第八章　第一节　基本立体图形及几何体的表面积与体积

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第一节基本立体图形及几何体的表面积与体积【课标解读】【命题说明】【课程标准】1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体)的直观图.【核心素养】直观想象、数学运算、逻辑推理.考向考法高考命题常以空间几何体及其组合体为载体,考查表面积、体积的求法.与球相关的问题是高考的热点.常以选择题或填空题的形式出现.预测高考会考查基本立体图形的展开图或截面图,会继续考查空间几何体的体积,涉及空间几何体的结构特征、直观图等内容,要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力,主要以选择题或填空题的形式出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形微点拨(1)棱柱概念中的“侧棱平行且相等”要特别关注;(2)棱台概念中的“上下两底相似”要特别关注.2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点-轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环-3.直观图(1)画法:常用斜二测画法.(2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r'+r)l微点拨(1)S直棱柱侧=ch(c为底面周长,h为高).(2)S正棱锥侧=12ch'(c为底面周长,h'为斜高)(3)S正棱台侧=12(c'+c)h'(c',c分别为上、下底面周长,h'为斜高)(4)圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥.S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r')lS圆锥侧=πrl.V圆柱=S底·hV圆台=13h(S上+S下+S上S下)V圆锥=13S常用结论原图形与直观图面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系:(1)S直观图=24S(2)S原图形=22S直观图基础诊断·自测类型辨析改编高考题号12,341.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(×)(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(×)(3)菱形的直观图仍是菱形.(×)(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.(×)提示:(1)反例:由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件,但不一定是棱柱.(2)反例:如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形,但邻边不一定相等.(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的立方.2.(必修第二册P120T3·变形式)现有一个封闭的棱长为2的正方体容器,当按如图所示水平放置时,水面的高度正好为棱长的一半.若将正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器中水面的最大高度为()A.1 B.2 C.3 D.22【解析】选B.因为正方体的面对角线的长为22,故将正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转的最大高度是22.又因为容器里水的体积正好是容器体积的一半,所以容器里水面的最大高度是面对角线长度的一半,即容器中水面的最大高度为2.3.(必修第二册P119例4·变形式)如图所示,以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形,则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为.

【解析】设圆锥的底面半径为r,由题意圆锥的轴截面是一个正三角形,可知圆锥的侧面积为πr·2r=2πr2,圆柱的侧面积为2πr·3r=23πr2,所以圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为23πr答案:34.(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为.

【解析】方法一:由棱台性质可知,上下两个底面边长的相似比为1∶2,故截后棱台的高为3,上底面为边长为2的正方形,下底面为边长为4的正方形,代入棱台体积公式得:V=13×3×(22+42+22方法二:由题意易求正四棱锥高为6,V棱台=V大四棱锥-V小四棱锥=13×4×4×6-13答案:28【核心考点·分类突破】考点一基本立体图形考情提示基本立体图形作为考查空间想象能力的载体,因特殊几何体的概念贯穿于立体几何的考查中,成为高考题热点,涉及相关的概念及性质.角度1直观图[例1]在平面直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示.已知O为坐标原点,A(22,0),B(22,2),C(0,6).在用斜二测画法画出的它的直观图中,四边形O'A'B'C'的周长为()A.8 B.10C.5+22 D.6+22【解析】选D.如图,画出直观图,过点A'作A'D⊥O'C',垂足为D.因为O'C'=12OC=3,∠C'O'A'=∠B'A'x'所以O'C'∥A'B',O'D=A'D=2,C'D=1=A'B',则A'D=B'C'=2,故四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+22.角度2侧面展开图[例2]一个圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3,弧长为2π的扇形,则该圆锥的体积等于(A.423π B.22π C.223π 【解析】选C.设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则2π=2π3l,解得l=3,又2πr=2π,解得r所以圆锥的高为h=l2-r所以圆锥的体积是V=13×πr2×h=22解题技法空间几何体结构特征判断技巧(1)说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可;(2)斜二测画法中,平行于x轴、z轴的线段平行性不变,长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.(3)在解决空间折线(段)最短问题时,一般考虑其展开图,采用化曲为直的策略.对点训练1.如图所示,在四边形OABC中,OA=2,AB=22,BC=3,OA⊥AB且OA∥BC,则四边形OABC水平放置时,用斜二测画法得到的直观图面积为()A.52 B.5 C.52 D.【解析】选C.如图所示,O'A'B'C'为OABC的直观图,根据斜二测画法的规则可知O'A'=2,A'B'=2,B'C'=3,A'B'平行于y'轴,所以该图形的面积为S=12×3+2×2×22=2.已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是.

