北师大版九年级数学下册3.3垂径定理【十大题型】同步练习(学生版+解析)

专题3.3垂径定理【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用垂径定理求线段长度】 1【题型2利用垂径定理求角度】 5【题型3利用垂径定理求最值】 9【题型4利用垂径定理求取值范围】 13【题型5利用垂径定理求整点】 18【题型6利用垂径定理求面积】 22【题型7垂径定理在格点中的运用】 26【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】 33【题型10垂径定理的应用】 37【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝213，则CD的长为（）A．1 B．3 C．2 D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6 B．62 C．8 D．【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5 B．23 C．42 D．2【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=2（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12 B．1 C．32【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为（）A．1 B．233 C．33【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910 B．65 C．85【题型4利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤45 B．45＜m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个 B．3个 C．6个 D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【题型6利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．2 B．1 C．32 D．【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4 B．275π4 C．125π9【题型7垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB上，若点P是BC的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−26，0) B．(−4+26，0) C．【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1 B．7 C．8或1 D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝23，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周专题3.3垂径定理【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用垂径定理求线段长度】 1【题型2利用垂径定理求角度】 5【题型3利用垂径定理求最值】 9【题型4利用垂径定理求取值范围】 13【题型5利用垂径定理求整点】 18【题型6利用垂径定理求面积】 22【题型7垂径定理在格点中的运用】 26【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】 33【题型10垂径定理的应用】 37【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝213，则CD的长为（）A．1 B．3 C．2 D．4【分析】由垂径定理得出AC＝BC＝4，连接BE，由∠CBE＝90°及CE长度求出BE＝6，在Rt△ABE中求出AE＝10，从而得出半径OA＝OD＝5，再在Rt△AOC中求出OC，从而得出答案．【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8，∴AC＝BC＝4，如图，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵CE＝213，∴BE=C则AE=A∴AO＝OD＝5，在Rt△AOC中，OC=A则CD＝OD﹣OC＝2，【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6 B．62 C．8 D．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，∴EP＝6，∴OP=6【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5 B．23 C．42 D．2【分析】因为∠AED＝30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3，进而求得OE＝3﹣1＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF=12OE＝1，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AE＝5，BE＝1，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3，∴OE＝3﹣1＝2．∵∠AEC＝30°，∴OF＝1，∴CF＝22，∴CD＝2CF＝42，【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为23．【分析】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD=3【解答】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT．∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CE＝CB，CT⊥EB，∴ET＝TB，∵BE＝2AE，∴AE＝ET＝BT，∵AD＝OD，∴DE∥OT，∴∠AOT＝∠ADE＝90°，∴OE＝AE＝ET，∵OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBT，∵AO＝BO，AE＝BT，∴△AOE≌△BOT（SAS），∴OE＝OT，∴OE＝OT＝ET，∴∠ETO＝60°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，设DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，∴AD=3∴AO＝23．故答案为：23．【题型2利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°【分析】设圆的半径是r，作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，再由直角三角形的性质即可解答．【解答】解：如图，设圆的半径是r，则AO＝r，BO＝r，作直径BD，作BC⊙O的弦BC，使∠DBC＝30°，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，直角△BED中，可以得∠EBD＝30°，∵线段BE与线段BC关于直线BD对称，∴BC＝BE，∴BD垂直平分线段CE，∴DE=∴∠CBD＝30°而∠BCA=12∠在△ABC中，∠OAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO＝15°．同理，当E为C时，∠OAC＝75°．故∠OAC的度数为15°或75°．