【函数的求导方法探析及应用探究9000字（论文）】

V1前言函数是数学问题十分具有代表性的关键的一个部分，它涵盖的想法贯穿整个数学，更是与人们的生活息息相关。导数就是这个部分之中十分关键的一个知识点，导数的产生对于这个领域的发展有着非常关键的影响，对于其他科学技术的钻研也都有着不可替代的推动作用。1.1国外研究动态在上一个世纪60年代，“导数及其应用”就被这个世界上的发达地区的国家先后当作学生数学课堂教学的必不可少的一个组成成分。这些发达国家一直认为导数的概念是一种必须着重发展的数学知识。“导数及其应用”中的除法、近似代换、求和和极限等思想方法是其他数学知识没有办法替代的。例如，有限到无限的导数极限的概念，开始出现在美国九年级的数学教科书中。日本在数学二之中排放了导数及其应用的知识要点。导数及其应用还专门被俄罗斯开放了一个课程来进行解释说明。最先开始教授导数的虽然是美国，而且美国还是世界上最初的发达国家之中的一个，即便是这样在教育教学改革的进程中也避免不了犯下错误。在上个世纪初，他们倡导“儿童中心理论”，60年代倡导现代化的教育模式，经过10年后，课程革新的一些弊病开始显现，学生没有达到应有的程度，缺乏基本知识和技能，这一问题的出现促使美国教育局对他们忽略的问题进行了深刻的思索，并开始了另一轮革新。20世纪80年代，美国便着手再一次的课程革新，提倡提升学生的实践能力和处理问题的才能。就这样，因为美国教育观念的变化和更替，“导数及其应用”教学方式也随之不停地变更。最初的时候对于微积分教学方式，美国也是应用了一个咱们比较熟知的题海战术，要求提高学生可以投入使用大量的时间和精力训练“导数及其应用”。导数的背景、内涵、原理及其运用对学生来说是十分陌生的，很难达到知识的迁移，难以运用于其他问题。美国便针对这一现状进行了很多钻研，并召开了导数教学年终大会。在这个大会中，导数的概念成为教育教学工作的关键得以专门提出，各个学科联系的炉火纯青和运用研究实践能力也是一个重点需要掌握的指标之一。激发学生的表达欲望，训练学生的数学表达才能，学会运用导数相关的知识处理实际问题。由于这一大会的指导，在《中小学数学课程与评估标准》提出激发学生了解导数及其应用的背景、钻研意义和概念内涵的兴趣，而不是对导数进行原始的枯燥运算。这让美国察觉，在高中设置“导数及其应用”课程的核心在于让学生接触并能够内化这种从有限到无限的思维逻辑，而且能够学会充分的表达，处理实际生活中的问题。1.2国内研究动态导数进入我们的国家之后，ε-δ语言我们最为愿意去了解和接受的。ε-δ语言对于微积分概念的解释说明展现出其独特的精确性，这是其余定义都无法与之相比的。尽管ε-δ语言十分精确，然而了解牛顿和莱布尼茨当初创立微积分时的喜悦与欢快这是我们所不能做到的。同样，当我们处理微积分的教学"导数及其应用"时，倘若我们就这么教给学生微积分枯燥的定义和概念，并强迫学生使用所谓的"熟练"来进行微积分计算，这样我们教授微积分还有什么必要呢。对于“导数及其应用”的背景学生根本就没有丝毫地了解，这根本就不可能要求学生掌握微积分所涵盖的核心思想和基本内涵，如果学生仅仅是根据教育者编制的规定无脑照搬，这就更不可能让学生去运用微积分去处理实际遇到的困难。只要学生碰到有关微积分的难题，因为本身根本就没有对微积分有过深入了解，所以非常难想到处理这些问题的办法。一些学习“导数及其应用”有困难的学生就非常容易放弃，一旦遇到“导数及其应用”的问题就容易形成惧怕的心理。在最新的课改之中，“导数及其应用”的教学方法在新的课标之中进行了整改和更新。原本的微积分教学的进行步骤是导数根据函数连续引导出来，函数连续根据函数极限引导出来，函数极限根据数列极限引导出来。这一个教学方式的次序具有明显的好处。