【积分中值定理及其应用探究1800字（论文）】

积分中值定理及其应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u2377301引言 33237802积分中值定理 3456703积分中值定理的应用 7254961.用于确定数列极限 7116432.用于判断级数的敛散性 8108343.用于确定函数极限 972924.用于确定函数零点分布 10254395.用于证明积分不等式 10287366.用于估计定积分的值 121432504结论 147420参考文献 15摘要：积分中值定理在数学分析中有着重要意义，它是积分学中的基本定理，本文主要介绍积分中值定理的相关内容以及证明过程，在数学中的具体应用，具体从确定函数极限，证明积分不等式，确定函数零点分布等多个方面进行说明。关键词：积分中值定理，推广，应用引言积分中值定理在数学分析中有重要意义，它建立了积分和被积函数之间的关系，是数学分析的基本定理和重要手段，它应用于数学中的很多方面。在微积分的许多命题和不等式的证明中都以积分中值定理为依据，增强其实际的应用价值，也为之后积分中值定理的改进应用带来很大的空间。02积分中值定理定理2.1REF_Ref3391\r\h[1](积分第一中值定理)若函数在闭区间上连续，则至少存在一点使:证明；由积分性质可知，其中，将不等式两边同时除以得，介于函数的最小值和最大值之间，由连续函数的介值定理可知，必定存在，使得:即有REF_Ref3391\r\h[1]定理2.2REF_Ref3391\r\h[2](广义积分中值定理)若函数和在闭区间上连续且在上不变号，则至少存在一点，使得：证明：由于函数在闭区间上可积的，在上可积且不变号，，和在闭区间上连续，即有REF_Ref3391\r\h【2】定理2.3（积分第二中值定理）REF_Ref3391\r\h若在上是黎曼可积的，（1）若函数在上单调递减，且，则至少存在一点使得：REF_Ref5236\r\h【5】（2）若函数在上单调递增，且，则至少存在一点使得：REF_Ref5236\r\h【5】证明：如下证（1），（2）可类似证明，令，是一个连续函数，在上有最小值和最大值.设，，由得,即所以存在，从而定理2.4（广义积分第二中值定理）则在积分区间上至少存在一点，使得下式成立：REF_Ref5236\r\h【5】REF_Ref5236\r\h【5】证明：令则。存在使得由于因此可得：REF_Ref5236\r\h【5】则令则为非负，递增函数。存在使得因此可得：REF_Ref5236\r\h【5】03积分中值定理的应用1.用于确定数列极限例1求极限REF_Ref5350\r\h【3】解：例2证明：REF_Ref5350\r\h【3】证明：例3求极限解：例4求极限解：由于在上连续，在上至少存在一点，使得：因此有：2.用于判断级数的敛散性例5设为非负函数REF_Ref5664\r\h【7】，且单调递减，,证明和同时发散或收敛。证明：由积分判别法将的敛散等价于的敛散因为函数非负，且单调递减，因此有3.用于确定函数极限例6设函数连续，且，求极限REF_Ref5350\r\h【3】解：令x-t=u,则例7求极限解：例8设可导，且，求由定理2.1知有使解：4.用于确定函数零点分布例9上连续，内可导，且，证明在内至少有一个零点.REF_Ref5866\r\h【4】证明：在上存在一点，使得：从而，：例10上的连续，在内可导，且，证明存在，使REF_Ref7051\r\h【9】证明：：，所以由罗尔中值定理可知，在区间内至少存在一点，使得，例11设函数为上连续，在上可导，且，其中，证明：在内至少存在一点，使证明：由积分中值定理知，存在使由已知条件的等式可知由罗尔中值定理可知，在区间内至少存在一点，使得例12设函数为上连续，且试证在内至少存在两个不同的点使得REF_Ref7051\r\h【8】证明：由已知条件REF_Ref7051\r\h【8】则有若在内，，由知在内异号，，在内由在，可知：矛盾，故，5.用于证明积分不等式例13假设为上的连续，非负，严格单调减函数，证明证明：两边乘以得：因为，所以，，所以，例14求证证明：其中，例15证明证明：，所以6.用于估计定积分的值例16估计的值.解：令在上可积，且在上不变号，由定理2.1知，存在，使由知，，，例17估计的值.解：令在上可积，且在上不变号，根据定理2.1，存在，使由知，例18估计的值.解：例19估计的值.解：在上连续，且由定理2.1有：04结论通过介绍积分中值定理，并对积分中值定理的内容和相关应用进行总结，有利于对积分中值定理的认识，积分中值定理不仅能够简化定积分的运算，判断级数的敛散性和确定数列极限等应用，通过具体例题来呈现。本文在介绍积分中值定理时理论性质较强，缺少实际的东西，简化了数学问题，使解题更加快捷。参考文献：[1]陈传璋等.数学分析（第三版）上册[M]，北京：高等教育出版社.2007.4：302-303.[2]华东师范大学数学系.数学分析[M]，北京：高等教育出版社.2001：217-219.[3]刘俊先.积分中值定理的应用[J]，赤峰学院学报.2010.[4]刘三阳.各类考研数学全真试题与解答[M].西安：西安电子科技大学出版社.2001:114,252.[5]邓晓红.积分中值定理的应用[J]，贵阳金筑大学学报.2004.[6]张筑生.数学分析新讲[M]，北京：北京大学出版社.1990：92-95.[7]李世金，赵洁.数学分析解题方法600例[M].长春：东北师范大学出版社.