《金融数学》(10)期-权

期权

（Options）孟生旺

目录基本概念期权定价模型二叉树模型B-S模型期权交易策略2期权的基本概念期权（option）：买卖资产的权利。规定期限，约定价格，一定数量。期权的买方（buyer）：期权多头、期权持有人。期权的卖方（seller）：期权空头。根据买方要求履行合约的义务。3期权的类型单一期权股票期权外汇期权（货币期权），利率期权指数期权复合期权期货期权：在指定日期或之前，买卖期货合约的权利互换期权：在指定日期或之前，选择是否按照事先约定的条件进行互换的权利。如可延期互换、可卖出互换、可取消互换等。4看涨期权（calloption）：以执行价格购买标的资产的权利。资产的价格上涨越多，看涨期权的价值越大。看跌期权（putoption）：以执行价格出售标的资产的权利。资产的价格下跌越多，看跌期权的价值越大。期权费（premium），期权价格（optionprice）：买方支付给卖方的费用。5例（概念辨析）：期权多头，期权空头，看涨期权，看跌期权A向B支付100元后，有权利在年底按每股22元的价格向B出售1000股股票。A是期权多头。看跌期权C向D支付110元后，有权利在年底按每股20元的价格从D购买1000股股票。C是期权多头。看涨期权E有权利在年底向F按5％的利率借款100万元。E是期权多头。看涨期权。6例：概念辨析（配对）1.看涨期权的买方1－CA.出售标的资产的权利B.出售标的资产的义务C.购买标的资产的权利D.购买标的资产的义务7例：概念辨析（配对）2.看跌期权的买方2－AA.出售标的资产的权利B.出售标的资产的义务C.购买标的资产的权利D.购买标的资产的义务8行权方式:欧式期权(European-style)：只能在到期日行使权利。美式期权(American-style)：可在到期前的任何时间执行期权。美式期权的价值大于相应的欧式期权的价值。百慕大期权(Bermudan-style)：可在到期前的某些指定时期行权。权利介于美式期权与欧式期权之间。上述期权可以在世界范围内买卖，没有地理上的含义。9执行价格（exerciseprice,strikeprice）：标的资产的买卖价格。期权价格与执行价格的区别：期权价格（期权费）：期权合约本身的价格。执行价格：期权合约中标的资产的交易价格。10与执行价格相联系的几个概念：实值期权（inthemoney）：立即行权会产生正的回收（未必是正的盈亏）例：对于看涨期权持有人，市场价格>

执行价格，实值虚值期权（outofthemoney）市场价格<

执行价格，虚值平价期权（atthemoney）市场价格=

执行价格，平价11

120TSSTKC执行价格看涨期权的价格标的资产的价格标的资产的价格1301S=100ST=120K=105C=9.4执行价格看涨期权的价格标的资产的价格标的资产的价格年利率=5%回收=120–105=15盈亏=15–9.41.05=5.13例：计算看涨期权多头的回收和盈亏141401S=100ST=100K=105C=9.4执行价格看涨期权的价格标的资产的价格标的资产的价格年利率=5%回收=0盈亏=0–9.41.05=–9.87例：例：计算看涨期权多头的回收和盈亏看跌期权多头的回收和盈亏：看跌期权多头的回收＝max(0,K

ST)看跌期权多头的盈亏＝回收

－期权费的终值150TSSTK执行价格标的资产的价格标的资产的价格P看跌期权的价格1601S=100ST=90K=105C=8执行价格看跌期权的价格标的资产的价格标的资产的价格年利率=5%回收=105–90=15盈亏=15–81.05=3例：计算看跌期权多头的回收和盈亏171701S=100ST=110K=105C=8执行价格看跌期权的价格标的资产的价格标的资产的价格年利率=5%回收=0盈亏=0–81.05=–12例：例：计算看跌期权多头的回收和盈亏看涨期权的盈亏（执行价格为K＝40，期权费的终值为5）18多头空头看跌期权的盈亏（执行价格为K＝40，期权费的终值为5）19多头空头0TSSTKC执行价格看涨期权的价格标的资产的价格标的资产的价格P看跌期权的价格欧式看涨期权与看跌期权的平价关系（parity）r

