【对微分方程中积分因子的探究3200字（论文）】

对微分方程中积分因子的研究目录TOC\o"1-2"\h\u摘要 1引言 21.预备知识 32.二元微分方程中积分因子的研究 32.1积分因子的定义 32.2积分因子的存在条件 42.3积分因子的解法 43.三元微分方程中积分因子的研究 83.1全微分方程的存在条件 83.2三元微分方程积分因子的在条件 103.3三元微分方程积分因子的解法 11结束语 15参考文献 16摘要:本文主要从两个方面研究微分方程中的积分因子.一方面,给出了二元微分方程积分因子的基本定义以及存在的条件,阐述了三种求解二元微分方程的积分因子.另一方面,在二元微分方程的基础上将积分因子推广到三元微分方程上,介绍了三元全微分方程的存在性以及相应积分因子的解法.关键词:微分方程;积分因子;全微分;恰当方程引言微分方程不仅在数学领域,在其他科学领域也是同样重要的存在.如今在这个信息化的时代,恰当方程的应用也越来越广泛.例如:物理学领域中的电子设备的设计,航天领域中飞行器稳定性研究等.而积分因子就是用于解决微分方程的一种方法.在三百多年以前,著名数学家欧拉给出了积分因子这个概念,他认为如果一个微分方程能够使用变量分离的方法去求解,也就是将一个非恰当方程分离为两个或者两个以上有且仅含有一个变量的恰当方程,那么此时就能够采用积分因子法去求解这个方程.通过多名学者专家的研究,证实了如果一个方程能够利用变量分离的方法去求解,那么这时也就能够采用积分因子法去求解这个方程.目前,学者对积分因子这一领域的研究也取得了很大的成功[1-10].如:在文献[2]中,伍军通过多种积分因子法求解微分方程;在文献[3]中,阎淑芳对积分因子的存在性做出了进一步的研究.本文介绍了二元微分方程积分因子的定义以及存在的条件,给出了三种求解二元微分方程的积分因子的方法,接着进一步将二元微分方程的积分因子推广到三元微分方程,介绍了三元全微分方程的存在性以及相应积分因子的解法.1.预备知识定义1.1对于形如(1.1)的微分方程,若方程左端正好是的一个可微分的函数的全微分,那么,则称(1.1)为全微分方程.易知,全微分方程的通解为,(为任意常数).定理1.1[1]在平面上的单连通区域内,若,在其之内存在某个特定的偏导数且是连续的,那么式(1.1)是恰当方程的充分必要条件为:.(1.2)二元微分方程中积分因子的研究积分因子的定义定义2.1对于方程,如果存在可微函数,使得方程(2.1)为全微分方程,那么称为方程(1.1)的积分因子.定理2.1如果是式(1.1)的积分因子,即存在可微函数使得,则为式(1.1)的积分因子的充分必要条件为:,其中是可微函数.证明充分性由于这里是的一个原函数,即是全微分方程.必要性因为方程的积分因子有,故存在可微函数使得,两边同乘得,所以,其中为关于的可微函数.由此可见方程的积分因子并不唯一.证毕.2.2积分因子的存在条件由全微分方程的定义可知(2.1)为全微分方程的充分必要条件为,(2.2)即.记,,,上式整理后得.(2.3)因此,(2.3)的解是微分方程的一个积分因子.2.3积分因子的解法2.3.1观察法针对某些不那么复杂的微分方程,则可利用观察法来求得该微分方程的积分因子[3].例如(1)积分因子为(2)积分因子为,,,,如果能熟练掌握观察法的话,那么就可利用观察法来提高解题效率.下面就给出一道例题来熟悉一下观察法.例1求微分方程的一个积分因子.解首先将原先方程进行重新组合后可得,因为是的积分因子,并且也是的积分因子,故可知的一个积分因子为.需要说明的是,如果遇到较为繁琐复杂的微分方程,无法直接看出它的积分因子,那么就需要利用其它方法去求出方程的积分因子[3]..2.3.2公式法(1)如果方程只含有仅与有关的积分因子,则满足的条件,是仅与有关的函数[4];(2)如果方程只含有与有关的积分因子,则满足的条件为,是仅与有关的函数;(3)如果方程有积分因子,则、满足的条件为,是仅与有关的函数;,是仅与有关的函数;(4)如果方程积分因子,则满足的条件为,是仅与有关的函数;(5)如果方程有类似的积分因子,那么、满足条件为,是仅与有关的函数;,是仅与有关的函数;(6)如果方程有类似的积分因子,那么满足的条件为,是仅与有关的函数;如果方程中的,以及,之间的关系满足上述六条件之一,则方程的积分因子就能求得.例2求微分方程的积分因子.解由于,,可知是关于的函数,所以原方程的积分因子为.2.3.3分组法对于一个微分方程,如果无法采用上述两种方法来求它的积分因子,那么就需采取别的方法,此时分组法就应运而生.定理2.2[8]若为式(1.1)的积分因子,并且,那么也是方程(1.1)的积分因子.其中是关于的任意一个可微分的连续函数.