑴设P(t,£),由三黑二3通,得|t-11=5,Z.t=-4或£=6,

V5

；・点户的坐标为(-4,-4)或(6,6).

⑵由人〃&得折-4,

工[2：2#■厂3=0,4:-4六2尸4=0,即2户片2=0,

.32与4的距离由一胃二鼻

V55

能力提升练

1.D由两点间的距离公式可得，

|初二(1-2产二低

|^|=J(O+l)2+(-1-1)2二6

1(2-0)2+(o+l)2二圾

IDA|=J(l-2)2+(2-0)2=V5,

所以I股|二|比|二|0|二|加

又|四|二一0-1)2+(-1-2)2二国，

31=](2+1)2+(0-l)2=V10,

所以M小M,

故四边形力物是正方形.故选D.

2.B由题意,动直线户矿0过定点(0,0),则2(0,0),

动直线/nx一厂m3二。变形得〃(尸1)+(3-力=0,则6(1,3),

(X-my=0,^^m2-3m3-m\

\mx-y-m+3=0,可\m2+i*m2+i/

(m2-3m)，(3-m)2+(3m+l)，(3m2+m)2

(m2+l)2

_m46m3+9m2+9-6m+m2+9ni2+6m+l+9m4+6m3+m2

(m2+l)2

_107714+20/+10_1下

(必+1)2•

14/23

故选B.

3.答案3尸2尸0或尸2尸0

解析设点A的坐标为93),则|2+(3-3)2=2,解得(=2或b6,

当t=2时，点A的坐标为(2,3),则直线1的斜率为|,此时直线1的方程为尸|乂即3尸2尸0;

当仁6时，点A的坐标为(6,3),则直线1的斜率为;,此时直线1的方程为产即『2尸0.

综上所述,直线1的方程为3尸2尸0或尸2片0.

4.解析设点〃的坐标为(乂力.

①若四〃徵,|加|二|初，

?=3,

"，(0-1)2+(3-0)2=J(%+3)2+y2,

解得k3飞H

2,

当C:3时，经验证I初wI切，符合题意；

当时，1四|[(1+3)2+04

I5=，(-4-0)?+(3-3)2二4,

I四闫如不符合题意,舍去.

②若AD//BC,\AB\^\CD\,

y-0_3-0

X+31oi

I----------I-------------

{J(l+3)2+0=J(x-0)2+(厂3产，

解(喉_「_16或仁不

(X—16~——,

5

当{3时,经验证|的二|闱，符合题意；

4,22

当C:3吐IAD\=J(-4^3)+3=VW,

I阳』(0-1)2+(3-0)2=/10,

14*1比1,不符合题意,舍去.

综上，点〃的坐标为(-2,3)或卜果券

5.信息提取①令

IPA|=Vx2+4x+20=J(x+2产+(0-4)2>1=Vx2+2x+10=J(x+I)2+(0-3)2;②求

I川+1阳的最小值.

数学建模构建平面内两点间的距离问题,将求函数的最值问题转化为平面内动点到两定点

的距离之和的最值问题,再通过对称性求解.

解析f(x)=Vx2+4x-F20+Vx2+2x+10=J(x+2)2+(0-4)(x+I)24-(0-3)2,

表示点P(x,0)到点J(-2,4)和5(-1,3)的距离之和,如图所示：

16/23

C(-2,-4)是点力(-2,4)关于x轴的对称点，故最小值为|BC\=J(-2+1)2+(-4-3)?二闻二5夜.

6.C不妨设角平分线上的任意一点为(为同，

由该点到两直线的距离相等可得,鼻虫,即|年3厂21=13户厂101,

ylOylO

整理得产2二4=0或2片厂6=0.故选C.

7.C直线a^(a-l)八3二0,即a(Hy)+(3-0=0,

因此直线av+UH)产3二0过定点0(-3,3),

，当直线君片(彳1)JH-3=0与制垂直时，

点户(2,3)到直线a户Or1)射3二0的距离最大，

・'・4-1阳=/(-3-2)2+(3-3)2=5,

此时图〃x轴,可得直线ax+(a~l)#3二0的斜率不存在，即a=l.