=无风险连续复利20考虑下述两个投资组合：组合A：一份欧式看涨期权，加上现金组合B：一份欧式看跌期权，加上单位股票。在到期时间T，两个组合的价值相等：若ST

>K，都等于单位股票

：A：执行看涨期权，支付K，获得股票B：看跌期权价值为零，剩余股票21考虑下述两个投资组合：组合A：一份欧式看涨期权，加上现金组合B：一份欧式看跌期权，加上单位股票。在到期时间T，两个组合的价值相等：若ST

<K，价值均为

K：A：不执行看涨期权，价值为KB：执行看跌期权，把股票按K出售，价值为K22组合A：一份欧式看涨期权，加上现金组合B：一份欧式看跌期权，加上单位股票。根据无套利假设，这两个组合当前的价值也相等：此即欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（parity）23对平价关系的一种解释：若右侧大于零，说明执行价格K偏低未来的股票价格大于K的可能性较大故看涨期权的价格较大。24期权定价的基本原理无套利定价原理：如果用股票和债券的组合可以复制期权的回收，则期权的价值将等于复制组合的价值（复制技术）。下页示例。风险中性定价原理：期权的价值与标的资产的预期收益率无关，所以可以假设：所有投资者都是风险中性的，可以用无风险利率计算未来现金流的现值。25例：无套利定价原理（用股票和债券的组合复制期权，看涨期权的执行价格为50）股票50债券1T=0T=1股票60债券1.05股票40债券1.05期权价值=10期权价值=0假设组合中股票数量为X，债券数量为Y。在T=1时，令组合的价值等于期权的价值：60X+1.05Y=1040X+1.05Y=0由此求得组合的构成：0.5单位股票，-19.05单位债券。组合在T=0时的价值即为看涨期权的价值：f=0.550-119.05=5.95年利率=5%例：风险中性定价原理（期望收益率等于无风险利率）股票50T=0T=1股票60股票40看涨期权的价值=10看涨期权的价值=0令股票的期望收益率等于无风险利率5%，即得风险中性概率：p1-p期权的价值等于未来期望值的现值：(100.625+0

0.375)/1.05=5.95

期权定价的两种经典方法二叉树模型Black-Scholes模型28例：股票现价为100，

假设经过1年以后，可能上升为110或下降为90。该股票看涨期权的执行价格为100，求该期权的价值。假设股票没有红利，无风险年利率为10%。29期权定价的二叉树模型股价=100期权价值=f股价=110期权价值=10股价=90期权价值=0构造一个无风险组合（无论股价上升还是下降，组合价值不变）：股票多头：w单位看涨期权空头：1单位若组合无风险，则有110w‒10=90w

w

=0.5股价=100看涨期权的价值=f股价=110期权价值=10股价=90期权价值=0组合的价值=100w‒f组合的价值=4531股价=100看涨期权的价值=f股价=110期权价值=10股价=90期权价值=0组合的价值=100w‒f组合的价值=45无风险组合的收益率应该等于无风险利率r=10%，故有：二叉树的一般形式股价=S期权的价值=