定理2.3[9]若方程,(2.4)第一组和第二组分别有积分因子和,即,(2.5)如果可选择两个可微分的连续函数,,使得,则为式(2.4)的一个积分因子.例3求微分方程的积分因子.解由题可知,其中是的积分因子,即有,是的积分因子,即有,故,分别为和的积分因子.令,则.故有,得.即原微分方程的积分因子为.三元微分方程中积分因子的研究3.1全微分方程的存在条件定理3.1三元微分方程为全微分方程的存在性条件是,(3.1)证明在三元微分方程中,(3.2),(3.3),(3.4)其中(3.1)式可以展开成(3.5)把(3.2)(3.3)(3.4)式代入(3.5)可得.即,所以(3.1)式得证.例4求方程的通解.解因为且,所以该方程是恰当方程.所求的满足下面的三个方程,(3.6),(3.7),(3.8)由(3.6)对进行积分可得,(3.9)为了确定,,将分别对,求导,并使其满足(3.7),(3.8)可得,(3.10),(3.11)积分后可得.因,故方程通解为(为任意一个常数).3.2三元微分方程积分因子的存在条件定理3.2[10]微分方程为全微分方程的充要条件是,(3.12)其中是与,,有关的积分因子.即(3.13)满足(3.13)的解即为方程的一个积分因子.3.3三元微分方程积分因子的解法定理3.3若方程存在类似的积分因子,那么它所满足的充要条件为,(3.14)这里是只与有关的函数,的积分因子为,(3.15)证明必要性设积分因子是仅与有关的函数,则,所以,即,即,(3.16)即得(3.14)式.充分性如果(3.14)成立的话,并且还是方程,(3.17)的解,则可知也是(3.13)的解,也就是是(3.17)的积分因子.将(3.14)式代入(3.16)中可得,(3.18)由此可得.定理3.4方程(3.17)存在类似的积分因子的充要条件为,(3.19)其中是仅与有关的函数,并且其积分因子为,(3.20)定理3.5方程(3.17)存在类似的积分因子的充要条件为,(3.21)其中是仅与有关的函数,并且其积分因子为,(3.22)例5求方程的积分因子和通解.解令，，，并有，故原方程不是全微分方程.又因，仅与有关，所以方程有积分因子.方程两端同时乘以，可得，所以方程的通解是.定理3.6方程(3.17)存在类似的积分因子的充要条件为,(3.23)其中是仅与有关的函数,并且其积分因子为,(3.24)证明必要性假设积分因子是仅与有关的函数,那么,,,所以即即,(3.25)即得(4.23)式.充分性如果(3.23)成立的话,同时也是(3.17)的解,则此时也是(3.14)的解.也就是说,也是(3.17)的积分因子.将(3.23)代入(3.25)可得.由此可知,由定理3.5可知,(3.17)也是存在类似,等一系列的积分因子.结束语通过上述对几种微分方程的积分因子法的解析,可以采取符合微分方程的特性的方法来求出方程的积分因子.一、观察法会比较适合用于一眼就能看出其积分因子的微分方程,然而大部分微分方程是无法看出它的积分因子的,这时需把之前的方程进行组合得到一个新方程,然后我们再采用观察法,去求出原方程的积分因子.二、公式法的运用范围相对会比较广泛,只要方程满足则都可以找到类似的积分因子.三、对于分组法,我们一般会用分组法来求较为繁琐的微分方程.如果我们要利用分组法来求解微分方程,那么我们就需要注意,在解的过程中我们要把较繁琐的微分方程进行适当的重组整合,并且要选取适当的和使得.参考文献[1]王高雄,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1990.[2]伍军.求解积分因子的几种方法[J].新疆师范大学学报(自然科版),2006,11:103-109.[3]阎淑芳.积分因子的存在条件及求法[J].邯郸师专学报,2004,14(3):3-6.[4]龚雅玲.求解微分方程的积分因子法[J].南昌教育学院学报,2007,22(1):31-35.[5]李耀红,陈浩.对微分方程复合型积分因子问题的推广[J].黄山学院学报,2006,8(3):11-12.[6]陈纪修,等.数学分析第二版下册[M].高等教育出版,2004.[7]徐安农,段复建.全微分方程与积分因子法[J].桂林电子工业学院学报,2002,10:10-12.[8]滕文凯.积分因子的分组求法[J].承德民族师专学报,2004,24(2):6-7.[9]刘会民,王新.有关一阶微分方程积分因子的计算[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),2003,26(3):237-239.[10]王金诚.浅析积分因子的求法[J].中国科技信息,2007,15(22):245-246.