高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：22 导数的概念及其意义、导数的运算（学生版+解析版）

专题22导数的概念及其意义、导数的运算

一、单选题

1.（2020•蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知/'（1）=1,lim~~等一F（）

—。Ax

1

A.1B.-IC.3D.-

3

2.（2020•黄冈中学第五师分校高二期中（理））设函数f（x）在x=l处存在导数为2,则

3AX

211

A.一B.6C.—D.一

332

3.（2020•江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数〃x）=e*lnx在x=l处的切线方程是（）

A.y=e（x-l）B.y=ex-\C.）=2e（x-l）D.y-x-e

4.（2020•蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））曲线y=xe*T在点（1,1）处切线的斜率等于（）.

A.2eB.eC.2D.1

5.（2020•江西省奉新县第一中学高二月考（理））若/（xo）=-3,则lim/（“+"）一一刈等于（）

2。h

A.-3B.16

C.-9D.-12

6.（2020•江西省奉新县第一中学高二月考（理））已知y=/（x）的导函数为y=/'（x）,且在％=1处的切

线方程为y=-x+3,则/（1）一/'（1）=（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2020.黄冈中学第五师分校高二期中（理））函数/（力的图象如图所示，/'（X）为函数“X）的导函数,

下列数值排序正确是（）

A.0＜r（2）＜r（3）＜/（3）-/（2）

B.0＜/（3）＜/（3）-/（2）＜r（2）

C.0＜r（3）＜r（2）＜/（3）-/（2）

D.0＜〃3）-八2）＜八2）＜八3）

8.（2020.湖北省高二期中）若函数〃x）=acosx与g（x）=f+区+3图象在交点（0,根）处有公切线，则

a+b+m=（）

A.6B.4C.3D.2

二、多选题

9.（2020.江苏省高二期中）直线y=+b能作为下列（）函数的图像的切线.

A.f（x）=-B.f（x）=x4

X

C./（x）=cosxD./（x）=lnx

10.（2019•山东省高二期中）设点尸是曲线y=+1上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为a,

则角a的取值范围包含下列哪些（）

A.。•同

11.（2020•南京市江宁高级中学高二期中）已知点A（l,2）在函数"x）=a?的图象上，则过点A的曲线

c：y=/（x）的切线方程是（）

A.6x-y-4=0B.x-4y+7=0

C.4x—y+7=0D.3x—2y+l=0

12.（2020.江苏省高二期中）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线y=x+^（x＞0）上，则点尸到直线

x

3x—4y-2=0的距离可以为（）

467

A.-B.1C.—D.一

555

三、填空题

13.（2020•江西省石城中学高二月考（文））曲线/。）=/-4*2+4在点（1,1）处的切线方程为

14.(2020.横峰中学高二开学考试(文))曲线y=(ax+l)e'在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则

a=.

15.(2020•甘肃省高三二模(文))已知曲线y=4"sinx-cosx在点(0,-1)处的切线方程为y=x-l,则

.71.

tan(a/r--)=.

16.(2020•浙江省高三其他)德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分

概念.在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”,

这也正是导数定义的内涵之一.现已知直线y=x+b是函数/(x)=lnx的切线，也是函数g(x)=e»A的切

线，则实数6=—,k=.

四、解答题

17.(2020•江苏省邛江中学高一期中)求下列函数的导数：

(1)/(x)=x+2cosx(2)/(x)=。-2)

x+1

18.(2020•福建省南安市侨光中学高二月考)求下列函数的导数：

(1)y=x2(lnx+sinx)；

(3)y-\fxInx.

19.(2020•阳江市第三中学高二月考)已知函数/(xbf+Hnr

(I)求这个函数的导数_f(x)；

(II)求这个函数在x=l处的切线方程.

20.(2020・定远县育才学校高二月考(理))已知函数/(乃=/+"2+5+4的图象过点P(0,2),且在点

M(-l;,/(-1))处的切线方程为6x—y+7=0.

(I)求/(一1)和力t-D的值.

(II)求函数的解析式.

21.（2020.江苏省高二期中）设/（5）=5,_f（5）=3,g（5）=4,g'（5）=l,/?（幻=以泞

（1）求〃（5）及〃⑸；

7T

（2）求曲线y=/i（x）+sin—在x=5处的切线方程.

6

22.（2020•攀枝花市第十五中学校高二期中（文））设函数/（x）=ox—g,曲线y=/（x）在点（2,7（2））处

的切线方程为3x-2y-4=0.