f组合的价值=wS-f

股价=uS期权价值=fu组合的价值=wuS-fu

股价=dS期权价值=fd组合的价值=wdS-fd

无风险组合：w单位股票，1单位期权空头无风险组合：w单位股票，1单位期权空头股价=S期权的价值=

f组合的价值=wS-f

股价=uS期权价值=fu组合的价值=wuS-fu

股价=dS期权价值=fd组合的价值=wdS-fd

风险中性定价原理：期权的现价是其未来预期价值按无风险利率贴现的现值。34二叉树模型的假设：把期权的有效期分为许多很小的时间间隔

t假设在每一个

t内，股票价格只有两种可能变动：从S上升到uS，u>1从

S下降到dS，d<1假设价格上升的概率为p，下降的概率为1‒p相应期权的价值分别为fu和fd35Δt时间内股票价格的变动36uSfudSfdS

f如何计算期权的价值f？需要已知：u,dp1-p令是年波动率，即股票年收益率的标准差：经过

t后，股票价格的方差为股票价格的方差还可以表示为故有37进一步假设，则由上述方程可得：38从而期权的价值为其中39多步二叉树模型

在时间零点，股票价格为S；当时间为∆t时，股票价格要么上涨到uS，要么下降到dS；时间为2∆t时，股票价格就有三种可能：u2S、udS（等于S，因为ud=1）和d2S，以此类推。从树图的末端T时刻开始往回倒推，从而为期权定价。在时间T的期权价值是已知的看涨期权的价值为看跌期权的价值为在时间，每一节点上的期权价值等于T时刻期权价值的期望值在时间长度Δt内以无风险利率r计算的现值。41例：股票的当前市场价格为50元，不付红利股票价格的年波动率为20%无风险连续复利为5%该股票5个月期的欧式看涨期权的执行价格为50元求该期权的价值。42解：把期权的有效期分为五段，每段为一个月。

则

t=1/12，

=20%，r=5%43

欧式看涨期权的二叉树例：倒数第二列第二个节点处的期权价值

例：股票的当前市场价格为50元，不付红利年波动率为20%无风险连续复利为5%该股票5个月期的美式看跌期权的执行价格为50元求该期权的价值（用五阶段二叉树）。4546

解：47美式看跌期权的二叉树例：右下角的期权价值计算f

=max(10.10,10.31)=10.31练习对于一个以股票为标的的3个月期欧式看涨期权，已知：股票现价为60交割价格为60年连续复利为5%股票无红利支付波动率为30%应用三阶段二叉树模型为该期权定价。48Black-Scholes模型证券价格的变化过程

维纳过程（也称作布朗运动，Brownianmotion）标准维纳过程：标准维纳过程的离散形式：，其中

服从标准正态分布。对于任意两个不同的时间间隔，相互独立。服从均值为零，方差为的正态分布50由标准维纳过程的性质可知，经过任意时间长度T以后，z

的变化服从正态分布：均值为0方差为T漂移率（driftrate）：随机变量z在单位时间内变化量的均值。方差率（variancerate）：随机变量z在单位时间内变化量的方差。标准维纳过程的漂移率为0，方差率为1漂移率为0：未来任意时刻z的均值都等于它的当前值。方差率为1：在一段长度为T

的时间以后，z的方差为T。5152标准维纳过程的随机模拟(t=1/365年,模拟了50个标准维纳过程)令漂移率为a，方差率为b2，则x的一般维纳过程为：其中a和b均为常数，dz遵循标准维纳过程。在经过以后，随机变量x的变化值为：53可见，服从正态分布均值为，方差为经过时期T后，x也服从正态分布均值为aT，方差为54一般维纳过程的随机模拟(t=1/365年,模拟了50个维纳过程,漂移率a=2,方差率b=1)55一般维纳过程的随机模拟（t=1/365年,a=2,b=1）伊藤过程（Itoprocess）把漂移率和方差率表示为x和t的函数，得伊藤过程：

其中dz

是一个标准维纳过程a和b是随机变量x和时间t的函数随机变量x的漂移率为a(x,t)，方差率为b2(x,t)。

56假设股票无红利，则股票价格变化过程可用伊藤过程表示：两边除以S：57股票价格的变化过程：dz是标准维纳过程，在以后，股票价格的变化为：可见，也服从正态分布，即：58例：假设一种不支付红利的股票：价格变化遵循维纳过程；年预期收益率为20％；年波动率为10％；该股票目前的市场价格为100元；求一周后该股票价格变化量的概率分布。59解：

，S=100，股价变化过程可以表示为：由于1周等于0.0192年，因此一周后股价的变化服从均值为0.384，标准差为1.386的正态分布。6061不同时期以后股票价格变化量的正态分布伊藤定理：若随机变量x遵循伊藤过程，即则函数G(x,t)

将遵循如下伊藤过程：

其中dz是标准维纳过程。62股票价格对数的变化过程：股票价格的变化过程可以表示为伊藤过程：而衍生证券的价格是股票价格S和时间t的函数，因此根据伊藤定理，衍生证券的价格V(S,t)

