平面向量考点梳理讲解总结,高中数学平面向量题及答案解析

考点20平面向量的概念与

【命题解读】

平面向最的概念与运算这一部分，高考的考察比较少，主要集口在向量的运算以及它

的几何性质部分，对于平面向量的运算，要注意运算的法则，注意向量是矢量这一知识点。

【命题预测】

预计2021年的高考对于平面向量的概念及运算部分考察还是以个题为主，如果出题可

能以选择题的形式出现.

【复习建议】

集合复习策略：

1.理解平面向量的概念，几何表示；

2.掌握平面向量的运算及儿何意义。

考向一平面向量的概念

1.平面向量的有关概念

名称定义表示

用a/,c,...或A反而，…表

向量在平面中，既有大小又有方向的量

示

向量。的大小，也就是表示向量。的有向线段荏的长

向量的模⑷或西

度（或称模）

零向量长度为0的向量用。表示

单位向量长度等于1个单位的向量用e表示,|e|二l

平行向量方向相同或相反的非零向量（或称共线向量）a//b

相等向量长度相等且方向相同的向量a=b

相反向量长度相等，方向相反的向量向量a的相反向量是-4

2.说明:零向量的方向是不确定的、任意的.

规定:零向量与任一向量平行.

M更例若〕新

1.12020安徽高二学业考试】如图，菱形A8CD的对角线AC和3。相交于点。，则下列

结论中错误的是（）

UUtlUUU1I--II——I

A.AC1BDB.|AD|=|AB|

C.国二画D.AB//CD

【答案】C

【解析】因为四边形A8C。为菱形，对角线AC和8。相交于点O,

所以AC_L3O，ABHCD^故A,B,D正确.

而|砌，|而|不一定相等，故C错误.

故选：C

2.12020全国高二课时练习】给出下列四个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若〃,B满足I。1>1B|且〃，B同向,则々>5；

③不相等的两个空间向量的模必不相等；

④对于任意向量一④必有|£十日区|£|+|5|.

其中正确命题的序号为.

【答案】④

【解析•】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误;

对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；

对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；

只有④正确.

故答案为：④

考向二平面向量的线性运算

1.向量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

算：

.

三角形法则⑴加法交换律:。+外方+。；

求两个向量和的运

加法⑵加法结合律:(a+b)+c=

算

a+(b+c)

■〜

平行四边形法则

z2r

减去一个向量相当

减法于加上这个向量的a-b=〃+(-))

相反向量

三角形法则

实数4与向量。的积(1)|训=囚同.⑴对向量加法的分配

是一个向量,这种运(2)当2>0时加与。的方向相律么(。+6)=Aa+Xb;

数乘

算叫作向量的数同;当2<0时,〃与a的方向相⑵对实数加法的分配

乘，记作Aa反;当i=0时/°=0律:(丸।+幺2)。=21。+痴

2.常用三角公式

向量的共线定理

向量。(存0)与b共线，当且仅当有唯一的实数2,使b-Aa.

典例制折

1.[2020山东省招远第一中学高三期中】若M为△ABC的边AB上一点，且丽=3丽了,则

CB=()

UUllUli_______uuuuuuuuuu

A.3cM-2cAB.3CA-2CMC.3CM+2CAD.3CA+2CM

【答案】A

【解析】根据题意做出图形，如图，

-*TT->2_*

所以CM=CB+BM=C8+—BA=CB+—CA-CB=-CB+—CA，

331J33

所以&=3CM-2CA

故选：A.

2.12020忻州市第二中学校高三月考】如图，在平行四边形ABCD口，下列结论中正确的

是（）

A.AB=CDB.AB-AD=BD

C.AD+AB=ACD.AD+BC=0

【答案】C

【解析】在平行四边形ABC。中，AB=-CD，故A错误；

由向量减法法则得而_而=丽，故B错误；

由向量加法的平行四边形法则知而+通=无心，即C正确；

由于而+而=2而，故D错误；

故选：C.

