2021-2021学年九年级数学上册-第24章-圆学案新人教

2019-2020学年九年级数学上册第24章圆学案（新版）新人教版学习目标1．了解圆的两种定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关概念.2．了解圆是圆周而非圆面，理解等圆、等弧的概念.学习重点：了解圆的两种定义，理解弦、弧等相关概念学习难点：理解等圆、等弧的概念。学习过程一．自主学习1．为什么车轮要做成圆形的？2．你是怎样画圆的？根据画圆的不同方法，你能描述一下形成圆的过程吗？二．探索新知1．圆的两种定义：动态：在一个平面内，线段OA绕着它旋转一周，形成的图形叫做圆。静态：圆心为O、半径为r的圆可以看作是.例如：半径是3cm的圆可以看作.确定一个圆有两个要素，一是______，二是______，_____确定圆的位置，_____确定圆的大小.2．圆中相关概念如图1：_____________叫做圆心，__________叫做半径，以O为圆心的圆记做_____.连接圆上任意两点的线段叫做；过圆心的弦叫做；圆中最长的弦是_____；圆上任意两点之间的部分叫做______，弧AB记做______；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做______；比半圆长的弧叫做_____，比半圆短的弧叫做____.能够重合的圆叫做_________；能够重合的弧叫做_____________.三。应用新知例1判断正误：⑴弦是直径.（）⑵过圆心的线段是直径.（）⑶半圆是最长的弧.（）⑷等弧是长度相等的弧.（）例2如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD=78°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数.四．发现总结1．确定圆的条件是_____和______,其中圆心定______，半径定____________。2．在解决圆中的有关证明和计算时，经常要用__________来提供线段相等的条件，所以圆中常见辅助线之一是________.五．巩固提高如图所示，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP上以及⊙O上，并且∠POM=45°，求AB的长.六.课堂检测1．下列说法中：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。其中正确的个数是：A．1个B.2个C.3个D.4个2．若AB是⊙O弦，且⊙O的半径为3，则弦AB的长为：（）A.3＜AB＜6B.3≤AB≤6C.0＜AB＜6D.0＜AB≤63．点P到圆上的点的最大距离为5，最小距离是1，则此圆的半径为（）A．3B.2C.3或2D.6或44．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为（）A.cmB.9cmC.cmD.cm5．如图，C为⊙O直径AB的延长线上一点，点D为⊙O上一点，CD交⊙O于点E，AB=2CE，∠A=60°，求∠C的度数.6．如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，M、N分别是AO、BO的中点.（1）求证：四边形CMDN是平行四边形（2）四边形CMDN能是菱形吗？若能，需要添加什么条件？七．学习感悟24.1.2《垂直于弦的直径》学习目标1．理解圆的轴对称性，了解拱高、弦心距等概念；2．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。学习重点：“垂径定理”及其应用学习难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。学习过程一．自主学习同学们能不能找到图1这个圆的圆心？拿出手中的圆形纸片试一试.问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆__________.②刚才的实验你说明什么？由此你能得到什么结论？圆是____________，___________________________是它的对称抽.二.探索新知1.垂径定理思考：如图2，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E.⑴这个图形是对称图形吗？⑵你能发现图中有哪些相等的线段和弧？⑶你能用几何方法证明这些结论吗？⑷你能用一句话概括上述命题吗？垂径定理：（文字表述）________________________________.（符号语言）∵___________，___________；∴___________，___________，___________.2．垂径定理的推论思考：（将上述垂径定理的题设和结论稍作调整）如上图，若直径CD平分弦AB则：⑴直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？为什么？⑵如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？垂径定理的推论：（文字表述）平分弦（）的直径垂直于弦，并且___________.（符号语言）∵___________，___________；∴___________，___________，___________.3．观察下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？你能得出相关的结论吗？结论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①__________、②___________、③___________、④_______________________、⑤______________________，那么五个条件中满足任何其中两个条件都能推出其他三个结论.三．应用新知例1完成课本问题中，求出赵州桥的主桥拱的半径。例2如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．四．发现总结1．垂径定理的推论中要注意哪个附加条件？为什么？2．在圆中，线段的有关计算经常要运用垂径定理，过_____作___________作为辅助线，形成基本图形_____________(简要画出来)，构造______三角形，利用________定理建立方程模型，将圆中________、________、________等相关量联系起来。这几个量之间有哪些转化方式？五．课堂检测1．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm。则直尺的宽是______。2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________，最长弦长为_______．3．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．4．如图，已知半径为5的⊙O与y轴交于点M（0，－4），N（0，－10），函数（x<0）的图像过点P，则k=______.(第1题图)(第3题图)(第4题图)(第5题图)5．在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）A.6分米B.8分米C.10分米D.12分米6．如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，且AE是⊙O的直径，AD是△ABC的边BC的高，EF⊥BC，求证:BF=CD.7．如图，在平面直角坐标系中，⊙D与坐标分别相交于A(－，0)，B(，0)，C(0，3)三点．