重难点02不等式（6种解题模型与方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

重难点02不等式（6种解题模型与方法）

利用不等式的基本性侦判断不等式是否成立,题型四：底本不等式-运用凑配法求最值

题型：：二次函数的图像和性质及其应用不等式题型自居本不等式-运用1的代换求最值

题型三：一元二次不等式与：次函数题型六：底本不等式的运用

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【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

（1）对于任意两个实数a,b,有且只有以下三种情况之一成立：

①a>b0a-b>0；

②〃<〃<=>〃-Z?<0；

③-b=0.

（2）不等式的基本性质

①对称性：a>bob<a；

②传递性：a>h,h>c=^a>c；

③可加性：a>b=a+c>b+c.

④同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

⑤可积性：a>b9c>0=>ac>bc；a>b,c<0=>ac<bc；

⑥同向整数可乘性：a>b>0,c>d>0=^ac>hd；

⑦平方法则：（〃EN,且〃>1）；

⑧开方法则：（"6N,且〃>1）.

二.不等关系与不等式

【不等关系与不等式】

不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等,是相对于相等关系来说的，比如刍与B就是相等关系.而

24

不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说。>6,a-b

>0就是不等式.

【不等式定理】

①对任悬的a,b,有〃>0；a=h=>a-b=0；a<b<=^a-h<0,这三条性质是做差比较法的依据.

②如果〃>。，那么力Va；如果。<力，那么

③如果a>b,且6>c,那么〃>c；如果。>6,那么a+c>b+c.

推论：如果旦那么〃+c>〃+d.

④如果a>b,且c>0,那么〃c»c；如果cVO,那么acVZ?c.

三.基本不等式及其应用

【概述】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于

或等于它们的算术平均数.公式为：纪旦》后(心0,后0)，变形为HW(三也)2或者。+%》2日.常

22

常用于求最值和值域.

四.其他不等式的解法

【知识点的知识】

不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根轴法).

步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解.

特例：

①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式/+法+<:>0(aWO)解的讨论.

(2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

爵―篇。北犷°

(3)无理不等式：转化为有理不等式求解.

©师>耐。*⑶州晓乂坟

f(x)>g(x)

M>o,一/(x)>0

或

/(米x)-

x)<O◎"(X)<g(x)=<g(x)>Q

>X)〔/(X)<Ex)]2

/(x)

(4)指数不等式：转化为代数不等式

小*>cf{t\a>1)o/(x)>g(x);y<M)>0tM(0<a<l)<=>f(x)<g(x)

>b(a>0sA>0)=/(x)-lga>lg3

(5)对数不等式：转化为代数不等式

f/w>or/(x)>o

logj(x)>log=g(x)(a>l)o<'g(x)>0;log4/(x)>logag(x)(O<a<l)<=>ig(x)>0

'f(x)>g(x)'/W<f(x)

(6)含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值；

②应用数形思想；

③应用化归思想等价转化.

I/(X)|<g(x)O｛驾j</(x)<g(x)

I/(x)>g(x)=g(x»OWx)，g(x坏同时为。成佛泛g(x的(x)>g(x)

注：常用不等式的解法举例(x为正数)：

①x(l-x)2=i-2x(l-xXl-x)<i(1)3=1

22327

②)：=x(l-x2)=>y2=2xp；Xlx，)«；(萨=白=§竽

>>=sinxcos2x=sinx(l-sin:x),③|x+L|=|x|+|L|(省［同号，故取等)22

rrx

五.一元二次不等式及其应用

【概念】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+hx+cX)

或a：c+bx+c<Q(a不等于0)其中af+fer+c是实数域内的二次三项式.

【特征】

当△=廿-4ac>0时，

一元二次方程ax2+〃x+c=0有两个实根，那么小+法+0可写成a(x-xi)(x-X2)

当△=/-4ac—0时，

—元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么a^+bx+c可写成a(.x-xi)2.

当△=廿-4ac<0时.

一元二次方程ar2+/?x+c=0没有实根，那么ajr+bx+c与x轴没有交点.