但是由于教学进度的要求和时间的安排不允许，想要完成这一个完整的教学任务是十分困难，甚至可以说是不可能完成的。于是新课标便通过现实生活之中的实际情况引入导数，瞬时变化率的概念通过分析平均变化率得出，导数的概念便从而可以推导出来。通过分析曲边梯形逐步推导出积分的定义。这就是一种比较合理的安排，因为这一个安排就充分考虑到了“导数及其应用”的历史意义。然而“导数及其应用”在高中阶段就开始教授给学生本来就存在一些不好的问题。虽然学生对“导数及其应用”有了一定的了解，不过理解得相对浅薄，不够深刻，而且学生接触得最多的还只是家长、教师、学生，这就让他们难以与社会有所交流，从而导致运用导数的机会基本上是遇不到的。学生学习“导数及其应用”本质上就是想要进入更好的学校，绝大部分学生根本就不是主动地去学习的。“导数及其应用”的知识对于绝大部分学生来说是一种不想面对却必须和承受的困难，这种现象与课标所预期的目标是不相符合的。一旦这一届的学生步入大学，再一次全面的接触微积分时，就会生成一个不理解、不明白的念头。这些学生对于高中的微积分就已经产生厌倦和反感，就觉得这只是一个没有意义的重复，这就导致了题目错过这一个让微积分思维飞速提升的重要时机。所以，怎样引导学生可以快速实现微积分由高中到大学的衔接，这就是我们需要钻研和处理的难点。2007年，秦德生为了调查有关导数的概念学生们到底有多少知识储备特别的做了一次调研，这次调研表明：第一，运用导数的知识解决实际问题的能力是跟着年龄的提高而提高的。第二，学生对导数的理解存在以下几个方面的问题:对导数概念的理解存在问题；运用导数解决实际生活之中的困难不够熟练；缺乏由特殊到一般的总结概括能力。第三，影响学生运用导数知识去解决实际生活之中的困难有一下几个方面:性别差异、问题情境和不同的表达方式。第四，老师本身就不太理解导数的几何意义。2008年，段碧重点考察了学生是否足够理解导数的概念。陈婷侧重于高中生在微积分学习过程中的思维活动。其理论基础是认知目标分类。2012年，王芳以行动研究的形式开展了试图将数学史逐步融入到微积分教学的研究。[1]1.3研究意义“导数及其应用”是本次新课改全新的一个部分，是让学生从初等数学向高等数学过度的关键一步。导数知识对于研究函数的性质来说是非常有帮助的。函数不仅是数学中十分关键的一部分，而且连接着整个数学领域，而且在其他的各个领域，各个学科中也有着不可或缺的身份。而函数的求导方法就是这个知识之中非常重要的一个部分。导数这一知识高中数学是重要的组成部分是研究函数问题最方便的、最实用的方法，同时导数也是微积分、定积分等知识的中心知识之一。在除了学习数学之外的其余社会科学技术领域之中，导数也是一个不可替代的关键角色。导数也已经被放置在世界上每个国家的高中课程中，绝大部分都将其作为必修课。因此，让学生能够充分理解掌握这一知识并能够灵活运用就是至关重要的一点。运用恰当正确的方法充分地安排教学知识就是其核心部分。本文的研究问题是：1、研究函数的求导方法。2、研究函数的求导方法及应用的困难点3、研究教师在教学中应如何帮助学生解决这些困难。本文将学生在学习数学的过程中可能遇到的困难进行了以下分类:1、认知困难：（1）理解困难；（2）记忆困难；（3）思维困难。2、心理困难。3、应用困难。在研究中将针对这些主要的难点进行着重研究，寻求导致这些困难出现的原因，并找出其解决方法。2函数导数的相关概念及求导方法接下来先介绍函数导数的概念。2.1一元函数导数的概念定义1[2]设函数在点的某邻域内有定义，若极限(2.1-1)存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作令则式可改写为(2.1-2)所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称为差商），而导数则为在处关于的变化率.