【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【分析】如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE=12PT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠【解答】解：如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE=12∴当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB=12∠【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=2（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【分析】（1）连接OB，先由垂径定理得OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，再由勾股定理求出BE=2（2）先证△BOE是等腰直角三角形，得∠BOC＝45°，再由圆周角定理即可求解．【解答】解：（1）连接OB，如图所示：∵半径OC过弦AB的中点E，∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，∴BE=O∴AB＝2BE＝22；（2）由（1）得：BE＝OE，OC⊥AB，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOC＝45°，∴∠CAB=12∠【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【分析】（1）根据垂径定理得到AB=AC，则AC＝AB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°．【解答】解：（1）∵BC⊥OA，∴AB=AC，∠∴AC＝AB＝6，∵点E为AC的中点，∴DE=12（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝100°，∴∠C=1∵点E为AC的中点，∴ED＝EC，∴∠CDE＝∠C＝40°．【题型3利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12 B．1 C．32【分析】因为CD⊥OC交⊙O于点D，连接OD，△OCD是直角三角形，则CD=OD2−OC2，因为半径【解答】解：连接OD，∵CD⊥OC交⊙O于点D，∴△OCD是直角三角形，根据勾股定理得CD=O∵半径OD是定值，∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD=OB∵OC⊥AB，∴AC＝BC=12AB∴CD=OB2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为（）A．1 B．233 C．33【分析】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD＝BD，AC=BC，再根据OD＝DC可得到OD=12OA=12，所以AD=32，由勾股定理，则AB=3．△PAB底AB不变，当高越大时面积越大，即P点到AB距离最大时，△APB的面积最大．则当点P为AB所在优弧的中点时，此时PD【解答】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，∴OD=12OA∴AD=OA2−OD2当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+1∴△APB的面积的最大值为=1【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为83．【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝25，则利用面积法可计算出AH＝36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为43，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD=A∵12×AH×BD=12∴AH=20×15∵⊙O的直径为16，∴⊙O的半径为8，∴点O在AH上时，OH最短，∵HM=O∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，则最大值为82−4∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×43=83故答案为：83．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910 B．65 C．85【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．【解答】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴OC=12DE只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，∵OM=3∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，过C作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=B∵12AC•BC=12AB∴CF=AC×BC∴OG＝CF﹣OC=12∴MG=O∴MN＝2MG=12故选：D．【题型4利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤45 B．45＜m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m【分析】连接PD，DF，OC，BD，利用垂径定理可得AB是CD的垂直平分线，则PC＝PD；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．【解答】解：连接PD，DF，OC，BD，如图，∵CD⊥AB，BA为⊙O的直径，∴CE＝ED=12∵OC=12∴OE=O∴BE＝OE+OB＝8．∴BD=BE2∵P是直径AB上的动点，CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分线，∴PC＝PD．∵m＝PC+PF，∴m＝PD+PF，由图形可知：PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），∵点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，∴DC＜DF≤直径，∴8＜m≤10．【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE＝BE=12AB，再根据勾股定理求出【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB＝8cm，∴AE＝BE=12AB=1∵⊙O的直径为10cm，∴OB=12×∴OE=OB2−∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有4条．【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案；②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求；（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，连接OA，如图2所示：∵OP⊥AB，∴AP＝BP=O∴AB＝2AP＝24，∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，∴长度为25的弦有两条，∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【分析】（1）连接OA，根据勾股定理求出AH，根据垂径定理得出即可；（2）求出HC和HD的值，结合图形得出即可；（3）先找出符合条件时的位置，求出三角形的高和底边，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）连接OA，如图1，∵点O到弦AB的距离OH＝3，∴AB⊥OC，∴∠OHA＝90°，AB＝2AH，在Rt△AHO中，OA＝5，OH＝3，由勾股定理得：AH＝4，∴AB＝2AH＝8；（2）延长CO交⊙O于D，如图2，∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8，∴点P只有两个时d的取值范围是2＜d＜8；（3）如图3，∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8，∴点P有且只有三个时，d＝2，如图，P在C、E、F处，连接OE，∵OC⊥AB，AB∥EF，∴OC⊥EF，∴EF＝2EM，∵OE＝5，OM＝5﹣2﹣2＝1，CM＝2+2＝4，∴由勾股定理得：EM=52−∴EF＝2EM＝46，∴S△CEF=12×EF×CM=1即点P有且只有三个时，连接这三个点所得到的三角形的面积是86．