3.12020沙坪坝•重庆南开中学高三月考】在平行四边形48co中，|而|=2,|而卜1,

DE=2EC，AE交8。于/且亚.丽=一2,则下列说法正确的有（）

122^―

A.AE=-AC+-ADB.DF=-DB

335

C.何码吗D.FBFC=—

25

【答案】BCD

对于选项A：AE=AD+DE=AD+|DC=AD+|(AC-AD)=|AD+|AC,故选

项A不正确；

DFDE2__.2—►2—•

对于选项B：易证△£>所〜△囱%，所以H=F=所以DF=^FB=《DB,故

BFAB335

选项B正确：

2

对于选项C：荏.丽=一2，即48=—2,所以

AD--~ABAD--AB=-2,所以1一1丽.而一2><4=-2,解得:UUUUUU

ABAD=\^

3333

ABAD_1_1

cos(A反A£)>=画、西二西二子因为（而，通）w[0,司，所以（而，而

故选项C正确;

对于选项D：丽.定='丽.（而+觉）=|（荏—亚丽+而）

=-XAB2-3ABAD-—XAD=—X4----=—,故选项D正确.

252525252525

故选：BCD

翳检测训练

题组一

1.12019江西八校联考】在△ABC中，P,。分别是边AB,3c上的点，且AP=*B,BQ

=：BC.若A6=a,At=h,则由=（）

A.za+jbB.—%+荥

C.5-gbD.-%一1b

2.12020珠海市第二中学高二月考】已知£,坂为单位向量，则忖+可+|£-耳的最大值为

（）

A.2百B.肉1C.3D.2正

3.12020黑龙江哈尔滨三中高三期中（理）】在446c中，BD=2DC，则标=（）

]—2—2—1—I—3—3—1—

A.—A6H—ACB.—A6H—ACC.—ABHACD.—A6HAC

33334444

1——

4.12020北京顺义高一期末】如便，在矩形ABC。中，E为中点，那么向量一AO+AE

2

等于（）

A.ABB.ACC.BCD.BE

5.下面的命题正确的有（）.

A,方向相反的两个非零向量一定共线

B.单位向量都相等

C.若G,行满足同,忖且不与各同向，则

D.“若A、B、C、。是不共线的四点，且通二反“o"四边形ABCD是平行四边形”

6.在平行四边形A8CO中，。是对角线的交点，下列结论不正确的是（）

A

D

A.AB=CD,BC=ADB.AD+ob=AO

C.10+OD=AC+CDD.AB+W+CD=DA

7.[2019辽宁大连双基测试】在锐角ZUBC中，口f=3训，磁=印+）祀,则三______.

y

8.【2019山东薄泽模拟】如图，有5个全等的小正方形，彷=.舁+）#,则x+y的值是

D

B

学答案解析

题组一

1.A【解析】&=协+殖（祀一油）=宜5+?n'=/+奶.

故选A

2.D［解析］设G4的夹角为夕，。亡［0,1］,而由己知条件知

p-邛二|£『一21£痴|cosaHw=2(1—cos夕)，同理有b+,=2(1+cos0),

二|。+目+-=V^M-cos。+Jl+cos。)=2(sin—+cos—)=2&sin(—+—),而

11112224

0717t3冗、

大十:€r匕，二，

2444

/.|a+5|+|a-S|的最大值为2&-

故选：D

3.A【解析】AD=AB+BD=A5+|BC=++

故选：A

4.B【解析】因为在矩形A3CO中，E为BC中点，

所以工•万+荏='比+通=巨^+荏=衣.

22

故选：B.

5.AD

【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量•定共线，故A

正确；

单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故8错误；

向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；

A、B、C、。是不共线的点，AB=DC，即模相等且方向相同，即平行四边形ABC。

对边平行且相等，反之也成立，故。正确.

故选：AD

6.ABD

【解析】对于A：在四边形A8CZ)中，AB=DC，故A错误；

对于B：而+历=而，故B错误；

对于C：=AC+CD=AD，故C正确;

对于D：AB+BC-^-CD=AD^故D错误.

故选：ABD.