若极限（2.1-1）式或（2.1-2）式极限不存在，则称在点处不可导.2.2导数的基本求导公式要掌握一元函数的求导方法，首先需要掌握导数的基本导数公式[2]：1、若（c是常数），则；2、若，则；3、若，则；4、若，则；5、若，则；6、若，则；7、若，则；8、若，则.导数运算法则[2]：1、2、3、这些导数的公式是函数求导的基础，只有掌握了这些公式，才能对函数进行求导。掌握了基本的求导方法和法则之后，接下来将对导数以及其相关的概念加以说明。平均变化率[2]：函数，是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可以用式子表示，这个式子称为函数从到的平均变化率，一般我们习惯令，。于是，平均变化率可以表示为。瞬时变化率[2]：函数在处的瞬时变化率是我们将这个式子称为函数在处的导数，记作或，即。在求导数的时候，有一些情况不能直接套用基本函数的导数公式的，这时候我们可以根据导数概念的这个式子来进行计算。导函数[2]：在上述的式子中，我们知道为一个函数，而将其求导之后我们得到，我们得到的这个我们称为的导函数（简称导数）。接下来将针对几个类型的问题进行逐一分析：2.3利用导数的概念进行计算例1[3]设函数，求.[错解]：因为，所以，所以有[解析]：这里是该分段函数的分段点，可能会出现该点的导数不存在的情况，不能直接套用公式，需要用导数的概念进行判断。[正解]：因为，所以当时，因为，因为，所以不存在。对于这种类型的题目应该利用导数的定义来求，应先求出左右导数后再判断分段点处的导数值.例2[3]设函数，求.[错解]：当时，无意义，所以不存在。[解析]：当时，无意义，并不能得出不存在，要判断函数在某一点的导数是否存在，需要利用导数的定义进行判断。[正解]：对于一些函数而言，若其导数在某点无意义，一定要利用导数的定义进行判断，不可以直接得出其在导数该点不存在的结论。2.4复合函数的导数复合函数的定义：即函数的自变量本身就是一个函数，用符号表示就是这一函数中的自变量，那么这一函数就是符合函数。对于这一类别的函数的导数与函数之间的关系为，也可表示为，即先将作为自变量来进行求导，再乘上的导数即可。下面用一个例子加以说明：例3[4]函数的导数是这里的函数就是一个复合函数，其中、所以，就可以先求的导数，得到，再求的导数，得到，最后再将两者相乘就可以得到答案，要注意中的即可。2.5含有绝对值的函数一般计算含有绝对值的函数的导数，要先把其转换为分段函数，再把各段分别求导，然后再根据导数的定义对各个分段点的导数进行判断。例4[5]设函数，求。解：将函数转换为分段函数所以当时，，因为，所以当时，导数不存在。2.6多元函数的导数定义2[6]设函数若且在的某一邻域内有定义，则当极限存在时，称这个极限为函数关于的偏导数，记作可以同样定义在点关于的偏导数.例5[6]求三元函数的偏导数.解：把和看作常数，得把看作常数，得把看作常数，得2.7隐函数的导数在学习《数学分析》第四版下册的内容中,了解到了隐函数的定义,还有隐函数的定理等.对比之前所学习到的函数,大部分遇到的这些解析式,它们都是通过自变量确定出来的某一个表达式,如下: (2.1-3)(2.1-4)这样的形式称为显函数[6].但是在实际生活所遇到的问题中,还有可能会碰到另外的一种情形,就是变量之间的关系,可能是通过一个或多个方程组合起来的,即:对于方程(2.1-5)如果存在有这样的集合且任意的确定的唯一的一个,它能够和一起满足上述所描述的方程(2.1-3),那么就把由方程(2.1-3)所确定一个是定义在区域上的,并且它的值域是含于的函数称之为隐函数[6].例6[6]讨论笛卡尔（Descartes）叶形线(2.3-6)确定隐函数的一阶与二阶导数,求出它的极值.