故选C.

8.AVx2+y2-2y+l=J（x-0）2+（y-1）2,因为实数x、y满足3AH六6二0,

所以J婷+*.2y+1的几何意义为点（0,1）与直线3年4厂6二0上的点的距离，

因此“2+*一2y+1的最小值为点@1）到直线3『4厂6二0的距离，

即为华=丝组2.

,+（—4）2

故选A.

9.解析因为力（1,1）,以4,2）,

所以|桁|二八4-1）2+（2-1产二四，

直线小的方程为厂1二共（片1）,即片3月2二0,

4-1

根据点到直线的距离公式可得点B5,标）（1〈欣4）到直线4C的距离曲“3T2,

vio

所以.吊|犷3标+2|寸（而-,）_孑.

因为1<水4,所以l<Vm<2,所以《〈而TW，

所以0W（标-|）2",

所以耳上（而切，

当标-2即这时,s最大，

24

故当婿时,的面积S最大.

4

10.A因为直线4:尸2尸•加0（质0）与4：2射刀厂6二0平行，

所以这两条直线的斜率相等,即炉-4.

18/23

所以，2：尸2六3二0.

又直线人与心间的距离为2而，即小二2代,解得小7（〃尸T3舍去），所以淤中3.

V5

故选A.

11.答案1

解析设点力（如刀），8（当力），直线人:3户4户6,直线心：3户4尸1,

则IAB\二J（m-Q）2+（n-b）2,

由题意知点力（见〃）在直线3肝4产6上,点8Q"）在直线右3户4尸1上,

显然小〃所以|力6的最小值就是两平行线之间的距离，

即|历

12.解析解法一:因为点时在直线肝厂3二0上，

所以设点力的坐标为（£,3-0,则点M到直线Z,4的距离相等，

nnt-3H+l|_t-3+t-l

即，/

解得与

所以尼,J

又直线/经过点4（2,4）,

V-3Y-3

所以直线1的方程为4二T,即5厂二6二0.

4--2--

故直线1的方程为5尸厂6=0.

解法二:设与hA平行且距离相等的直线为人尸产k0（cNl,cWT）,由两平行直线间的距离

公式得力一力,解得炉即人:六户由题意得中点"在直线人上,又点"在直线户片二

v2V20,0.30

（_3

上，所以n解得「一孑所以加工3•又1过点加2,4）,所以直线1的方程为

I4</3—U，y二一乙/

V2，

5尸厂6二0・

解法三:易知直线/的斜率存在,

设/;厂4二4（『2）（廿1）,

2k-3

y-4=k(4-2),得

由

x-y+1=0付3k-4

2k~5

X=---

>-4=k(x-2),得

由k-1

x^y-1=0fc-4

”正？

所以直线1与U的交点分别为（詈，詈）,（答，詈）,

所以.，若）.

又点M在直线广二3二0上,

所以詈十答一3二。,解得后.

故所求直线1的方程为厂4=5（尸2）,即5尸厂6:0.

13.A依题意知48的中点材的集合为与直线户厂7=0和A产广5=0距离都相等的直线,

则点"到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.

20/23

设点M所在直线的方程为上/户折0(/*-7且肾-5),

根据平行线间的距离公式得”■二黑J

V2V2

所以I洲71=|研5|,所以犷-6,

即):肝尸6二0.

根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为V二3加.

V2

故选A.

14.BV动直线1;万户姐b2二0(於0,。>0)恒过点/(1,n)，・'・尹。册52二0.

又点。(4,0)到动直线1的最大距离为3,

.,.J(4-l)2+m2=3,解得炉0,"12.

则以胃(>4岛+州(X+7)

+2田・米,当且仅当*2若时取等号.故选B.

15.答案2V5

解析由题意48两点在直线尸1的同侧.

设点A关于直线产枭