【题型5利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个 B．3个 C．6个 D．7个【分析】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．【解答】解：∵CD是直径，∴OC＝OD=12CD∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM=5∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC=4．82+6．∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，求出AB长，再利用三角形边之间的关系进而得出AO≤AP≤AB，即可得出答案．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3，∴BC=5∴AB＝2×4＝8，∵AO≤AP≤AB，∴5≤AP≤8，∴AP的长度不可能是：9（答案不唯一）．故选：D．【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有12个．【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．【解答】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC=1∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，由勾股定理得：CO=A∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，由OC＝3，OA＝5，得到PC＝2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，则还有两个点M，N到直线AB的距离为3．【解答】解：过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，如图，∴OC＝3，而OA＝5，∴PC＝2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，∴在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2．【题型6利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．2 B．1 C．32 D．【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则△AOB、△COD分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到AB、CD长；再过点O作OH⊥EF于点H，根据垂径定理可得EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，根据锐角三角形函数可求出FH，进而可得EF；再根据AB2+CD2＝EF2可判断以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∠EOF＝120°，在Rt△COD中，CD=1∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1，过点O作OH⊥EF于点H，则EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，∴FH＝1×3∴EF＝2FH=3∵12+(2)2=(3)2，即∴以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，∴其面积为：12故选：D．【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为96．【分析】先连接OH，根据BD＝12得出OD长，那么可得到圆的半径为OD+DF，利用三角形全等可得菱形边长等于圆的半径，再根据勾股定理求出OA的长，由S菱形ABCD＝4S△AOD即可得出结论．【解答】解：如图：连接OH，∵BD＝12，DF＝4∴⊙O的半径r＝OD+DF=12BD+DF∴OH＝10在Rt△HOD与Rt△ADO中，OD＝OD，AO＝HD，∠AOD＝∠HDO＝90°∴△AOD≌△GDO，∴OH＝AD＝10，在Rt△AOD中，∵AD＝10，OD＝6，∴OA=AD∴S菱形ABCD＝4S△AOD＝4×1故答案为：96．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；（2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可．【解答】证明：（1）在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE＝BE，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠B，在△DCE与△OBE中∠DCE=∠BCE=BE∴△DCE≌△OBE（ASA），∴DE＝OE，∴E是OD的中点；（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC，∴∠CED＝90°＝∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC＝CD，∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°，∴在Rt△CDE中，CD＝2DE，∵BC＝6，∴CE＝BE＝3，∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2，∴DE=3，CD＝23∴OD＝CD＝23，∴四边形CAOD的面积＝OD•CE＝63．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4 B．275π4 C．125π9【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，∵OM⊥CD，CD是弦，∴CM＝DM=12CD＝1＝∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，设ON＝x，则OM＝8﹣x，在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，∵OA＝OC，∴AN2+ON2＝OM2+CM2，即52+x2＝（8﹣x）2+12，解得x=5即ON=5∴OA2＝52+（52）2=∴S⊙O＝π×OA2=1254【题型7垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．∵点A的坐标为（0，4），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【分析】根据同圆的半径相等可得点P的坐标．【解答】解：由图形可知：⊙P上的格点坐标为（4，2）．