解令在(2.3-8)上使的点是和除这两点外,方程(2.3-8)在其他各点附近都能确定隐函数由公式(2.3-2),得到 由于 再根据公式(2.1-3),接着对复合函数进行求导,就可以得出这个隐函数的导数了,当函数与函数复合,得到时,就有(2.3-7)我们对于上式(2.3-9),继续通过应用复合函数的求导法则来进行求导,就可以有以下的式子成立 再把公式(2.3-2)代入上式得到下面再通过上述的结果进一步讨论这个函数的极值问题.从笛卡尔（Descartes）叶形线和方程可以解出隐函数所存在的驻点为这是因为有所以这个隐函数能够在点3学生的学习困难原因导致学生学习困难的缘由有很多，不仅自身因素、环境因素以及教师方面的因素都有可能会影响学生的学习效率。那么如何提高学习效率，作为教师就要分析造成这些困难的原因，并针对这些原因采取一些手段，帮助学生提高学习效率。学生的学习困难，可能是由于学生自身的身体存在发展上的缺陷，可能在学生的小时候有着先天的发展缺陷、后天的疾病导致学生发展受到影响亦或者是学生的发展过程中缺乏学习机会的原因导致的结果。从而使学生在学习过程中对文字、符号的阅读能力、拼写计算能力和运动操作能力等方面受到影响。3.1数学学习障碍的原因分类数学学习困难是指学生在学习数学中所遇到的种种障碍，从而导致学生在学习数学方面的技能时有所缺陷，致使学生在数学的学习中与同年级或者同一年龄的学生有非常明显的差距。数学学习障碍产生的缘故：（1）从学生发展顺序的层面上分析，学生出现数学学习障碍往往是因为当前阶段的数学学习没有完全掌握、没有完全理解透彻，就被老师强行带入到下一个学习阶段，从而使原本的数学知识没有能够完全掌握，而且在学习新知识的时候也没有能够理解，进而数学学习障碍就出现了。（2）从学生的认知层面上分析，有数学学习障碍的学生与数学学习不错的学生都能够使用数字表征与关系表征，但是有数学学习障碍的学生在使用关系表征的时候就与数学学习不错的学生有十分明显的差距，也就是有数学学习障碍的学生偏向于注重问题之中的数字，但是不太能够理解这其中的各种关系。3.2学习导数知识过程中困难的分类学生学习导数的困难分类如下：3.2.1认知困难（1）理解困难：对于数学概念没有足够的理解，导数定义中包含的极限的解析式，是在数学学习之中第一次出现在学生面前的，要学生在第一次遇到的极限概念下辅助去理解导数的概念，绝对会存在困难。（2）记忆困难：在导数的学习之中会遇到非常多的公式，导数的运算法则、基本初等函数的导数计算公式、复合函数的求导方法等等。而且这些公式极具相似性，这会让学生的记忆难度大幅度提升，而且学生根本就没有接触过与极限相关的知识。因此，无法从学生现有的知识中得出一些导数的公式。（3）思维困难：学生对于新旧知识之间的衔接问题处理得不够灵活恰当，综合运用能力较差、思维方式不够灵活，对于导数知识之中所蕴含的数学思想不太能够理解并灵活地运用，甚至有的学生对数学思想根本没有意识。3.2.2心理困难涉及到导数知识的问题一般都会比较复杂繁琐，题目都是长长的一大串文字，并且还会有不少的参数掺杂在其中。需要学生从中去提取出需要用到的信息自行建立函数模型，这会导致基础比较差的学生会出现不自信的情况，缺乏解题的耐心与勇气，一些学生会硬着头皮去尝试着做下去，结果会导致结果出错，从而越来越没有信心丧失自信心，一些学生会选择放弃做这道题。久而久之，就会失去对导数的兴趣，甚至会对其产生厌恶、恐惧的情况[1]。3.2.3应用困难导数的应用这一部分的内容主要有：用导数法研究函数的单调性、利用导数求函数的极大值与极小值、利用导数求函数的最大值与最小值、导数在实际生活中的应用等．这些应用变化比较多，灵活性要求高，使学生运用起来十分有难度，做题也经常出错[10]。