【一元二次不等式的常见应用类型】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式a^+bx+cX)的解集是R的等价条件是：”>0且△<()；一元二次不等式a?+^x+c<0的解

集是R的等价条件是：«<0且△<().

②分式不等式问题:

f(X(x)・g(x)>0；

g(x)

,f(X)一<0可(x).g(x)<0；

g(x)

f(x)会0吟(f(x)*g(x)>0.

g(x)Ig(x)7^0

f(x)f(x)'g(xXO

g(x)Ig(x)7^0

七.一元二次方程的根的分布与系数的关系

【概述】

一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当cv?+bx+c=Q(aWO)有解时，不妨设它

的解为xi，xi,那么这个方程可以写成or2-a(xi+x2)x+ax\*x2=0-即(幻+加)x+xi,%2—0.它表示

根与系数有如下关系：xi+x2=-上■,X1・X2=£.

aa

【考点分析】

首先申明，这是必考点.一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，

然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等.所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳.

A.绝对值不等式

【知识点的认识】

绝对值不等式的解法

1、绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集

不等式a>0a=0a<0

{x\-a<x<a]00

{x\x>a,或x<-a}{x\x^0]R

2、|〃x+例Wc(c>0)和|QX+/?|2C(C>0)型不等式的解法：

(1)-cWax+bWc；

(2)\cix+b\2c<^>ax+b2c或ax+bW-c；

(3)\x-a\+\x-b\^c(c>0)^D|x-a\+\x-b\^c(c>0)型不等式的解法:

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

【解题方法点拨】

1.不等式|x-al+k-h\^c的解就是数轴上到A(〃)，B3两点的距离之和不小于c的点所对应的实数,

只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解.

2.不等式⑷-依W|a+b|W|“|+|%|,右侧“=”成立的条件是左侧“=”成立的条件是HWO且⑷》

回；不等式同一|h|W|a-加W|a|+网，右侧“=”成立的条件是abWQ,左侧“=”成立的条件是ab^O且⑷

冽外

3、解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求

解.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如以-3+值一句>/或卜-。|+田-目〈

m(机为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便.

九.绝对值不等式的解法

【知识点的认识】

绝对值不等式的解法

1、绝对值不等式仇|>“与|x|<a的解集

不等式«>0a=0a<0

M<«{x\-a<x<a]00

{x\x>af或x<-a]{4xW0}R

2、|“x+〃|Wc(c>0)和|ox+例2c(c>0)型不等式的解法:

(1)|ar+Z?|^c<=>-cWax+bWc；

(2)或ax+bW-c；

(3)\x-a\+\x-b\^c(c>0)-a\+\x-b\^c(c>0)型不等式的解法：

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

【解题方法点拨】

1、解绝对值不等式的基本方法：

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.

2.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求

解.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如机或以”|+心例〈

m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便.

3.不等式卜-。|+仅-臼2。的解就是数轴上到4（a）,BS两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，

只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解.

4.不等式⑷-步|近心+切近同+步|,右侧“=”成立的条件是昉20,左侧“=”成立的条件是"W0且⑷》

|例;不等式⑷-网W|a-b|W|a|+步|,右侧“=”成立的条件是MW0,左侧“=”成立的条件是外20且⑷

冽加.

J能力拓展

题型一：利用不等式的基本性质判断不等式是否成立

一.选择题（共5小题）

1.（2022秋•河南月考）已知-lWx+2yW5,-lWx-2yW3,则x的取值范围是（）

A.-2WxW2B.-2WxW3C.-14W4D.-1WXW2

【分析】直接利用不等式的性质求解即可.

【解答】解：：-lWx+2y<5,-IWx-2yW3,

两不等式相加可得-2W2xW8,即-1WXW4,

故选：C.

【点评】本题考查了不等式的加法法则，是基础题.

