第一章　第一节　集合

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第一节集合【课标解读】【课程标准】1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.【核心素养】数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法高考命题常以方程、不等式为载体,考查集合之间的关系及运算,多以选择题的形式出现.预测2025年备考仍以选择题为主训练,在注重集合概念的基础上,牢固掌握集合的基本关系与运算,适当加强与函数、不等式等知识的联系,借助数轴和Venn图等工具解决相关问题.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系:①属于,记为∈;②不属于,记为∉.

(3)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.(4)常见数集的记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N+)ZQR微点拨元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,解含参数的集合问题要注意用此性质检验.2.集合间的基本关系关系文字语言符号语言子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A,则x∈B)A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B或B⫌A相等集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集A=B空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集⌀3.集合的基本运算项目集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U,则集合A的补集为UA图形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}常用结论1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.2.注意空集:空集是任何集合的子集,是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔UA⊇UB.4.U(A∩B)=(UA)∪(UB),U(A∪B)=(UA)∩(UB).基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12431.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.(×)提示:(1)空集只有一个子集.(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(×)提示:(2){x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.(3)若{x2,1}={0,1},则x=0.(√)(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(√)2.(必修第一册P10例1变条件)已知集合A={x|x2-2x<0},集合B={y|y=2-x},则A∪B=(A.(0,+∞) B.[0,2) C.(-∞,2] D.[0,+∞)【解析】选D.因为A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={y|y=2-x}={y|所以A∪B=[0,+∞).3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.2【解析】选C.因为x2-x-6≥0⇔(x-3)(x+2)≥0,所以N=(-∞,-2]∪[3,+∞),又因为M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.4.(忽视空集致误)集合A={x|ax=1},B={y|y=x-1}且A∩B=A,则a的取值范围为(A.[0,+∞) B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,1)【解析】选A.由题意知A⊆B,而B={y|y≥0},方程ax=1,当a=0时,方程无解,则A=⌀,符合题意;当a>0时,x=1a当a<0时,x=1a所以a的取值范围为[0,+∞).【核心考点·分类突破】考点一集合的基本概念1.(2024·莆田模拟)设集合A={x|x≥-1},则下列四个关系中正确的是()A.1∈A B.1∉A C.{1}∈A D.1⊆A【解析】选A.由题意知,集合A={x|x≥-1}表示所有不小于-1的实数组成的集合,所以1是集合中的元素,故1∈A.2.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选B.a∈{1,2,3},b∈{4,5},则M={5,6,7,8},即M中元素的个数为4.3.(2024·石家庄模拟)若{a2,0,-1}={a,b,0},则(ab)2024的值是()A.0 B.1 C.-1 D.±1【解析】选B.因为{a2,0,-1}={a,b,0},所以①a2=ab由①得a=0b=-1a=1b=-1两种情况代入(ab)2024=(-1)2024=1,答案相同.4.(多选题)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a的可能取值为 ()A.92 B.94 C.0 D【解析】选CD.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=23,符合题意;当a由Δ=(-3)2-8a=0,得a=98,符合题意综上a的值为0或985.已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则a=.

【解析】因为-3∈A,所以-3=a2+4a或-3=a-2.若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3.当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={12,-3,-5},满足题意,故a=-3成立.若-3=a-2,解得a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去.综上所述,a=-3.答案:-3解题技法解决与集合的基本概念有关问题的关键点(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集,还是其他类型的集合;(2)含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【加练备选】已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2020a的值为;若1∉A,则a不可能取得的值为.

【解析】若a+2=1,则a=-1,A={1,0,1},不符合题意;若(a+1)2=1,则a=0或-2,当a=0时,A={2,1,3},符合题意,当a=-2时,A={0,1,1},不符合题意;若a2+3a+3=1,则a=-1或-2,显然都不符合题意;因此a=0,所以20200=1.因为1∉A,所以a+2≠1,所以a≠-1;(a+1)2≠1,解得a≠0,-2;a2+3a+3≠1,解得a≠-1,-2.又因为a+2,(a+1)2,a2+3a+3互不相等,所以a+2≠(a+1)2得a≠-1±52;a+2≠a2+3a+3得a≠-1;(a+1)2≠a2+3a+3得a≠-2;综上a的值不可以为-2,-1,0,-答案:1-2,-1,0,-1+5考点二集合间的基本关系[例1](1)设全集U=R,则集合M={0,1,2}和N={x|x·(x-2)·log2x=0}的关系可表示为()【解析】选A.因为N={x|x·(x-2)·log2x=0}={1,2},M={0,1,2},所以N是M的真子集.(2)已知集合A={x|x=2k+13,k∈Z},B={x|x=2k+13,k∈A.A⊆B B.A∩B=∅ C.A=B D.A⊇B【解析】选A.对于集合B={x|x=2k+13,k当k=3n(n∈Z)时,x=6n+13=2n当k=3n+1(n∈Z)时,x=6n+33当k=3n+2(n∈Z)时,x=2n+53,所以A⊆(3)已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为.