7.3

【解析】由题设可得国+箱=3（减一砌，即4磁=3露+祀，亦即磁=方力+/，则

3x

x=4»y=4»故J=3.

8.I

【解析】因为沉）=初一荏，而AZ）=2Ai：,初=科+就=办一曲,

所以筋=中一显=派一（2/—璃=3然一派

又崩，#不共线，且沆＞=HJ+y#,所以HJ+）办=3然一2#,

所以K=3,y=—2,故x+.v=L

考点21平面向量基本定理

与坐标表示及运兵

冷冬•占洋锋

【命题解读】

平面向量基本定理与坐标表示及运算是高考的一个热门考点，对于平面向量的考察主

要从这方面出题，尤其是数量积的运算是考察的重中之重，题目的难易度适中，以选择或者

填空为主，出多项选择题的机率也是比较大的，总体来说还是学生比较好得分的。

【命题预测】

预计2021年的高考平面向量基本定理与坐标表示及运算还是以选择题或者填空题为主,

难易度以中等难度为主，数量积的运算考察机率大。

【复习建议】

集合复习策略：

1.理解平面向量基本定理及其意义；

2.掌握平面向量的正交分解和坐标表示;

3.理解平面向量的数量积运算;

4.掌握运用坐标进行平面向量的加法、减法、数乘与数量积的运算。

考向一平面向量基本定理及坐标表示

1.平面向量的基本定理

如果6，62是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量有

且只有一对实数L，22,使。=4的+石62.其中，不共线的向量右，62叫作表示这一平面内所

有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算

（1）平面向量的坐标运算

a-(xi>ji)b=(X2,y2)

a+b=(x\+x2tyi+yi)a-b={xi-X2fy\-yi)za=(Zxi»iyi)

(2)向量的坐标求法

已知A(X[,Ji),B(X2，J2)»则4B=(X2-X1，J2-J1)，

22

IASI=y/(X2-x1)+(y2-yi).

3.平面向量共线的坐标表示

设。=（k，yi）»b=（i2，J2）»其中厚0,则^^亦慎二劝^《⑷^由於死丫尸。.

辑例剧折

I.12020湖南省高三月考】如图所示，在AA3C中，点。在线段3C上，且8/）=3。。,

【答案】B

_______3____3_____1-3-

【解析】AD=AB-^BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC,

4444

所以九=』,〃=3,从而求得2=?,

44〃3

故选B.

一1一4一

2.12020安徽省高三月考】设0为AA3C所在平面内一点，AO=--4B+-AC,若

33

BC=ADC（AeR）,则4=.

【答案】-3

【解析】为AABC所在平面内一点，AD=--AB+-AC,

33

•••&C,D三点共线.若觉=4配（/£/?）,・•.而一通二兄而一，而，

化为：用5=4丽+口而，与用5=~;通+：死，比较可得：1=二，解得4=一3.

AA33Z3

即答案为・3.

考向二平面向量的数量积及坐标运算

1.平面向量的数量积

⑴概念

已知两个非零向量。和瓦它们的夹角为“我们把数量同网cosJ叫作。与。的数量积（或内积）,

记作。•瓦即。力=|aW|cos4并规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0.

（2）几何意义

①向量的投影:alcos伏|b|cos夕）叫作向量a在b方向上g在a方向上）的投影.

②向量的数量积:数量积ab等于a的长度⑷与b在a方向上的投影|b|cos0的乘积.

（3）向量的夹角

己知两个非零向量。和瓦作瓦?二4用二力,则/力08=/0。瑟180。）叫作向量a与b的夹角.如果

向量。与b的夹角是90。,我们说a与b垂直，记作aA-b.

2.平面向量数量积的运算律

已知向量。，儿c和实数九

①交换律:a・b=b,a;

②数乘结合律:（2。）功=2（。4）=a（/.b）（2£R）;

③分配律:（a+b>c=a*c+b'c.

3.平面向量数量积的性质

设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,。是。与e的夹角.

②e*a=a*e=\a\cos.0.

③a_Lb<=>。功=0.