2.（2022秋•辽中区校级月考）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等

号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“〈”和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对

不等式的发展影响深远.若a,b,c6R,则下列命题正确的是（）

A.若a>b,则

ab

B.若a>b,贝I」J-出;〈历-必

C.若a>6>c>0,则

a-ba-c

D.若a>b>c>0,则曳〈至&

bb+c

【分析】对于选项4,举反例。=1,b=-1即可判断；

对于选项3,作差化简/-必-（ba-层）=（a-b）2,从而判断；

对于选项C,作差化简上--J=a从而判断；

a-ba-c（a-b）（a-c）

对于选项。，作差化简且-0=3a-b）,从而判断.

bb+cb（b+c）

【解答】解：对于选项A,

若a=l,b=-\,则上

ab

故错误；

对于选项8,

,：a2-ab-Cba-b1)=(a-b)2>0,

a2-ab>ba-b1,

故错误;

对于选项C,

b_c=a(b-c)、o,

a-ba-c(a-b)(a-c)

.•.上>3,

a-ba-c

故正确；

对于选项D,

y_a_a+c=c(a-b)

bb+cb(b+c)

•a、a+c

bb+c

故错误；

故选：C.

【点评】本题考查了作差法的应用及不等式的性质的应用，属于基础题.

3.（2022秋•金水区校级月考）已知x>0,P=V74-Vx>Q=Vx+3-Vx+2-则P与。的大小关系为（）

A.P>QB.P<QC.P=QD.不确定

【分析】利用作差法，进行分母有理化和分式的化简，即可得出答案.

【解答】解：VP=Vx+l-A/x>Q=Vx+3-Vx+2>

P-Q=Vx+l-Vx_(Vx+3Vx+2)1]

Vx+lWxVx+3Wx+2

(Vx+3+Vx+2)~(Vx+lWx)

Nx+lWx)(Vx+3Wx+2)

/.Vx+3>V74>V7^2>VX,P>0,Q>0,

(5/x+3"x+2)~(Vx+l-Vx)>0,

：.P-Q>0,即P>Q,

故选:A.

【点评】本题考查不等式的大小比较，考查作差法的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

4.(2022秋•虹口区校级月考)记关于x的三个方程分别为：

①/+0犬+1=0；

②，+。4+2=0；

③，+〃3%+4=0,其中0,(12,43是正实数，且满足"22=4103.

则下列选项中，能推出方程③无实根的是()

A.方程①有实根，且②有实根

B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根

D.方程①无实根，且②无实根

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，逐一分析选项，即可得出答案.

22

【解答】解：对于A：方程①有实根，且②有实根，则。|2-420,a2-8^0,即。/.，a2>8,

24

又422=41。3，则"3?=("—)2=—^,

alaj

要使方程③无实根，则“32-16V0,显然不成立，故A错误；

22

对于B：方程①有实根，且②无实根，则ai2-420,<72-8<0,即a2<8,

24

又422=4143，则“32=(-^―)2——a^r<\6,

2

1aal

即a32-16<0,此时方程③满足△=<232-16<0,故B正确；

22

对于C：方程①无实根，且②有实根，则a』-4<0,«2-8^0,即。/<4,«2^8,

24

又“22=4143，则/2=(-^―)2=—^-,

ala/

要使方程③无实根，则。32-16V0,显然不成立，故C错误；

22

对于。：方程①无实根，且②无实根，则可2一4<0,O2-8<0,即川2<4,«2<8,

24

又422=4143，则内2=(----)2~——--

alaj

要使方程③无实根，则432-16<0,显然不成立，故。错误；

故选：B.

【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式和不等式的基本性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于

中档题.

]

11x€A

5.（2022秋•荔湾区校级期中）设集合A=[0,—）>B=[—»1]，函数f（x）={2，若

2212（l-x）,x€B

x（）GA,且川（xo）]6A,则xo的取值范围是（）

A.（0,y]B.[0,-|-]C.（-1,y）A（；,y]

【分析】根据分段函数的性质可得f（xo）=xo+—»则内（xo）]=2[1-（即+工）]=1-2xo，即OWl-2xo

22

〈工和邓€4求解即可得出答案.

2

▼]

【解答】解：集合A=[0,B=[—.函数f（x）="X+2->"'A，

2212（l-x）,x€B

".'XQEA,.'.f（x（））=x（）+Ae[_L,i）,

'.j\f（x（））]=2[1-（JCO+A）]=1-2xo,

2

'：j\f（xo）代A，

.♦.0W1-2xo<2，解得』■<xoW2，

242

*."xo6A>/.A<%o<^-,

42

故xo的取值范围是（工，工），

42

故选：C.

