拓展拔高1　一元二次方程根的分布

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。拓展拔高1一元二次方程根的分布设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,而m,n,k为常数,令f(x)=ax2+bx+c,结合二次函数的图象,以a>0的情形为例,对于一元二次方程根的分布的讨论常见情形总结如下:(1)若方程有两个均大于m的实根,即x1,x2∈(m,+∞),则有f(2)若方程在[m,n]内有两根,即x1,x2∈[m,n],则有f(3)若方程有两根,一根比m大,一根比m小,即x1<m<x2,则有f(m)<0.(4)若m<x1<n<x2<k,则有f(5)若方程有两个不同的根,且在(m,n)内有且仅有一个根,则f(m)·f(n)<0或f(m)=0,另一根在(m,n)内,或f(n)=0,另一根在(m,n)内.视角一已知两根与实数k的大小关系[例1](1)若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是()A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)【解析】选C.因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,所以a≠0Δ=4故实数a的取值范围是(1,+∞).(2)已知关于x的二次方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0有一正根和一负根,则实数m的取值范围是.

【解析】方法一:显然2m+1≠0,令f(x)=x2-2m2m+1x+m-12m+1,则f(0)<0,即m-方法二:设x1,x2是方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0的两个根,则x1x2=m-解得-12<m<1答案:(-12思维升华当方程中二次项系数有字母参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,当然需要先判断二次项系数能否为0.【加练备选】若关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k的取值范围为.

【解析】由题意,关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,设f(x)=x2-kx+2,根据二次函数的性质,可得f(-1)=k+3<0,解得k<-3,所以实数k的取值范围为(-∞,-3).答案:(-∞,-3)视角二已知两根所在的区间[例2](1)关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则实数m的取值范围是()A.[12,32] B.(12,23] C.[12,2) D.(12,【解析】选D.将方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则需要满足:①f(0)·f(1)<0,即(2m-1)(3m-2)<0,解得12<m<2②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者点(1,0),另一个零点在区间(0,1)内,把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,解得m=12此时方程为x2-32x=0,两根为0,3而32∉把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,解得m=23此时方程为3x2-4x+1=0,两根为1,13而13∈③函数与x轴只有一个交点,其横坐标在区间(0,1)内,Δ=(m-2)2-4(2m-1)=0,解得m=6±27,当m=6+27时,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为-2-7∉(0,1),不合题意;若m=6-27,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为7-2,符合题意.综上,实数m的取值范围为(12,23]∪{6-27(2)已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.①若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则实数m的取值范围为;

【解析】①设函数f(x)=x2+2mx+2m+1,则其图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图如图,由题意,得f即m解得-56<m<-1②若方程两根均在区间(0,1)内,则实数m的取值范围为.

【解析】②由题意知函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内,画出示意图如图,由题意,得f即m解得-12<m≤1-2答案:①(-56,-12)②(-12思维升华求解二次方程根的分布问题,最重要的是数形结合,即结合对应二次函数的图象,从以下角度考虑:①开口方向;②对称轴;③判别式;④在区间端点的函数值.提醒:注意以下两点:一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x,y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用;二是对于一些特殊情况,还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法.视角三可转化为一元二次方程根的分布的问题[例3](1)(2023·黄山模拟)若函数f(x)=4x-m·2x+m+3有两个不同的零点x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(2,+∞),则实数m的取值范围为()A.(-∞,-2)B.(-∞,-2)∪(6,+∞)C.(7,+∞)D.(-∞,-3)【解析】选C.设t=2x,则t>0,则转化为函数g(t)=t2-mt+m+3有两个不同的零点t1,t2,且t1∈(1,2),t2∈(4,+∞),所以g即1解得m>7.(2)(2023·石家庄模拟)设函数f(x)=-32cos2x+asinx+a+92,若方程f(x)=0在(0,π)上有4个不相等的实数根,则实数a的取值范围是【解析】f(x)=-32(1-2sin2x)+asinx+a+92=3sin2x+asinx+a+3,x∈(0,π),令sinx=t,t∈(0,1],h(t)=3t2+at+a+3,当0<t<1时,sinx=t有两个不相等的实数根,当t=1时,sinx=t有且仅有一个实数根,因为方程f(x)=0在(0,π)上有4个不相等的实数根,所以原问题等价于h(t)=3t2+at+a解得-3<a<6-62.答案:(-3,6-62)思维升华