④当。与"同向时,。小二⑷网;当a与b反向时功二-⑷网.

特另U地,。口二|。|2或同二万

⑤cos

同网

®\a-b\<\a\\b\.

4.平面向量数量积的有关结论

已知两个非零向量。=(即jo力为。与6的夹角.

|a|=J*+比

〃力=nn+yi”

a_Lb=xiM+yi)'2=0

cos0=

J*+闷后+火

蕤例剧折

1.12020四川省闽中中学高三二模】已知向量a=(1,机)，5=(3,-2),且m+5)_L5,

则m=

A.-8B.-6

C.6D.8

【答案】D

【解析】*：a=(1,m),b=(3,-2),MB=(4,m—2),

又伍+5)J_5,A3X4+(-2)x(m-2)=0,解得〃?=8.

故选D.

2.12020河北省高三月考】已知向量》，石满足同=夜，|昨1,且忸+"|=2,则向

量♦与石的夹角的余弦值为

A.—B.—C.—D.立

2384

【答案】D

【解析】由题意可知：|5+1『二户+2无5+万2=3+2£出=4,解得：6石二；.

3.12020湖北省高三零模】已知向量小B满足同=4,B在a上投影为-2,则忖-3司的

最小值为

A.12B.10C.V10D.2

【答案】B

【解析】5在4上投影为-2,即同cosvM石>=一2.

v|5|>0,.,.cos<5,ft><0,

又cos<2》>e[-l,0),.•胴“in=2，

|d—3Z?|2=a2—6ab+9b2=|j|2一6同忖cos<a,b>+9时=91/?,|+64,

/.la-3^1=-9x4+64=10.

IImin

本题选B.

学检测训练

题组一（真题在线）

1.【2020年高考全国n卷文数】己知单位向量。，力的夹角为60。，则在下列向量中，与b垂

直的是

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

2.【2020年新高考全国I卷】己知P是边长为2的正六边形ABCOEF内的一点，则丽・丽

的取值范围是

A.(—2,6)B.(-6,2)

c.(-2,4)D.(T,6)

3.【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量mb满足|。|=2|力|,且（a—力_Lb,则。

与b的夹角为

A.-B.—

63

-2兀-5兀

C.——D.—

36

4.【2019年高考全国n卷理数】已知而=（2,3）,AC=（3,/）,BC=1,则丽.前二

A.-3B.-2

C.2D.3

5.【2020年高考全国I卷文数】设向量。=（1,一l）,b=（m+l,2加一4）,若alb,则

m=.

6.【2020年高考天津】如图，在四边形A3CO中，/3=60。,48=3,BC=6,且

————.3

AD=ABC,ADAB=一一，则实数2的值为_________,若M,N是线段上的动点,

2

且|而|=1,则丽•丽的最小值为.

7.【2020年高考北京】已知正方形A8CO的边长为2,点P满足Q='（而+/）,则

2

1西=；~PB~PD=-

8.[2020年高考浙江】已知平面单位向量勺，02满足12勺-0区点.设。=勺+e?，力=3勺+02,

向量。，力的夹角为夕，则cos?。的最小值是.

9.【2019年高考全国ni卷理数】已知小力为单位向量，且。乃=0,若c=2a—屉，则

cos（a,c）=.

10.【2019年高考天津卷理数】在四边形A8CO中,

AD//BC,AB=2®40=5,NA=30。，点E在线段CB的延长线上，且

AE-BE,则丽•乐-.

题组二

1.【2020全国高三月考・（理）】如图，在人46c中，A5=4,AC=2®，ZBAC=135°,

。为边5c的中点，且AM=而方，则向量的的模为（）

A叵B.述C,叵或3D,叵或逑

222222

2.12020山东济宁•高三其他模拟】已知点M是边长为2的正方形ABCZ）的内切圆上一动

点，则必5•冠§的取值范围是（）

A.[-1,0]B.[-1,3]C.[0,3]D.[~\A]