【点评】本题考查分段函数的性质，考查分类讨论思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于

中档题.

二.多选题（共3小题）

（多选）6.（2022秋•南岗区校级月考）对任意实数a,b,c,d,则下列命题中正确的是（）

A.若a>b,cWO,则〃c>Z?cB.若a>b,则〃c?

C.a（?>bc2,则〃D.若。3>83,ab<0,则

ab

【分析】对于选项A,当cVO时，ac<hc；

对于选项3,当c=0时,ac2=bc；

对于选项C,由不等式的性质可判断；

对于选项。，由〃3>〃3知。>儿再由必V0知。从而判断.

【解答】解：对于选项A,

若〃>〃，cVO,则acVbc,故错误;

对于选项B,

若c=O,则ac2=bc,故错误；

对于选项C,

ac2>hc2,••a>b,

故正确；

对于选项D,

Va3>b\：.a>b,

又・・・"VO,：.a>O>hf

故正确；

故选：CD.

【点评】本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题.

（多选）7.（2022秋•市南区月考）如果。VbVO,cVdVO,那么下列不等式一定成立的是（）

A.a+d>b+cB.ac'>bdC.—<—D.足<ab<?

aa

【分析】举例〃=-4,b=-1,c=-2,d=-l可判断选项A；由不等式的性质可判断选项3、C、D.

【解答】解：当。=-4,b=-1,c=-2,d=-l时，

a+d<b+c,

故选项A错误；

Ya<b<3cVdVO,

/.-a>-Z?>0,-c>-d>0,

・.・（-a）X（-c）>（-〃）X（-d）,

即ac>hd,

故选项3正确；

Vc<J<0,a<0,

•d<c,

aa

故选项C正确；

\9a<b<0,

/.a2>ab,ab>b1,

故

故选项。错误;

故选：BC.

【点评】本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题.

(多选)8.(2022秋•安阳月考)设人>0,则()

A.a+A>/?+AB.

baa+bvab

2-2卜2

C.a>a+bD.^—<2b-a

Vaba

【分析】对于选项4,由函数/(x)•在(0,+8)上是增函数可判断大小;

x

对于选项以由基本不等式可判断两个数的大小;

对于选项C,作差化简a；些2-(a+h)=筋飞)21a+b+V^),从而比较大小;

VabVab

对于选项，作差化简止-(2b-a)=(a-b)2,从而比较大小.

aa

【解答】解：..ya)=x-工在(0,+8)上是增函数，

X

・・・/(〃)>/(/?),

即a-—>b-―,

ab

即a+—>b+^,

ba

故选项A正确；

/.«+/?>2Vab»

a+bvab

故选项8正确；

2-2

7j+b_(。+8)

Vab

=«2+匕2-^/^(a+b)

Vab

—(Va-Vb)2•(a+b+Vab)

一-----------7Z-----------------，

2

：.^^>a+b,

Vab

故选项C正确；

..b2ex(a-b)2

aa

：.^_>2h-a,

a

故选项£>错误；

故选：ABC.

【点评】本题考查了函数的单调性，基本不等式及作差法的应用，属于中档题.

三.填空题(共5小题)

9.(2022秋•新北区校级月考一)某高校在2022年9月初共有胆名在校学生，其中有"(/n>n)名新生，在

9月底，又补录了〃名学生，则新生占学生的比例变大(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论

据用数学形式表达为n之史主Gn>n>0,b>0).

mm+b

【分析】该高校9月初新生占学生的比例为旦，补录后新生占学生的比例为曲，作差法比较大小即可.

mm+b

【解答】解：该高校9月初新生占学生的比例为

m

补录后新生占学生的比例为正也，

m+b

,•也-n+b=b(n-m)

mm+bm(m+b)

・n/n+b

mm+b

故答案为：变大，?<四(m>n>0,b>0).

mm+b

【点评】本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题.

10.(2022秋•涅中区校级月考)若-1VQ+Z?V3,2<a-方<4"=2〃+34则t的取值范围为(一旦,」反).