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB上，若点P是BC的一个动点，则△ABP面积的最大值是85−8【分析】作AB的垂直平分线交AB于D，交AB于E，圆心为0，则点O在DE上，连接AE、BE，CF⊥OE于F，如图，设⊙O的半径为r，OD＝x，利用勾股定理得到r2＝x2+42①，r2＝（x+2）2+22②，则利用②﹣①可求出得x＝2，所以r＝25，DE＝25−2，然后根据三角形面积公式，点P点与点E重合时，△ABP【解答】解：作AB的垂直平分线交AB于D，交AB于E，圆心为0，则点O在DE上，连接AE、BE，CF⊥OE于F，如图，设⊙O的半径为r，OD＝x，在Rt△BOD中，r2＝x2+42①，在Rt△OCF中，r2＝（x+2）2+22②，②﹣①得4+4x+4﹣16＝0，解得x＝2，∴OD＝2，∴r=22+∴DE＝OE﹣OD＝25−∵点P是BC的一个动点，∴点P点与点E重合时，△ABP面积的最大值，最大值为12×8×（25−故答案为：85−【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为（2，1）；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为13，∠ADC的度数为90°．【分析】（1）利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，然后根据垂径的推论可判定它们的交点为D点，从而得到D点坐标；（2）先利用勾股定理计算出DA、DC、AC，然后利用勾股定理的逆定理证明∠ADC的度数为90°．【解答】解：（1）如图，点D为所作，D点坐标为（2，1）；（2）AD=22+32=13∵DA2+DC2＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，即⊙D的半径为13，∠ADC的度数为90°．故答案为（2，1）；13，90°．【题型8垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−26，0) B．(−4+26，0) C．【分析】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标．【解答】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH∵A（0，﹣2），B（0，4），∴AB＝6，∴BH＝3，∴OH＝1，在Rt△BHE中，EH=E∵四边形EHOF为矩形，∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，在Rt△OEF中，FD=DE2∴OD＝FD﹣OF＝26−∴D（26−【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】过点P作PD⊥MN，连接PM，由垂径定理得DM＝3，在Rt△PMD中，由勾股定理可求得PM为5即可．【解答】解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，∴OM＝4，ON＝10，∴MN＝6，∵PD⊥MN，∴DM＝DN=12∴OD＝7，∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，∴PM=P即⊙P的半径为5，【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为（（2）2021，0）．【分析】利用直线y＝x平分第一、三象限，则B1（1，1），由于OA2＝OB1=2OA1=2，OA3＝OB2=2OA2＝（2）2，依此变化规律得到OA2022＝（2）2021，从而得到点【解答】解：∵A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线y＝x交于点B1，∴OA1＝1，B1（1，1），∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，∴OA2＝OB1=2OA1=∵以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3，∴OA3＝OB2=2OA2=2×2=同理可得OA4＝（2）3，•••∴OA2022＝（2）2021，∴点A2022的坐标为（（2）2021，0）．故答案为：（（2）2021，0）．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝﹣15．【分析】过P点作PE⊥ON交y轴于点E，连接PM，由点M（0，﹣4），N（0，﹣10）得MN＝6，所以ME＝NE＝3，得E（0，﹣7），由勾股定理得PE＝4，故P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m得m．【解答】解：过P点作PE⊥ON交y轴于点E，连接PM，∵点M（0，﹣4），N（0，﹣10），∴MN＝6，∴ME＝NE＝3，∴E（0，﹣7），∵PM＝5，∴PE=5∵点P在第三象限，∴P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m得，m＝﹣15，故答案为：﹣15．【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【分析】分两种情况考虑：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，分别求出OE与OF，由OE+OF即可得到EF的长；当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，同理求出OE与OF，由OE﹣OF即可求出EF的长．【解答】解：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，∴E、F分别为AB、CD的中点，∴AE＝6cm，CF＝8cm，在Rt△AOE中，OA＝10cm，AE＝6cm，根据勾股定理得：OE＝8cm，在Rt△COF中，OC＝10cm，CF＝8cm，根据勾股定理得到OF＝6cm，此时AB和CD的距离EF＝8+6＝14cm；当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，同理求出OE＝8cm，OF＝6cm，此时AB和CD的距离EF＝8﹣6＝2cm，综上，AB和CD的距离为2cm或14cm．【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1 B．7 C．8或1 D．7或1【分析】连接OB，OC1，过O作OE⊥CD，OF⊥AB，则四边形EDFO是矩形，根据矩形的性质得到OE＝DF，OF＝DE，根据勾股定理得到BF=52−42=3，得到OE＝DF【解答】解：如图，连接OB，OC1，过O作OE⊥CD，OF⊥AB，则四边形EDFO是矩形，∴OE＝DF，OF＝DE，∵圆O的半径为5，弦AB＝8，∴AF＝BF＝4，∴BF=5∵AD＝1，∴DF＝3，∴OE＝DF＝3，∴C1E=5∴C2E＝4，∴C1D＝7，C2D＝1，∴CD长为7或1，故选：D．【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝23，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为1或2．【分析】设⊙O的半径为x（x＞0），则OD＝DC=12x，根据垂径定理可知AD=3，在Rt△ADO中利用勾股定理即可求出x值，再分点E在AC外和点E在AC上两种情况考虑△EOC的面积，当点E在AC外时，通过角的计算可得出∠COE＝90°，利用三角形的面积公式即可求出S△EOC的值；当点E在AC上时，过点E作EF⊥OC于点F，通过角的计算可得出∠COE＝30°，由此可得出EF的长度，利用三角形的面积公式即可求出S【解答】解：依照题意画出图形，连接OA．设⊙O的半径为x（x＞0），则OD＝DC=12∵OC⊥AB于点D，∴∠ADO＝90°，AD＝DB=12AB在Rt△ADO中，AO＝x，OD=12x，AD∴∠OAD＝30°，∠AOD＝60°，AD=AO2解得：x＝2．当点E在AC外时，∠COE＝∠AOD+∠EOA＝90°，∴S△EOC=12EO•当点E在AC上时，过点E作EF