陕西省延安市第一中学2024-2025学年高二数学下学期6月月考试题理含解析

PAGEPAGE19陕西省延安市第一中学2024-2025学年高二数学下学期6月月考试题理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.在空间直角坐标系中，已知点，过点作平面的垂线，垂足为，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由过点作平面的垂线，垂足的坐标为，即可求出结果.【详解】因为过点作平面的垂线，垂足为，所以可得两点的横坐标与竖坐标相同，只纵坐标不同，且在平面中全部点的纵坐标都是0，因为，所以有.故选C【点睛】本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题型.2.已知，，若，则等于（）A.-26 B.-10 C.2 D.10【答案】A【解析】试题分析：依据题意，由于，，且有，则可知，故可知选A.考点：向量垂直点评：主要是考查了向量垂直的坐标公式的运用，属于基础题．3.假如三点，，在同一条直线上，则()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由三点共线可知为共线向量，依据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果.【详解】三点共线为共线向量又，，解得：，本题正确选项：【点睛】本题考查利用共线向量解决三点共线的问题，关键是能够明确三点共线与共线向量之间的关系.4.小明同学喜爱篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用二项分布的概率计算公式：概率即可得出．详解：：∵每次投篮命中的概率是，

∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率．

故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是．故选D.点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题．5.如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故选：C.【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.6.已知随机变量的分布列为130.160.440.40则（）.A.1.32 B.1.71 C.2.94 D.7.64【答案】D【解析】【分析】先由随机变量的分布列求出，再由期望的性质，即可求出结果.【详解】由题意可得，随机变量的期望为，所以故选：D.【点睛】本题主要考查期望性质的应用，熟记期望的性质即可，属于基础题型.7.某校约有1000人参与模块考试,其数学考试成果听从正态分布N(90,a2)(a>0),统计结果显示数学考试成果在70分到110分之间的人数约为总人数的0.6,则此次数学考试成果不低于110分的学生人数约为（）A.600 B.400C.300 D.200【答案】D【解析】分析】70分到110分之间人数约为总人数的0.6，依据正态分布知，90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110分以上的约为总数的.【详解】依据正态分布知，其均值为90分，又70分到110分之间人数约为总人数的0.6，依据对称性知90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110分以上的约为总数的，故有大约人，选D.【点睛】本题主要考查了正态分布，利用正态分布的对称性解题，属于中档题.8.同时抛掷两枚匀称的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝()A. B.C. D.5【答案】A【解析】两枚同时出现反面的概率为，所以为次独立重复试验，属于二项分布，方差为.9.如图，在三棱锥中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，．若是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与所成角的余弦值．【详解】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），A（4，0，0），（﹣2，2，﹣3），（-4，0，6），设异面直线与所成角所成角为θ，则cosθ．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选A．【点睛】求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.10.已知0，，0，，2，，则点A到直线BC的距离为A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先写出和的坐标，再求出，最终利用公式，即可求值.【详解】解：0，，0，，2，，0，，2，，点A到直线BC的距离为：．故选A．【点睛】运用空间向量求点到直线的距离，首先写出直线的方向向量，在直线上选取一点和已知点构造一个新的向量，运用两个向量的数量积公式求出夹角的余弦，再数形结合，结合直角三角形运用勾股定理求出距离.11.四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（）A. B.46 C. D.32【答案】C【解析】试题分析：由,.由底面为矩形得；，，另；，,考点：空间向量的运算及几何意义.12.在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面D1EF的距离,N到面的距离是M到该面距离的一半．【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，2），∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为，选D．【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，以及数形结合思想．二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知随机变量，且，则________.【答案】0.75【解析】【分析】依据正态分布的对称性，先得到，进而可求出结果.【详解】因为，由正态分布的对称性，可得：，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由正态分布求指定区间的概率，属于基础题型.14.已知，，若，，则的值是________.【答案】或1【解析】【分析】依据题意，由向量模的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】因为，，，，所以，解得：或，因此或.故答案为：或1.【点睛】本题主要考查由空间向量的模与数量积求参数的问题，属于基础题型.15.已知点，，为线段上一点且，则点的坐标为________.