（1）求/（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=/（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并

求此定值.

专题22导数的概念及其意义、导数的运算

一、单选题

1.（2020•蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知/'（1）=1,lim/（l+3Ax）-/（I）等于（）

Ar

1

A.1B.-1C.3D.-

3

【答案】c

【解析】

因为,1(1)=1,

/(—/⑴/(1+3词一/⑴

所以lim=3lim3/⑴=3.

—AxAr->03Ax

故选C

2.（2020•黄冈中学第五师分校高二期中（理））设函数f（x）在x=l处存在导数为2,则

lim/（l+Ax）-/（l）=（）

Ar—3AX

2C11

A.-B.6C.一D.—

332

【答案】A

【解析】

根据导数定义,

lim正上他

a。3Ax

Jim里但二他

3-TOAx

1c2

=-x2=一

33

所以选A

3.(2020•江西省奉新县第一中学高二月考(理))函数〃x)=e1nx在x=l处的切线方程是()

A.y=e(x-l)B.y=ex-\C.y=2e(x-l)D.y-x-e

【答案】A

【解析】

求曲线了=于阮1导函数，可得/(x)=e'lnx+—

X

：.f(1)=e,

*.'/(I)=0,J切点(1,0).

，函数/(x)在点(1,7(1))处的切线方程是：y-0=e(x-1),

即y=e(x-1)

故选：A.

4.(2020•蚌埠田家炳中学高二开学考试(理))曲线y=在点(1,1)处切线的斜率等于().

A.2eB.。C.2D.1

【答案】C

【解析】

由丁=旄1,得，=癖臼共富铛臼，故,］阖=&故切线的斜率为既，故选C.

5.(2020.江西省奉新县第一中学高二月考(理))若/(xo)=-3,则lim/咫+")二/但匚“)等于()

/?->oh

A.—3B.—6

C.-9D.-12

【答案】D

【解析】

分析:

由于八M一lim，伉+刈一/㈤一一3,而lim"小产")—"七一次)的形态与导数的定义形态不-

&v->oAVh—oh

样，故需要对由.4+/；)一〃/一3/0转化成功/优+人)二“无。)+〃/卜/5一3%)

力.ohhi。h

利用"(%+〃)—/(“。)+/(龙。)一/(“。一3功二

20h

+h

hmf^)-fM13.lim”/-3〃)-〃，0)

6Toh20-3/?

即可求解.

详解：

/W=lim〃x0+3—f(/)=7,5组止小匚也

-Ax*-»oh

—lim"/+")—"/)+/■)—"/一3，)

2。h

=limF/(二+人)-/&)+3,4X。-3〃)-/1)-

1。h-3h

f(x+h)-f(x)/(x-3/z)-/(x)

—lim-----0----------0-+3•hm-----0-----------0-

goh力T0—3/i

=/(xo)+Wo)=Wo)=-12.

答案：D

6.(2020•江西省奉新县第一中学高二月考(理))已知y=/(x)的导函数为y=/'(x),且在x=l处的切

线方程为y=—x+3,则/(1)一,/"(1)=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

根据题意，切线斜率即为广。)，故/'⑴=—1;

又因为点(1,/(1))满足切线方程，即/(1)=-1+3=2；

故7（1）-/"（1）=2-（-1）=3.

故选：B.

7.（2020.黄冈中学第五师分校高二期中（理））函数“X）的图象如图所示，/'（X）为函数“X）的导函数,

B.0＜r（3）＜/（3）-/（2）＜r（2）

c.o＜r（3）＜r（2）＜/（3）-/（2）

D.o＜/（3）-/（2）＜r（2）＜r（3）

【答案】B

【解析】

由/（x）图象可知，/（x）在x=2处的切线斜率大于在x=3处的切线斜率，且斜率为正，

・•・o＜r（3）＜r⑵，

v/（3）_〃2）=/⑶二/⑶,...八3）_〃2）可看作过（2"（2））和（3,/（3））的割线的斜率，由图象

3—2

可知/'⑶＜〃3）一〃2）＜/'（2）,

.•.0＜/（3）＜/（3）-/（2）＜/（2）.

故选：B.

8.（2020.湖北省高二期中）若函数/（x）=acosx与g（x）=f+笈+3图象在交点（0,加）处有公切线，则

a+h+m=（）

A.6B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】

f(x)=-asinx,g(x)=2x+/?,/(O)=a,g(0)=3=>a=m=3.

