第五章　第三节　第1课时　两角和与差的三角函数

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第三节三角恒等变换第1课时两角和与差的三角函数【课标解读】【课程标准】1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.【核心素养】数学抽象、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题常以角为载体,考查两角和与差的三角函数;三角函数化简求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.预测高考可能会与三角恒等变换结合考查.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

(2)公式C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;

(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

(5)公式T(α-β):tan(α-β)=tanα(6)公式T(α+β):tan(α+β)=tanα2.辅助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),其中sinφ=ba常用结论两角和与差的公式的常用变形:(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ.(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ.(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).tanαtanβ=1-tanα+tanβtan基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12431.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ.()(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.()(3)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.()(4)公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关提示:当α=β=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ,所以(1)正确;由两角和与差的正弦、余弦、正切公式成立的条件可知,(2)正确,(3)错误;由辅助角公式可知,asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a答案:(1)√(2)√(3)×(4)×2.(必修第一册P219例4改条件)sin20°cos10°-cos160°sin10°等于()A.-32 B.32 C.-12 【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=123.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ,则(A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1【解析】选C.方法一:因为sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ所以2sin(α+β+π4)=22cos(α+π4)sin即sin(α+β+π4)=2cos(α+π4)sin所以sin(α+π4)cosβ+sinβcos(α+π4)=2cos(α+π4)所以sin(α+π4)cosβ-sinβcos(α+π4所以sin(α+π4-β)=0,所以α+π4-β=kπ,k∈所以α-β=kπ-π4所以tan(α-β)=-1.方法二:由题意可得,sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosα-sinα)sinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,故tan(α-β)=-1.4.(记错公式形式导致错误)若将sinx-3cosx写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,则φ=.

【解析】因为sinx-3cosx=2(12sinx-32cosx所以cosφ=12,sinφ=3因为0≤φ<π,所以φ=π3答案:π【核心考点·分类突破】考点一两角和与差的三角函数公式的基本应用[例1](1)若cosα=-45,α是第三象限角,则sin(α+π4)=(A.7210 B.-7210 C.-2【解析】选B.因为α是第三象限角,所以sinα<0,且sinα=-1-cos2α因此,sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsin(-35)×22+(-45)×2(2)(2024·湛江模拟)已知cosα+cos(α-π3)=1,则cos(α-π6)等于(A.13 B.12 C.22 【解析】选D.因为cosα+cos(α-π3)所以cosα+12cosα+32sinα=32cosα+=3(32cosα+12sin=3cos(α-π6)所以cos(α-π6)=3(3)已知sinα=35,α∈(π2,π),tan(π-β)=则tan(α-β)的值为()A.-211 B.211 C.112 D【解析】选A.因为α∈(π2,π),所以cosα=-4tanα=-34,又tan(π-β)=12,所以tanβ=-所以tan(α-β)=tan=-34+解题技法(1)两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数.(2)在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.对点训练1.已知sinα=sin(α+π3)+13,则cos(α+π6)A.13 B.-13 C.233 【解析】选B.由sinα=sin(α+π3)+13,得sinα=sinαcosπ3+cosαsinπ3+13=12sinα+32cosα+13,则32cosα-12sin-132.已知cos(α+π6)=3cosα,tanβ=33,则tan(α+β)=【解析】因为cos(α+π6)=32cosα-12=3cosα,所以-sinα=3cosα,故tanα=-3,所以tan(α+β)=tanα+tan=-233答案:-3【加练备选】(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ+sin(θ+π3)=1,则sin(θ+π6)等于(A.12 B.33 C.23 【解析】选B.因为sinθ+sin(θ+π3=sin(θ+π6-π6)+sin(θ+π6=sin(θ+π6)cosπ6-cos(θ+π6)sinπ6+sin(θ+π6)cosπ6+cos(=2sin(θ+π6)cosπ6=3sin(θ+π所以sin(θ+π6)=3考点二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形角度1公式的逆用[例2](1)(2024·武汉模拟)sin109°cos296°+cos71°sin64°=()A.12 B.22 C.32 【解析】选B.sin109°cos296°+cos71°sin64°=sin(180°-71°)cos(360°-64°)+cos71°sin64°=sin71°cos64°+cos71°sin64°=sin(71°+64°)=sin135°=22(2)(2024·梧州模拟)1+tan7π12A.-33 B.33 C.-3 D【解析】选A.1+tan7π12tan(π4+7π12)=tan5π6=tan(π-π6)=-tan解题技法逆用公式化简计算的技巧(1)熟记和差倍角公式的结构特征及符号规律,分析所求值式子与公式的异同,必要时对其进行转化、变形、常数替换等,创造条件逆用公式.(2)注意诱导公式在调整角的大小与函数名称中的合理应用.角度2公式的灵活应用[例3](1)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,则tanAtanB的值为(A.14 B.13 C.12 【解析】选B.因为C=120°,所以tanC=-3.因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tanC,所以tan(A+B)=3,tanA+tanB=3(1-tanAtanB),又因为tanA+tanB=23所以tanAtanB=13(2)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.