3.12020湖南长郡中学高三月考】若平面向量G,B满足同=忖=万»=2,则对于任意

实数3忖+（1-4）司的最小值是（）

A.73B.B

2

C.2D.1

4.12020河南省高考模拟】已知平面内的两个单位向量次，砺，它们的夹角是60。，OC

与次、砺向量的夹角都为30。，且|反|=2石，若玩=冗05+"砺，则4+〃值为

A.2百B.4>/3C.2D.4

5.12020沙坪坝重庆八中高三月考】己知向量2=（及,1）,人（cos。sin6）（0领8%），则下

列命题正确的是（）

A.若°，则tan0=>/2

B.若B在〃上的投影为一孑，则向量。与B的夹角为

c.存在e,使得i£+川=|£|+出|

D.4石的最大值为

TT

6.12020重庆西南大学附中高三月考】如图，中，AB=\,AD=2,ABAD=^,E

为8的中点，AE与DB交于F,则下列叙述中，一定正确的是()

A.加在丽方向上的投影为0

11110

mm।UD2

B.AF=-AB+-AD

33

UUUIU1

c.A尸A8=l

D.若。=《/"8,则tana=9

23

VIC।

7.【2020全国高三月考(理)】已知△ABC的重心为G,AD=AAB^AE=〃AC，其

11

中0v4,^<1,且。，G,E共线，则：+一=______.

AJLl

8.12020湖北省鄂州高中高三月考】在5c中，AB=(0,2),C8=(6,l),贝ijNBAC

的大小为.

9.12020甘肃省武威十八中高三期末】已知向量£=(1,2),5=(2/)，c=(l,/?),若

(2a-35)lc,则〃=_____.

10.12020江西省宁都中学高三月考】如图所示,已知点G是△A3C的重心，过点G作直线

UUULUUUIH.IUUUU

分别交AB，AC两边于M，N两点，且AM=xAB，AN=yAC»则3x+y的最

小值为-

H

驾、答案解析

题组一

1.D

【解析】由已知可得：3^=|^|^|cos60o=lxlxl=l.

2IS

A：因为（£+2万）Z=£历+2斤=—+2xl=2w0,所以本选项不符合题意；

22

B：因为（2Z+扬•石=2£出+^=2x^+l=2w0,所以本选项不符合题意；

2

—•—————2Ij

C：因为（。一"）心=。乃一幼=一一2x1=一一工（），所以本选项不符合题意;

22

D：因为（2£-石）彳=2£彳一片=2x^—1=。，所以本选项符合题意.

2

故选：D.

2.A

【解析】如图，

通的模为2,根据正六边形的特征，

可以得到AP在而方向上的投影的取值范围是（-1,3）,

结合向量数量积的定义式,

可知丽・丽等于丽模与乃在丽方向上的投影的乘积,

所以Q•通的取值范围是(一2,6)，

故选：A.

3.B

【解析】因为(。一〃)J.b,所以(a—力必=。力—〃=0,所以40=",所以cos<9=

abSI?i兀

rnu=±±7=；；，所以。与力的夹角为；，故选B.

\a\-\b\2\b\-23

4.C

【解析】由阮=/一瓶=(1,-3),|阮卜+0-3)2=1,得f=3,则配=(1,0),

AS.SC=(2,3)<l,0)=2x1+3x0=2.故选C.

5.5

【解析】由。_L力可得73=0，

又因为a=(1,—1)石=(W4-l,2/w-4),

所以a•坂=1•(/n+1)+(-1)•(2m—4)=0，

即相=5,

故答案：5.

6113

【解析】\AD=ABC^：.AD//BC,

NB4O=180-/8=120。，

^BAD=2SCMB=2|BC||^B|cosl20

解得2

o

以点8为坐标原点，8C所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系打打,

•/BC=6,.*.C(6,0),

•・[A3|=3,/A3C=60。，工人的坐标为4

(其中04x45),

13

113

故答案为：—；—

62

7.75;-1

【解析】以点A为坐标原点，AB>A”所在直线分别为x、丁轴建立如下图所示的平面直

角坐标系,

则点4(0,0)、8(2,0)、0(2,2).£>(0,2),

Q(而+抚)=；(2,0)+；(2,2)=(2,1),

则点P(2,l),.•.而=(一2,1),丽=(0,-1),

因此，叫=J(—2,+12=逐,P§PD=0X(-2)+1X(-1)=-1.