由于函数/(x)=a8sx与g(x)=X2+力x+3图象在交点(0,777)处有公切线,

所以f(o)=g(。)，即0=江

所以a+Z?+m=3+0+3=6.

故选：A

二、多选题

9.（2020•江苏省高二期中）直线y=；x+b能作为下列（）函数的图像的切线.

A.f（x）=-B./（x）=x4

X

C.f（x）=cosxD./（x）=lnx

【答案】BCD

【解析】

函数y=gx+人，可得/'（力=-5=3不成立；所以A不正确;

/3=/，1（幻=4X3=：可以成立；所以3正确；

/（x）=COSX,r（x）=-sin.r=l,可以成立；所以C正确；

/U）=lnx,/（幻=’=］可成立.所以。正确；

故直线y=；x+b能作为BCD函数图象的切线，

故选：BCD.

10.（2019•山东省高二期中）设点P是曲线y=上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为a,

则角a的取值范围包含下列哪些（）

【答案】CD

【解析】

因为y=e*—y/3x+-,故可得y'=ex—V3>一垂）:

设切线的倾斜角为a,则tana>_73，

故可得ae

故选：CD.

11.（2020•南京市江宁高级中学高二期中）已知点A（l,2）在函数/（x）=幺3的图象上，则过点A的曲线

。：丁=/（力的切线方程是（）

A.6x-y-4=0B.%-4y+7=0

C.4x-y+7=0D.3x—2y+l=0

【答案】AD

【解析】

因为点A（l，2）在函数外力=取3的图象上，所以a=2.

设切点/（%,%）,则由〃%）=2%3得，/（打=6/,即k=64，

所以在点P处的切线方程为：=6x：（x-Xo）,即y=6x；x—4x；.

而点A（l,2）在切线上，,2=6片一4只，即2片优一1）—（片-1）=（/-1）'（2/+1）=0,

解得玉>=1或Xo=-g，；•切线方程为：6x-y-4=0和3x-2y+l=0.

故选：AD.

12.（2020•江苏省高二期中）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线y=x+,（x>0）上，则点/>到直线

x

3x-4y-2=0的距离可以为（）

467

A.一B.1C.-D.一

555

【答案】CD

【解析】

设直线3x-4y+C=0与曲线y=x+，相切于点发（工0，%）,

X

则y[*=厢=i—」r=j,因为玉)>o解得玉)=2,即为=2+2=：,

X。422

故曲线y=x+1与直线3x—4y-2=0的最短距离为〃3x2-4x--2

__________2____=6

X"min心+（一炉一二

所以可以为一,一

55

故选：CD

三、填空题

13.(2020•江西省石城中学高二月考(文))曲线/(幻=/一4?+4在点(1,1)处的切线方程为

【答案】5x+y-6=0

【解析】

r(x)=3f_8x,/'(1)=-5,

.••切线方程为y_l=_5（x—l）,即5x+y-6=0

故答案为：5x+y-6=。

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,%)及斜率,

其求法为：设P(x0,%)是曲线y=f(x)上的一点，则以p的切点的切线方程为：y-y0=f\x0)(x-x0).若

曲线V=/(x)在点P(x0,/(%))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为尤=%.

14.(2020.横峰中学高二开学考试(文))曲线y=(ox+l)e、在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则

【答案】-3

【解析】

y'=aex+（依+l）e*

则f'（O）=a+l=—2

所以a=-3

故答案为-3.

15.(2020•甘肃省高三二模(文))己知曲线y=4asinx-cosx在点(0,-1)处的切线方程为y=x-l,则

,乃、

tan(«^-—)=

【答案】2-6

【解析】

曲线y=4asinx-cosx,

则y'=4ocosx+sinx,

曲线y=4asinx-cosx在点(0,-1)处的切线方程为y=工一1,

所以当x=0时，满足了=4。=1,

解得a=-t

4

代入并由正切函数的差角公式可得

7171

tan—tan—

7171

tan二46

17171

4~771+tan—.tan

46

T=2",

l+3

3

故答案为：2-6

16.(2020♦浙江省高三其他)德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分

概念.在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”,

这也正是导数定义的内涵之一.现已知直线y=x+6是函数.f(x)=lnx的切线，也是函数g(x)=e>"的切

线，则实数b=—，k=

【答案】-1-2

【解析】

由题意可知(lnx)'=』=l,故x=l,则函数f(x)的切点为(L0),代入y=x+。，得/?=—1；又

X

(/+*)=/+*=1,故兀=—Z,则函数g(x)的切点为(一幺一攵—1),代入g(x)=e»*,得左=—2.