2-2一

【分析】设〃=2〃+3b=x(〃+/?)+y(a-b),可得x,y的值，由题意求出§(〃+力)，-—(a-b)的范围，

22

可得，的范围.

【解答】解：设/=2〃+3b=x(a+b)+y(a-b),可得!4解得％=5，y=-A,

1x-y=322

itff-l<a+b<3,可得-互V$(4+8)〈生，再由2Va-6<4可得-4V-』(a-b)<-1,

2222

所以-S-4V$(a+b)-A(a-/,)<1§.-1,即-9<2a+3b<卫，

222222

可得名(-9,11),

22

故答案为：(-9,11).

22

【点评】本题考查不等式的可加性的性质的应用,及整体代入的方法的应用，属于基础题.

II.（2022秋•于洪区校级月考）已知实数a>b>0,且满足a2b」一=4b，则a+2b=，&_.

a-b

【分析】先分析当a22时，推出a2b」一〉4b，不符合题意；再分析0<。<2时，将已知条件变形为关

a-b

于匕的一元二次方程，即（.2-4）廿+（4〃-/）6一1=0,由已知该方程有解，可求出〃的值，代入求出

人的值，进而求得结果.

【解答】解：已知实数a>6>0,且满足a2b^L=4b，

a-b

当。22时，a2b24b,又，―1—则@2b_1_〉如，不符合题意；

a-ba-b

当0<a<2时,2b+=4b=»a2b（a-b）-4b（a-b）+1=0,

aa-b

整理成关于人的一元二次方程，即（〃2-4）/+（4〃-滔）人i=o①，

22222

判别式△=（4O-〃3）+4（a-4）=。6-8J+2O42-16=（^-2）（6F-4）,

当0VaV2时，（。2-2）220,a2-4<0,二△W0,

要使方程有解，则AV0不符合，・・・A=0,即（〃2-2）2（。2-4）=0,即〃2-2=0,

又0VaV2,；・a二加，

将a=&代入方程①得，-2b2+2V2b-l=0'解得：b=g，

a+2b=V2+2X=2V2•

故答案为：2A/2

【点评】本题考查利用方程有解求参数，考查学生的转化与化归能力与运算求解能力，属于较难题.

12.（2022秋•阜宁县校级月考）已知关于x的一元二次不等式2a?+4x+6W0的解集为［x|X=J^）,且a

a

>b,则：-b的最大值为1

a2+.b,2~A+~

【分析】可得〃>0,且△=16-8必=0,即ab=2,利用,a-b=---------=_支虫_=

a2+b2（a-b），2ab（a-b）2+4

——，一《」==1,即可求解.

…4飞2y4

a-b+r-乙v*

a-b

【解答】解：因为关于X的一元二次不等式20?+以+匕忘0的解集为｛xIX=1｝，

a

所以。＞0,且A=16-8"=o,即必=2,

则—_=----匕主!-----=----宜虫----=----―<—^=」L,当且仅当a-b=---即a-h=2

a2+b(a-b)^+2ab(a-b)?+4a-b+------2v44a-b

a-b

时，取等号，

所以f-b的最大值为工,

2,.24

a+b%

故答案为：1.

4

【点评】本题考查了含参一元二次不等式的解法、基本不等式的应用，属于中档题.

13.(2022秋•西城区校级期中)某购物网站在2022年10月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商

品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为200元，衣服的价格为200元，鞋的价格为

150元，用户应支付200+200+150=550元，减免价格最低商品价格150元，实际支付400元，实际折扣400

+550=约7.3折，立省150元.

(1)如果在此网站上购买的三件商品价格分别为500元、700元、400元，按照“买三免一”的规则购买

这三件商品的实际折扣为7.5折:

(2)在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为6.7折

(保留一位小数).

【分析】(1)根据“买三免一”的活动规则，可得商品总费用为1600元，实际支付1200元，列出算式，

求解即可得出答案；

(2)由题意可设购买3件商品的价格分别为x,y,z,且xey2z>0,根据题意可得实际折扣为上匕，

x+y+z

利用放缩法，即可得出答案.