故答案为：、历；—1.

28

8.—

29

uu_uu

【解析】Q2^,-^|<V2,.\4-4ere2+l<2f

irir3

q•%之一，

4

iiuITIT

4(l+q・e,)

1挈。⑷、1r----与ir

ab(2+2e•e2)(10+6q.4)5+3^-e2

4242、28

=T0----------------3)=?9

29

35+3^-e235+3x--

4

22

故答案为：—

29

2

9.-

3

【解析】因为c=2a-正6，ab=0>

所以a•c=2a1->j5ab=2,

\c|2=4|a|2-45/5a/>+5|^|2=9,所以|c|=3,

22

所以8s〈a,c)=

同.|c|1x33,

10.-1

【解析】建立如图所示的直角坐标系，ND48=30。，AB=2瓜AD=5,则B（2百,0）,

因为4O〃BC,ZBAD=3OC,所以NAB£：=30。，

因为AE=3E,所以Nfi4E=30°,

所以直线班1的斜率为弓，其方程为y=B（x—2j5），

直线AE的斜率为-吟，其方程为了=一堂x.

y=~~（x—2石），

由"得人=、行，＞=-1，

V3

y=----x

I3

所以£（、氏一1）.

题组二

LB【解析】因为A8=4,AC=2应，N84C=135。，所以通.抚=-8.

因为颜=丽一丽=g而一而=；（血+而）一通=_:而+；/，

所以|两卜而+；=稳网2_1福亚+高珂=5^2

故选：B

2.B【解析】建立坐标系如图所示,

设M(cosasine),其中矶1,7),

易知苏(cose+l,sine+l)(cos6-l,sine+l)

=cos20—1+sin2e+2sin6+l=2sin9+1，

故选：B.

则去品二:，

3.A【解析】由题意得，设向量夹角为0,8s

(。+杨・[而+(1-/1)可=4+。5=6,设(£+杨与4)+(1—2历的夹角为/,

/.|a+^|-|2d+(l-2)^|cos/=6,・.・归+彳=a+b+2ab=12,

\^a+(1-2)^1cos/=\/3,/e0,—+(1—>1)Z?|>\/3

故选：A

4.D【解析】由题意，可得说在NAO8的角平分线上，所以祝=攵（35+丽）,

再由方=2函+〃而可得a=〃，即反=4(函+砺)，

再由|西二26,

得26=y/^COA+OB)2=y]A2(dA+2OAOB+OB2)=722(l+2xlxlcos600+1)，

解得几=2,故4=2,所以>1+〃=4,

故选D.

5.BCD

【解析】若〃_|_力，则£・〃=J58se+sin6=0,则tanO=-J^，故A错误；

若坂在3上的投影为一；，且=则|B|cos〈Z母=-；，cos值而=5，故B正确：

若0+牙=广+/+%工，（田+⑸）2=|清+|讦+2㈤由,若|办加=|£|+|加，则

a»b=\a\\b\cos{a,b）=\a\\b\,艮1cos〈£,B〉=l,故<,a,5>=0,\a+b\=\a\+\b\,故。正

确；

a•/?=V2cos^+sin6>=GsinS+e）,因为0<。<兀，0<（p<］,则当6+e=］时，a»b

的最大值为逐，故。正确，

故选：BCD.

6.ABC

【解析】因为在口4BCD中，AB=\,AD=ZZBAD=^t在八4瓦>中，由余弦定理得

3

BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosZBAD=12+22-2xlx2xcos60=3，所以满足

AB2+BDr=AD1^所以/43/)=］，

「、」八“一AFBFAB1

又七为C。的中点，所以二匚二二二二二二二

EFDFDE2

所以8/=28。=3叵，AF7AB2+BF?=

33

对于A选项：丽在丽方向上的投影为师］.COSNABF=¥^X0=0,

故A正确;

uunuunumim7urnuun9,uu-UUD、1unnnun

对于B选项：AF=AB+BF=AB+-BD=4B+-(BA+AD^=-AB+-AD,故B正确；

1艮皿IRM7211

对于C选项：ACA8=^xlx百二1,故c正确；

~T

对于D选项：tanZE4B=—,设。=:/£48,所以tan/E48==巫，解得

321一tan2a3

tana=后近（负值舍去），故D不正确,

2

故选：ABC.