遵循如下伊藤过程：可见，衍生证券的价格V和股票价格S都受同一个dz

的影响。63

用伊藤定理推导股票价格的对数的变化所遵循的随机过程。由于将其代入伊藤过程，可知V遵循一般维纳过程：

64可见，V=lnS经过时期T的变化服从正态分布：均值为方差为可见，股票价格的对数经过时期T的变化服从正态分布：故有：65令

V在当前时刻的值为lnS在T时刻的值为lnST则V经过时期T的变化为例：假设股票当前的市场价格为50元年预期收益率为20％年波动率为10％该股票的价格遵循维纳过程在6个月内不付红利计算该股票6个月以后的价格ST的概率分布及其均值。66解：6个月以后lnST的概率分布为：也就是lnST

~N(4.0095,0.0707)即ST服从参数为（4.0095,0.0707）的对数正态分布。6个月以后该股票价格ST的均值为6768不同时点上股票价格的概率分布Black-Scholes定价公式Black-Scholes期权定价模型的假设条件如下：

（1）股票的当前市场价格为S股票价格S的比例变化遵循维纳过程，即：假设m

和s

都是已知的常数。

69（2）在期权的有效期内，股票不支付红利。（3）没有交易费用和税金，不考虑保证金。（4）股票可以自由买卖，且所有股票都是完全可分的。（5）在期权有效期内，无风险利率为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷。（6）期权为欧式看涨期权。（7）不存在无风险套利机会。70假设f是衍生证券的价格，则f是股票价格S和时间t的函数，有：构建投资组合：一单位衍生证券空头和单位股票多头，该投资组合的价值为：71（1）经过时间以后，该投资组合的价值变化量为：股票价格的变化量为将和代入（2）式可得：72（2）（3）上式不含随机项，无风险，故收益率等于无风险利率，即结合(3),(4),(1)可得Black-Scholes微分方程：注意：该方程与期望收益率

无关，即与投资者的风险偏好无关，可以在风险中性假设下为衍生证券定价。73（3）（4）74在风险中性假设下求其现值，即得欧式看涨期权的价值：由此可以得到欧式看涨期权的定价公式为：其中75根据欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系，可以得到欧式看跌期权的定价公式为：76例：假设某种不支付红利股票的市场价格为20元无风险利率为5%该股票的年波动率为4%求该股票执行价格为20元、期限为1年的欧式看涨期权和看跌期权的价格。77解：本例中的有关参数值如下：

S＝20，K＝20，r=0.05,s=0.04,T=1为了应用Black-Scholes定价模型，首先计算d1和d2

78计算

(d1)和

(d2)

代入Black-Scholes定价公式，即得欧式看涨期权的价格为：应用平价公式，看跌期权的价格为79期权交易策略保险策略：应用期权对资产头寸进行保险。购买保险为资产多头购买看跌期权；为资产空头购买看涨期权；出售保险拥有资产多头的同时，出售看涨期权；拥有资产空头的同时，出售看跌期权。80（1）为资产多头购买看跌期权（地板策略，floor）：为资产价格下降的风险提供保险。资产多头与看跌期权多头的组合，类似于看涨期权81（2）为资产空头购买看涨期权（cap,帽子策略）：

为资产价格上升的风险提供保险。资产空头与看涨期权多头的组合，类似于看跌期权多头：82（3）出售有担保的看涨期权（writingcoveredcall）：在拥有资产多头的同时，出售看涨期权其盈亏类似于看跌期权空头的盈亏：83（4）出售有担保的看跌期权（writingcoveredput）：在拥有资产空头的同时，出售看跌期权。其盈亏类似于看涨期权空头：84差价期权(spreads)差价期权：由到期时间相同、执行价格不同的同类期权形成。牛市差价（bullspreads）：可以由不同的方式构成看涨期权多头