【解答】解：(1)三件商品价格分别为500元、700元、400元，

...商品总费用为1600元，实际支付1200元，

实际折扣为12004-1600=0.75,

故按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为7.5折，

(2)设购买3件商品的价格分别为x,y,z,且x2代z>0,

,商品总费用为G+y+z)元，实际支付(x+y)元，

•••实际折扣为上匚》_在_=2g6.7,当且仅当x=y=z时，等号成立，

x+y+z2z+z3

故这3件商品实际折扣力度最大约为6.7折，

故答案为:7.5；6.7.

【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查函数思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力,

属于中档题.

四.解答题(共5小题)

2

14.(2022秋•涅中区校级月考)已知试比较生工与且」L值的大小.

a-1a2-l

2

【分析】作差化简至一叁一r,从而分类讨论比较大小.

a-la2-l(a-l)(a+1)

【解答】解：三包一冬工

da-1a2--Jl

=(a+1产-(/+1)

一2-।

a-1

=2a,

(a-l)(a+1)

①当OV〃V1时，

2

all-A_±l<o,

2

a-la-i

即9id旦;

2

a-la-l

②当4>1时，

2

-atl>o,

2

a-la-i

2

即对L>旦旦

da-1a2-1i

22

故当0<a<l时，史当a>l时，史11>.亘-t.L.

22

a-la-l»-1a-l

【点评】本题考查了作差法比较两个数的大小，属于基础题.

15.(2022秋•松北区校级月考)(1)设2<“<7,1<匕<2,求”+36,2a-b,包的范围.

b

(2)下面的问题与著名的柯西不等式有关，若a,b,c,d€R,请你比较(aW)(cW)与(ac+bd)2

的大小，根据以上结论猜测(ai2+a22+'"+an2)(历2+历2+…+仇2)与(由历+。2历+…+斯加)2的大小(不必

证明).

【分析】(1)由已知结合不等式的性质即可求解.

(2)利用作差法证明即可.

【解答】解：(1)V2<a<7,l<b<2,

.,.4<2zv<14,3<3b<6,-2<-h<-\,.1<A<-i,

2b

：.5<a+3b<13,2<2a-b<l3,

7-

故5<a+3b<13,2<2a-b<13,i<A<7.

b

22122222212112222

(2)利用作差法可得(/+/)(02+屋)_(^+^)=ac+ad+bc+hd-(ac-+2abcd+bd)=izJ+/>J

-2abcd=(ad-be)2^0,

所以(a?+廿)(d+j)》(ac+bd)2,

猜测：(a；+a介…+aj)(b；+bg+…+b：)》(a]b[+a2b之+…+aQ.4

【点评】本题主要考查了不等式的性质，作差法证明不等式，属于基础题.

16.(2022秋•河南月考)已知关于x的不等式依>22的解集为{#x<-11}.

(1)求女的值；

(2)比较a2-与2a-的大小.

【分析】(1)根据不等式的解法和不等式的基本性质，即可得出答案；

(2)由(1)得2=-2,利用作差法和不等式基本性质，即可得出答案.

【解答】解：(1)•；履>22的解集为{4r<-11},

:.-\\k=22,解得「=-2；

(2)由(1)得k=-1,贝！]2。-Ja-k+—_7a+2_1>

-yja+1-(2a-7a+2-1)=/-2a+l+a+2-Va+1)=(iz-1)2+(Va+2-A/a+1)，

(67-1)2>0,VI+2-VI+l>0,

/.(.a~1)~+川a+2-7a+1)>0，即J-a+1>(2a-a+2-1)，

故当女=-2时，a2-VI+l>2a-J73：^Xk.

【点评】本题考查不等式的基本性质和利用作差法比较大小，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

17.(2022秋•定边县校级月考)已知a>0,b>0.

(1)求证:於+3序亍2b(a+b)；

(2)若a+b=2ab,求曲的最小值.

【分析】(1)利用作差法，结合任意720,即可证明结论；

(2)利用基本不等式，求解计算即可得出答案.