7.3

【解析】•・•△?!5c的重心为G,...AG=；(而+不右)，

：D,G,E共线，则存在实数机，使得而=〃?赤+(1—6)醺,

..^AB+^AC-mAD+（]-m）AE-A,mAB+一，〃）AC,

,I

A,m=—

3IfI

।,解得机=v=l一丁

I3X3〃

A（l-w）

3

故答案为：3.

c兀

8.一

3

【解析】由题意，得/=而+而=而一而=(0,2)-(6』)二卜

因为|利卜|福卜|西=2,

所以△ABC为正三角形，从而NBAC二工.

3

9.4

【解析】2a-35=（-4,1）,

V（2a-35）±c,/.（2a-3^）*c=0,,\n=4.

故答案为4.

4+26

10.

3

UL1T1ULUHU1iuu

【解析】根据条件：AC=-AN,AB=-AM,

yx

HITiHIDiiurULU]nuniuur

又AG=——AC=——AM+——AN.

333x3y

又MGN三点共线

vx>O,y>0,

.•.3x+y=(3x+“Ln，+乂,二+2,巨=水.

v\3x3yJ3y3x3\y3x3

.•.3x+y的最小值为史述、

3

当且仅当2=；时"=”成立.

y3x

故答案为匕述.

3

考点22平面向量的旅用-一

正余根定理

冷幸占彳兰锌

【命题解读】

平面向量基的应用是考试经常出现的，尤其是正余弦定理，是高考必考知识点之一,

纵观每年的高考题，都有正余弦定理的题目，对于这部分的考察主要是以大题为主，偶尔会

出现填空或者选择，主要是掌握正余弦定埋的应用。

【命题预测】

预计2021年的高考平面向量的应用及正余弦定理肯定还是以解答题的形式出现，主要

出现在第17题的位置，需要加强题目练习，掌握正余弦定理的知识点。

【复习建议】

1.了解平面向量的应用；

2.掌握正余弦定理的知识点；

3.理解正余弦定理在解题中的应压。

考向一正弦定理与余弦定理

1.正弦定理

福;亮二品=2R（其中R是上的外接圆的半径）

(l)«=2/?sin4力=2RsinB,c=2/?sinC;

(2)a:b/c=sinA/sinB/sinC;

⑶sinA嗫sinB啖sinC嗫

(4)asinB=bsin4力sinC=csinB,«sinC=csinA

2.余弦定理

cr=b2+c2-2bccosA

tr=c^+^-laccosB,

c2=a2+h2-2abcosC

推论

2zzzzzz2

Ab+c-aa+c-b厂a^b-c

COS74=——--•cosBn=----,cosC=———

2bc2ac2ab

典例剧新

1.12020湖北省高三其他（理”已知AAAC的内角A,B,。所对的边分别是mb,

其面积旌比衿

(1)若a=n,b=&,求cosB.

(2)求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B-A)的最大值.

【答案】（I）—；（2）4

62

[心222

【解析】（D因为三角形面积为S='bcsin4二6+厂一二

24

所以sinA=''+'———=cosA,

2bc

解得A.9

因为4=，^",b=z^2»

ab

由正弦定理得:■二.,

sinAsinB

所以GAbsinA’2乂万巫,

a166

因为〃>〃，

所以A>8，

所以8为锐角，

所以cos8

6

(2)由(1)知A=2,

4

所以sin(4+B)+sinBcosB+cos(B-4),

/\/\

=sinBT—+sinBcosBicosB---

I4jI4j

=徨sinB+也cosB+sin8cos8+也sinB+也c