故答案为：一1:—2.

四、解答题

17.（2020•江苏省邛江中学高一期中）求下列函数的导数:

（2）/（幻=在二号

(1)/(%)=x+2cosx

x+1

9

【答案】⑴/'(x)=l-2sinx；⑵/'W=l-

(x+l)2

【解析】

(I)/(x)=x+2cosx,则/'(x)=l-2sinx；

2(X2)(X+1)—(X2)2_》2+2X8

(2)/⑴J*二2)一,则/(外=1

x+1x+1)2X+1)2(x+1)

18.（2020•福建省南安市侨光中学高二月考）求下列函数的导数:

(1)y=x2(lnx+sinx)；

、cosx-x

⑵y=——

JT

(3)y=y[xInx.

x-2cosx-xsinx2+lnx

【答案】(1)2xlnx+2xsinx+x4-x2cosx;(2)(3)---.

X32yjX

【解析】

，2/1、

(1)y=2x(lnx+sinx)+x—+cosx

7

=2x\nx+2xsinx+x+x2cosx;

(-sinx-l)x2-(cosx-x)-2x

(2)y

x4

x-2cosx-xsinx

X3

,广12+lnx

(3)yInx+y尤•一=---»=-

x2jx

19.（2020•阳江市第三中学高二月考）已知函数/（%）=£+尢限

（i）求这个函数的导数r（x）；

（II）求这个函数在X=1处的切线方程.

【答案】(I)/"(x)=2x+/nx+l；(II)3x-y-2=0.

【解析】

（I）因为/（x,uf+xlnx,所以/'（x）=2x+/nr+l；

（II）由题意可知，切点的横坐标为1,

所以切线的斜率是k=/'（1）=2+1=3,

乂/（1）=1,所以切线方程为〉一1=3（》一1）,整理得3x—y—2=（）.

20.（2020•定远县育才学校高二月考（理））已知函数/。）=;?+灰2+以+1的图象过点Q（O,2）,且在点

处的切线方程为6x—y+7=0.

(I)求/(-1)和掰-I)的值.

(II)求函数/(x)的解析式.

【答案】(1)/(一1)=1,/'(一1)=6；(2)/(x)=d一-3%+2

【解析】

(1)：f(x)在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.

故点(-1,f(-1))在切线6x-y+7=0上，且切线斜率为6.

得f(-1)=1且f(-1)=6.

(2)Vf(x)过点P(0,2)

，d=2

Vf(x)=x3+bx2+cx+d

/.f(x)=3x2+2bx+c

由？(-I)=6得3-2b+c=6

又由f(-l)=l,得-1+b-c+d=l

'd=2[b=-3

联立方程，3-2b+c=6得c=-3

l=-l+b-c+dd=2

故f(x)=x3-3x2-3x+2

21.（2020•江苏省高二期中）设/（5）=5,/'（5）=3,g（5）=4,g'（5）=l,〃（幻=今等.

(1)求人⑸及〃'⑸；

7T

(2)求曲线y=/?(x)+sin：在x=5处的切线方程.

6

75

【答案】(1)〃(5)=一,/(5)=—；(2)5x-16y+ll=0

416

【解析】

，/=/(5)+27

(1)当户5时，h(5)=J=-,

g(5)4

函数心)=生的导数如)J'3g⑺？,+2]小)

g(x)g(X)

函数〃(x)在x=5处的切线斜率：

…、/W⑸-[〃5)+2]g")_3x4-lx(5+2)5

/7(>=-----------------------------------------------------------------------------------―-----；

g2(5)1616

，/、.71/(x)+21

(2)y=h(x)+sm—=-------+-,

6g(x)2

斫以M_r(x)g(x)-[/(x)+2]g〈x)

S(x)

I处的切线斜率：虫”—可甘卜⑸咚

g-(5)16

产力，⑸/八+—1=一7+一1二9一,

2424

所以切点坐标为(5,(),

95

则切线方程为：y———(X—5),

416

化简得5x-16y+l1=0.

故切线方程为：5x-16y+ll=0.

b

22.(2020•攀枝花市第十五中学校高二期中(文))设函数/(©=如一、，曲线y=/(x)在点(2,/(2))处

的切线方程为3x-2y-4=0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y=/(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线>所围成的三角形的面积为定值，并

求此定值.