【解答】解：(1)证明：由题意可得J+3/-[26(〃+刈]=a2-2ab+b1=(a-h)2^0,

即次+3户226(«+*)；

(2)：a>0,b>0,

lab=a+b^2-\/ab>当且仅当a=6时等号成立，

即ab-'ab20,解得｛ab21，

ah^1,

故ab的最小值为1.

【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的灵活使用和基本不等式的应用，考查转化思想，考查逻辑

推理能力和运算能力，属于中档题.

18.(2022秋•霞山区校级月考)(1)已知x,y€R,求证：-1；

(2)已知”>0,b>0,a+b=\,求证：(1+-^-)

ab

【分析】(1)利用作差法，结合任意，》0,即可证明结论；

(2)由。+6=1得(1+工)(1+1)=(2+b)(2+包)，展开后利用基本不等式，即可证明结论.

abab

【解答】解：(1)证明：/+2)2-(2xy+2y-1)=x2+2y2-2xy-2y+]=/-2xy+y2+y2-2y+]=(x-y)

2+(y-1)2,0,当且仅当x=y=l时，等号成立，

即f+292与+2)，-1；

(2)证明：；a+b=l,

A(1+A)(1+A)=(l+a+b)(l+a+b)=(2+卫)(2+A)=5+空+区，

abababab

又。>0,b>0,

.,・5+2^+2^25+2、也=9,当且仅当2k=刍《,即〃=/?=_!时，等号成立，

abVabab2

，(1《)(if)>9-

【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用和作差法的灵活运用，考查转化思想，考查逻辑

推理能力和运算能力，属于中档题.

题型二：二次函数的图像和性质及其应用

一.选择题(共1小题)

1.(2022秋•南岸区校级月考)已知函数f(x)=log。“l+x2-x)t——»xeR,若三。曰0,三]使关于

22X+12

。的不等式/(sin8・cos。)4/(2-sin0-cos0-m)V2成立，则实数机的范围为()

A.(-8,提-亚)B.(2,+8)C.(-8,2)D.(2+8)

2V2

【分析】先求/(-元)=2可得函数图象关于点(0,1)对称，利用单调性的定义判断函数,f(x)

单调递减，题意转化为三。40,使关于8的不等式/(sine・cos。)<2-f(2-sin0-cos0-m)=f(-

2

2+sin0+cos0+m),即三。£[0,使得不等式sin8・cose>-2+sine+cos8+/〃成立，令/=sinB+cos。，即引€[1,

2

_2

&]，使得不等式t--1>-2+t+m成立，即m<—r-f+且，构造函数>=」»-t+—,求出二次函数的最

22222

大值，即可得出答案.

【解答】解：..•函数f(x)=log9“l+x2-x)+—~—，x€R,

2X+1

22

：.fC-x)+f(x)=log2"l+x2+x)+—^~~+log2(Q1+乂2-x)+―-—=log2l(^/l+x+.«)(7l+x

2~x+l2X+1

-x)]+(—?_+._2_)=2,

2-x+l2X+1

...函数/G)的关于点(0,1)对称，

任取用，X2ER，且九1<12，

（XI-X2）=（X|

…）（^^_一口=（…二-巨+

V1+xl+V1+x2Jl+x；Wl+x；

,Ml<J]+xj，仅21Vdl+x,，

•••Jl+xjn-（Jl+xg72）>o,

又2Xi<2Xz,则=一>—?—,

X.Xc

21+12'+1

则f（X1）-f（X2）=log2（Jl+x：-X|）+—^--[log2（Jl+X|-X2）+—^--]=[log2<Jl+x?n）

V2X1+1V2町+1V

-10g2（J1+X2-X2）]+（1—~~T—）>0,

21+122+1

：.f（XI）>/（X2），故/（X）在R上单调递减，

aeefO,工]使关于e的不等式/（sin+cos。）+f（2-sin0-cose-m）<2成立，转化为三。日0,工]使关

22

于。的不等式/（sinbcos。）<2-f（2-sin0-cos0-m）—f（-2+sin0+cos0+/„）,B|J396[0,工•],使得

2

不等式sin0*cos0>-2+sin0+cos0+fH成立，

令f=sin6+cosB=V^sin（0+^L）,0elO,—L],则/11,V2J»-