+执行价格较高的看涨期权空头。看跌期权多头

+执行价格较高的看跌期权空头。牛市差价：低价多头，高价空头85看涨期权的牛市差价：看涨期权多头

+执行价格较高的看涨期权空头86看跌期权的牛市差价看跌期权多头

+执行价格较高的看跌期权空头。87熊市差价（bearspreads）：可由不同的方式构成看涨期权多头

+执行价格较低的看涨期权空头。看跌期权多头

+执行价格较低的看跌期权空头。熊市差价：高价多头，低价空头88看涨期权的熊市差价看涨期权多头+执行价格较低的看涨期权空头89看跌期权的熊市差价看跌期权多头+执行价格较低的看跌期权空头90盒式差价（boxspread）：通过期权生成两个合成远期：较低价位的远期多头；较高价位的远期空头。用“+”表示多头，用“-”表示空头，则有：+远期＝+看涨期权-看跌期权-远期＝-看涨期权+看跌期权（见下页图示）91+远期＝+看涨期权-看跌期权92例：用2.78元购买一个执行价格为40元的看涨期权，并用1.99元的价格出售一个执行价格为40元的看跌期权，就可以生成一个合成远期多头（交割价格为40，见下页图示）。成本=2.78-1.99=0.79元，盈亏=S

–40用0.97元的价格出售一个执行价格为45元的看涨期权，并用5.08元购买一个执行价格为45元的看跌期权，可以生成一个合成远期空头（交割价格为45，见下页图示）。成本：5.08-0.97=4.11元，盈亏=45–S

期初成本：0.79+4.11=4.90元到期获得：(S–40)+(45–S)=5元结果：相当于零息债券。93用2.78元购买一个执行价格为40元的看涨期权用1.99元出售一个执行价格为40元的看跌期权生成一个合成远期多头（交割价格为40）看涨期权多头看跌期权空头远期多头94#用2.78元购买一个执行价格为40元的看涨期权，#并用1.99元的价格出售一个执行价格为40元的看跌期权，#就可以生成一个合成远期多头（交割价格为40）x=seq(30,50,1)y1=ifelse(x<=40,-2.78,x-40-2.78)#看涨期权多头的盈亏y2=ifelse(x>=40,1.99,-(40-x)+1.99)#看跌期权空头的盈亏y=y1+y2#组合的盈亏plot(c(x,x,x),c(y1,y2,y),type='n',xlab='股票价格',ylab='盈亏')lines(x,y1,col='black',lty=2)lines(x,y2,col='blue',lty=1)lines(x,y,col='red',lty=1,lwd=5)text(45,-1,'看涨期权多头',col='black')text(36,1,'看跌期权空头',col='blue')text(44,5,'组合',col='red')用0.97元出售一个执行价格为45元的看涨期权用5.08元购买一个执行价格为45元的看跌期权生成一个合成远期空头（交割价格为45）看涨期权空头看跌期权多头远期空头95#用0.97元的价格出售一个执行价格为45元的看涨期权，#并用5.08元购买一个执行价格为45元的看跌期权，#就可以生成一个合成远期空头（交割价格为45）。x=seq(35,50,1)y1=ifelse(x<=45,2.78,-(x-45)+2.78)#看涨期权空头的盈亏y2=ifelse(x>=45,-5.08,(45-x)-5.08)#看跌期权多头的盈亏y=y1+y2#组合的盈亏plot(c(x,x,x),c(y1,y2,y),pch='.',xlab='股票价格',ylab='盈亏')lines(x,y1,col='black',lty=2)lines(x,y2,col='blue',lty=1)lines(x,y,col='red',lty=1,lwd=5)text(47,3,'看涨期权多头',col='black')text(40,-3,'看跌期权空头',col='blue')text(39,5,'组合',col='red')96盒式差价到期时的盈亏上述盒式差价策略由以下四个期权构成：A：执行价格为40元的看涨期权多头B：执行价格为40元的看跌期权空头C：执行价格为45元的看涨期权空头D：执行价格为45元的看跌期权多头AC组合——牛市差价策略BD组合——熊市差价策略结论：盒式差价＝牛市差价＋熊市差价97蝶式差价（butterflyspreads）：由四份期限相同、执行价格不同的同种期权头寸构成。如果这四份期权头寸共有三个执行价格K1

<K2<K3，且K2=（K1+K3）/2，它们的期权费的终值分别为C1，C2和C3，则相应的蝶式差价组合有如下四种：（1