4针对学生学习困难的教学对策分析了造成学习困难的原因，接下来就针对这些原因提出一些改进的策略。4．1针对学生认知困难的教学对策阅读能力是学习知识的重要的前提条件，正确的阅读理解导数的定义是学习好导数的关键基础，但是现在越来越多的考试题目又长又臭，甚至光是读个题目都需要花费3、4分钟，这明显就加重了学生的阅读任务。而数学的阅读能力是学生不怎么接触过的，它要求学生有强大的内化、转换能力和提取分析能力。但是现在的学生大多数都不具备将文字语言理解成数学符号语言的观念和才能，这就直接导致了数学模型的建立无法进行。因此，老师有必要提高学生的数学阅读理解观念和才能。导数的概念本身十分的抽象，所以老师自己要从学生的兴趣爱好出发，选择好实际生活之中的例子，将导数抽象的概念转换为学生较为容易接受的一般概念。在日常的上课过程中教师要有目的的训练学生，让学生在阅读题目的时候能够迅速地提取题目之中的关键信息，教师在布置作业的时候也需要根据学生的实际情况适当地布置一些数学的阅读方面的作业让学生进行数学阅读能力的训练。4．2针对学生心理困难的教学对策对数学的喜爱、热爱是学生能够学好数学的关键要素，只有充分的热爱数学，学生才会去主动地、积极地探索、去获取数学知识。有心理困难的学生中，有些学生是渴望学好数学的，但是不断的失败，在学习数学的过程之中总是会出现各种不尽人意的情况，这会让学生丧失学好数学的自信，从而开始不喜欢数学，甚至厌恶数学；另一部分学生是因为小时候自己或外界的种种原因，自己在上高中之前本身就是不喜欢，甚至是厌恶数学的。所以，老师要从学生个人的实际情况出发，改变学生学习数学的消极情绪，努力让学生们发现学习数学的乐趣，发现导数知识的实际作用。教师要从学生的实际出发，培养学生学习导数的主动性，改造出良好的学习氛围。大部分学生缺乏对数学的学习兴趣就是因为无法体会到学习数学的快乐。到目前为止，非常多的数学课堂都是主要靠老师自己一个人在讲，学生自己去做题目，反复地刷题，从而让学生被动地掌握知识，而没有从学生的内心出发，让学生自己本身希望去探索数学的本身所具有的奇妙之处。要改变现状，就需要教师从学生的兴趣出发，改造出良好的教学氛围，设计出学生喜欢的教学形式，努力让整个课堂都能活跃起来，不能仅仅是教师一个人在讲，要让学生也能够加入教学之中，从根本上改变整个教学环境[11]。4．3针对学生应用困难的教学对策导数的学习不是单一的，它的存在与我们四周的生活密不可分。因而在很多的导数题目中，人们融入了生活化的内容，这就需要学生建立有关数学方面的模型去解决问题。而在实际的教学中，学生之所以感觉导数知识枯燥，根本原因在于学生并没有体会到导数知识与现实生活的联系性，学生困惑于导数的应用性。比如学生学习了如何进行求导，但是为什么要学习求导公式？求导公式在什么时候使用？这些都是学生学习过程经常疑问的地方。其实在实际生活中，有太多的地方需要运用求导公式。经常使用的就是求应用题中的最值问题，通过求导，我们也可以更加轻松的解决工程中的最优化问题。因而，在日常的导数教学中，不光要对数学概念、定理法则进行讲解，而且还应将生活中的实际问题的以数学的形式融入到课堂中，帮助学生将已有的知识运用到数学建模中，使他们既可以获得问题解决上的成就感，也能够感受到数学的真正乐趣。具体教学中可以先将现实生活的例子结合着比较抽象的理论展现给学生，然后教师运用适于学生理解的适当方式加以引导。通过与学生的相互交流共同分析具体材料，提出关键的解决问题的条件，将抽象化的部分形象化，建立正确的有关数学方面的模型来解决这个问题，最后对数学问题本身进行检验。学生只有经过大量的数学建模问题的训练，最终才能慢慢领悟到导数存在的真正意义。5总结与展望5.1工作总结本文在调查阅读国内外有关函数的求导方法、导数教学的文献的基础上，总结出一元函数、多元函数以及隐函