【解析】①若B=∅,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.②若1∈B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B={1},符合题意;③若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=-52,此时B={2,12综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).答案:[-2,2)解题技法1.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键两种方法(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系;(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系一个关键关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系,包括相等和真子集两种关系2.根据两集合的关系求参数的方法(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性.(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.提醒:若有条件B⊆A,则应注意判断是否需要分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.对点训练1.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选D.由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4},又因为A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},故满足条件的集合C的个数为4.2.(多选题)(2024·盐城模拟)已知集合A={0,1},B={x|ax2+x-1=0},若A⊇B,则实数a的取值可以是()A.0 B.1 C.-1 D.1【解析】选AC.当a=0时,B={1},满足条件,当a≠0时,若B={1},则Δ=1+4若B={0},则Δ=1+4若B={0,1},则Δ=1+4若B=⌀,则Δ=1+4a<0,得a<-14综上可知,a=0或a<-14,只有AC符合条件3.(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=()A.2 B.1 C.23 D.【解析】选B.若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意.【加练备选】已知集合A={x|x2-2024x+2023<0},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是.

【解析】由x2-2024x+2023<0,解得1<x<2023,故A={x|1<x<2023}.又B={x|x<a},A⊆B,如图所示,可得a≥2023.答案:[2023,+∞)考点三集合的运算考情提示高考对集合的考查以集合的运算为主.通常与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等交汇命题.角度1集合的基本运算[例2](1)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=()A.U(M∪N) B.N∪UM C.U(M∩N) D.M∪UN【解析】选A.由题意可得M∪N={x|x<2},则U(M∪N)={x|x≥2},选项A正确;UM={x|x≥1},则N∪UM={x|x>-1},选项B错误;M∩N={x|-1<x<1},则U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},选项C错误;UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪UN={x|x<1或x≥2},选项D错误.(2)(2024·天津模拟)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根为x1,x2,集合S={x|x>x1},T={x|x>x2},P={x|x<x1},Q={x|x<x2},则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为()A.(S∩T)∪(P∩Q) B.(S∩T)∩(P∩Q)C.(S∪T)∪(P∪Q) D.(S∪T)∩(P∪Q)【解析】选A.不妨设x1<x2,则ax2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2},S∪T={x|x>x1},P∪Q={x|x<x2},S∩T={x|x>x2},P∩Q={x|x<x1},所以(S∩T)∪(P∩Q)={x|x<x1或x>x2}.(3)(2024·南阳模拟)如图所示,用集合A,B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合,正确的表达式是()A.(A∪B)∩(A∩B)B.U(A∩B)C.[A∩(UB)]∪[(UA)∩B]D.U(A∪B)∩U(A∩B)【解析】选C.阴影部分由两部分构成,左边部分在A内且在B外,转换为集合语言为A∩(UB),右边部分在B内且在A外,转换为集合语言为B∩(UA),故阴影部分表示的集合为[A∩(UB)]∪[(UA)∩B],C正确;其他选项,经过验证均不符合要求.角度2根据集合之间的关系进行运算[例3](1)已知M,N均为R的子集,且RM⊆N,则M∪(RN)=()A.⌀ B.M C.N D.R【解析】选B.如图所示,易知M∪(RN)=M.(2)已知M,N均为R的子集,且M⊆RN,则(RM)∩N=()A.⌀ B.M C.N D.R【解析】选C.用Venn图表示M,N如图:由Venn图看出,M⊆RN,RM∩N=N.角度3根据集合的运算求参数的值(范围)[例4](1)(2024·南昌模拟)已知集合A={x|2a<x<a+1},B={x|-2≤x<3},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是()A.(-3,1) B.[-3,1) C.(-1,0) D.(-1,1)【解析】选A.由题得2a<a+1,解得a<1,所以a+1<2,又A∩B≠∅,所以只需a+1>-2,解得a>-3,所以-3<a<1.(2)(2024·北京模拟)已知集合A={x|x(x-1)≤0},B={x|lnx≤a},为使得A∪B=A,则实数a可以是()A.0 B.1 C.2 D.e【解析】选A.由题得A=[0,1],B=(0,ea],因为A∪B=A,所以B⊆A.所以ea≤1=e0,所以a≤0.解题技法1.集合基本运算的方法技巧2.根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合