【答案】【解析】【分析】先设，依据题意，得到，再由向量的坐标表示，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】设，因为为线段上一点且，所以，又，，所以，因此，解得：，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由向量的坐标表示求参数的问题，属于基础题型.16.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________．【答案】【解析】试题分析：将个不同的小球随意放入个不同的盒子中，每个小球有种不同的放法，共有种放法，每个盒子中至少有个小球的放法有种，故所求的概率.考点：1、排列组合；2、随机变量的概率.三、解答题（共70分）17.在一个袋中，装有大小、形态完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量为取得红球的个数.（1）求的分布列；（2）求的数学期望和方差.【答案】（1）详见解析（2），【解析】【分析】（1）听从超几何分布，依据古典概型概率公式简单求出分布列；（2）利用期望和方差定义干脆计算.【详解】解：（1）的取值为0,1,2.，，，则的分布列为：012（2），.【点睛】本题考查超几何分布、期望和方差，是高考重点考查学问点，属于基础题.18.现有个人去参与某消遣活动，该活动有甲、乙两个嬉戏可供参与者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地匀称的骰子确定自己去参与哪个嬉戏，掷出点数为或的人去参与甲嬉戏，掷出点数大于的人去参与乙嬉戏．（1）求这个人中恰有个人去参与甲嬉戏的概率；（2）求这个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去参与甲嬉戏的概率为，去参与乙嬉戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有i人去参与甲嬉戏”为事务Ai（i=0，1，2，3，4），故．由此能求出这4个人中恰有2人去参与甲嬉戏的概率．（Ⅱ）依据题意分成两类，同第一问分别求出即可．试题解析：（1）每个人参与甲嬉戏的概率为，参与乙嬉戏的概率为，设“个人中恰有个人去参与甲嬉戏”为事务，则．所以这个人中恰有个人去参与甲嬉戏的概率为．（2）设“个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数”为事务，其中包含事务：“人参与甲嬉戏，个人参与乙嬉戏”和事务：“个人均参与甲嬉戏”，和互斥．．所以个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率为．19.如图，直棱柱的底面中，，，棱，如图，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系（1）求平面的法向量；（2）求直线与平面夹角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）设处平面的法向量的坐标，利用向量的数量积为，即可求解平面的一个法向量；（2）取出向量，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成角的正弦值.详解：（1）由题意可知故设为平面的法向量，则，令，则（2）设直线与平面夹角为，点睛：本题考查了平面法向量的求解，以及直线与平面所成的角，着重考查了空间想象实力，以及推理与运算实力，在高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20.如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．(1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值；(2)当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．【答案】(1)(2)点P的坐标为(),最小值为.【解析】【分析】(1)依据正方体的性质可得的坐标，由两点间的距离公式计算可得结果；(2)依据题意，设点的横坐标为,得＝．由，可得＝＝，可得的坐标为，进而可以用表示的长，结合二次函数的性质分析可得结果.【详解】(1)因为正方体的棱长为1，P是AB的中点，所以P().因为2|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝，所以Q(0,1,).由两点间的距离公式得：|PQ|＝＝.(2)如图，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x.由正方体的棱长为1，得|AE|＝(1－x)．因为，所以|PE|＝＝1－x，所以P(x，x1－x)．又因为Q(0,1,)，所以|PQ|＝所以当x＝时，|PQ|min＝，即当点P的坐标为()，即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为.【点睛】本题主要考查正方体的性质、空间两点间的距离公式以及最值问题，属于中档题.最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特殊是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，特别奇妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后依据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21.如图，在三棱锥中，，，°,平面平面，分别为中点.（1）求证：平面;（2）求二面的大小.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得，进而由线面平行的判定定理，即可正面的结论；（2）以D为原点建立空间空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量的夹角公式，即可求解二面角的大小．【详解】（1）在中，D、E分别为AB、AC的中点，所以，又由平面平面，所以平面．（2）连接PD，因为PA=PB，E为AB的中点，所以，因为，，所以，以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，由，所以所以,设平面PBE的法向量为，则，即，令，得，因为平面，所以平面PAB的法向量为，设二面角的大小为，所以，所以，即二面角的大小为．【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象实力和逻辑推理实力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22.如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点，F在SE上，且.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在