【解析】因为sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,所以sin2α+cos2β+2sinαcosβ=1,①cos2α+sin2β+2cosαsinβ=0,②①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,所以sin(α+β)=-12答案:-1(3)若α+β=-3π4,则(1+tanα)(1+tanβ)=【解析】tan(-3π4)=tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtan所以1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2,即(1+tanα)(1+tanβ)=2.答案:2[变式]若将本例(1)的条件改为tanAtanB=tanA+tanB+1,则C等于.

【解析】在△ABC中,因为tanAtanB=tanA+tanB+1,所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtan答案:45°解题技法公式变形应用的技巧两角和与差的正切公式及其变形将tan(α±β),tanα±tanβ,tanαtanβ三者联系在一起,已知其中的两个或两个之间的关系,即可求出另外一个的值.角度3辅助角公式的运用[例4]化简:(1)3cosx+3sinx;【解析】(1)原式=32(12cosx+12sin=32cos(x-π4)(2)sinπ12-3cosπ【解析】(2)方法一:原式=2(12sinπ12-32=2(sinπ6sinπ12-cosπ6=-2cos(π6+π12)=-2cosπ4=-方法二:原式=2(12sinπ12-32=2(cosπ3sinπ12-sinπ3=-2sin(π3-π12=-2sinπ4=-2(3)315sinx+35cosx.【解析】(3)315sinx+35cosx=65(32sinx+12cos=65(sinxcosπ6+cosxsinπ=65sin(x+π6)解题技法辅助角公式及其应用1.辅助角公式:asinx+bcosx可化成a2+b2sin(x+φ),这里辅助角φ所在的象限由a,b的符号确定,角φ由tanasinx+bcosx=a2+b2(aa2+b令cosφ=aa2+b2则原式=a2+b2(sinxcosφ+cosxsinφ)=a2+b2.公式应用技巧:在辅助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中,当|a|=|b|时,一般可引入辅助角φ=π4;当|ab|=3或|ab|=3对点训练1.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为()A.-12 B.12 C.-32 【解析】选B.由两角差的余弦公式,得cos(α-35°)·cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=122.若α+β=2π3,则3tanαtanβ-tanα-tanβ的值为【解析】因为α+β=2π3,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan(π-π3)=-3,所以tanα+tanβ=-3(1-tanαtanβ),所以3tanαtanβ-tanα-tanβ3tanαtanβ+3-3tanαtanβ=3.答案:33.(2022·北京高考)若函数f(x)=Asinx-3cosx的一个零点为π3,则A=;f(π12)=【解析】依题意得f(π3=A×32-3×12=0,解得A=1,所以f(x)=sinx-3cosx=2sin(x-π3),所以f(π12)=2sin(π12答案:1-2考点三角的变换问题[例5](1)(2024·株洲模拟)已知θ∈(0,π2),sin(θ-π4)=55,则tanθA.2 B.12 C.3 D.【解析】选C.因为θ∈(0,π2),所以-π4<θ-π4<π4,故cos(θ-π4)=1-sin2(θ-π4)=255,所以sinθ=sin[(θ-π4)+π4]=22[sin(θ因此tanθ=sinθcos(2)已知α,β∈(π3,5π6),若sin(α+π6)=45,cos(β-5π6)=513,