【解析】如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则圆锥的侧面积S侧=πrl=2π,即rl=2.由于侧面展开图为半圆,可知12πl2=2π,可得l因此r=1.答案:1【加练备选】如图,正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,侧棱AB=2,BD平行于过点C的截面CB1D1,则截面CB1D1与正三棱锥A-BCD侧面交线的周长的最小值为()A.2 B.23 C.4 D.22【解析】选D.把正三棱锥A-BCD的侧面展开,两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值.正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,所以AC⊥AC',AB=2,所以CC'=22,所以截面周长的最小值是22.考点二空间几何体的表面积与侧面积[例3](1)如图,位于西安的大雁塔,是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥,其侧棱与底面所成的角为45°,则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为()A.32 B.22 C.33 【解析】选D.塔顶是正四棱锥P-ABCD,如图,PO是正四棱锥的高,设底面边长为a,则底面积为S1=a2,AO=22a,又因为∠PAO所以PA=2×22a=a,则△PAB是正三角形,面积为S2=34a2,所以S2(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,且a=1,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.5π B.π C.113π D.7【解析】选D.由三棱柱所有棱的长a=1,可知底面为正三角形,底面三角形的外接圆直径2r=1sin60°=233,所以r=则有R2=r2+(a2)2=13+14所以该球的表面积S=4πR2=73π解题技法空间几何体表面积的求解策略1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长、与对应侧面展开图中边的关系.2.多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.对点训练如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为16,当细沙全部在上面的圆锥内时,其高度为圆锥高度的12(中间衔接的细管长度忽略不计).当细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此沙堆的侧面积为(A.45π B.85πC.3217π D.1617π【解析】选D.细沙在上部圆锥内时的体积V=13×π×42×8=128π3,漏入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8,设高为h1,则13×π×82·h1=128π3,所以h1=2,下部圆锥形沙堆的母线长l=故此沙堆的侧面积S侧=π×8×217=1617π.考点三空间几何体的体积考情提示空间几何体的体积问题是高考命题热点,试题常以数学文化、生活实践等为命题情境.考查的数学素养有直观想象、数学建模、数学运算等,题型基本为选择题或填空题.角度1直接利用公式法求体积[例4](1)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆,则该圆锥的体积是()A.423π B.42π C.43π D.【解析】选D.由题意,知该半圆的弧长为4π.又该半圆的弧长为圆锥的底面周长,设圆锥的底面半径为r,所以4π=2πr,所以r=2.由题意可知,该圆锥的母线长为4,则圆锥的高h=42-22=23,所以该圆锥的体积V=13πr2h=13×π×22(2)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为()A.20+123 B.282C.563 D.【解析】选D.易求得该棱台的高h=2,下底面面积S1=16,上底面面积S2=4,所以该棱台的体积V=13h(S1+S2+S1S2)=13×2(3)(2024·娄底模拟)一实心圆柱的轴截面是边长为2的正方形,在圆柱内挖去两个半球,这两个半球是以圆柱的两个底面圆的圆心为球心,底面圆的半径为半径的半球,则剩余几何体的体积为()A.π3 B.π2 C.2π3 【解析】选C.剩余几何体的体积为π×12×2-4π3×13×12×2=角度2等积法求体积[例5](2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为.

【解析】如图,由正方体棱长为2及M,N分别为BB1,AB的中点,得S△A1MN=2×2-2×12又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高,且D1A1=2,所以VA1=13S△A1MN·D1A1答案:1角度3割补法求体积[例6]如图,一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内,容器与地面所成的角为30°,液面呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是10和16,则容器内液体的体积是()A.36π B.39π C.42π D.45π【解析】选B.将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱,过M作底面的平行平面,与过N的母线交于点S,连接MS,由题意知∠MNS=30°,则MS=6×33=23,故圆柱底面的半径为3,则容器内液体的体积为12×解题技法求空间几何体体积的常用方法公式法规则几何体的体积,直接利用公式求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积对点训练1.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3【解析】选C.由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积V=13×9×(140+140×180+180)×10=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).2.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,