(1)求⊙D的半径；(2)E为优弧AB上的一动点(不与A，B，C三点重合)，EN⊥x轴点N，M为半径DE的中点，连接MN，求证∠DMN＝3∠MNE；(3)在(2)的条件下，当∠DMN＝45°时，求E点的坐标．六．学习感悟24.1.3《弧、弦、圆心角》学习目标1．理解圆的旋转不变性。掌握圆心角的概念，学会辨别圆心角。2．掌握以及弧、弦、圆心角之间的相等关系并能运用这些关系解决有关证明、计算问题.学习重点：圆心角、弦、弧之间的相等关系.学习难点：运用圆心角、弦、弧之间的相等关系解决有关证明、计算问题.学习过程一．自主学习1．圆是轴对称图形，对称轴是___________，有_____条；圆是中心对称图形，对称中心是______.将一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆______，圆具有______性.2．如图1，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在_________的角叫做圆心角．3．如图2，在⊙O中，∠AOB=∠将∠绕着圆心O旋转到∠AOB，有哪些量能相等？图1图2二．探索新知上面观察得到的结论，你能用圆的相关知识来说明理由吗？思考：上述的结论还成立吗？因此，我们可以得到下面的定理：____________________________________________.同样，还可以得到：在__________中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弦也____．在__________中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弧也____.由上面定理我们不难得到：在同圆或等圆中，_______、_______、_______三组量中，只要有一组量相等，其余的两个量也相等.三．应用新知例1根据如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，（1）如果AB=CD，那么_________，__________。（2）如果AB=CD，那么_________，__________。（3）如果∠AOB=∠COD，那么_________，__________。（4）AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．则OE____OF.证明你的结论.例2如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.四．发现总结1．在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？2．证明圆中弧、弦、圆心角相等通常可以依据__________定理，通过证明本量中以外的量相等的来实现.五．巩固提高1．如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（图1）（图2）六．课堂检测1．下列说法正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.A.1个B.2个C.3个D.4个2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A.AB=2CDB.AB>2CDC.AB<2CDD.不能确定3．如图1，AB是⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CE⊥AB，DF⊥AB，分别交⊙O于E、F两点.下列结论：①CE=DF；②AE=EF=FB；③AF=2CE；④四边形CDFE为正方形.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个图1图2图34．如图2，AB是直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，则∠AOE的度数为______.5．如图3，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．6．如上图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，⊙A交AD、BC于E、F，延长BA交⊙A于点G，求证：GE=EF

. 如图，直线经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线上的一个动点（不与点O重合），直线CP与⊙O相交于点Q，是否存在这样的点P，使得QP=PO？若存在，满足条件的点有几个？求出相应的∠OCP的度数；若不存在，说明理由.24.1.4《圆周角》（1）学习目标1．使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并运用它们进行论证和计算.2．了解分类思想和完全归纳的思想.学习重点：圆周角的概念、圆周角定理及其推论在论证和计算中的应用.学习难点:了解分类思想和化归思想.学习过程一．自主学习1．圆周角定义:叫圆周角.2．判断下列各图形中的是不是圆周角.（A）2个， （B）3个， （C）4个， （D）5个。3．圆周角的两个特征：①角的顶点在；②角的两边都.4．分别度量下图中AB所对的两个圆周角∠C，∠D的度数，比较一下，∠C_____∠D.变动点C的位置，圆周角的度数有没有发生变化？（1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？（2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？（3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，都等于的的一半.二．探索新知如图所示，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时折痕可能下图出现三种情况：你能分别证明这三种情况中AB所对的圆周角等于它所对圆心角的一半的结论吗？（1）如图1，当圆周角∠BAC的一边AB刚好是折痕（⊙O的直径）时；（2）如图2，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的两侧时；（3）如图3，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的同侧时。问题1：如图，在⊙O中，若圆周角∠BAC=∠DEF，那么AC=DF吗？为什么？结论:___________________________________________三．应用新知例1如图，点A、B、C、D都在同一个圆上，四边形ABCD的对角线将4个内角分成的8个角中，相等的角有几对？请分别指出来.例2如图，OA=OB=OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.例3已知:四边形ABCD的四个顶点都在圆上，且AB∥CD.求证:AB=CD四．发现总结1．在圆中进行角的转化与计算通常要用到_____________________.2．数学思想方法：在证明圆周角定理中用到________思想和_______思想.五．巩固提高如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点P是CAD上的一点，（不与C、D重合）（1）求证：∠CPD=∠COD.（2）如图2，若点P在劣弧CD上（不与C、D重合），∠CPD与∠COD的数量关系是否发生变化？写出结论，并画图证明.图1图2六．课堂检测1．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15B．28C．29 D．342．如图2，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（）A.100°B.80°C.70°D.50°如图3，在⊙O中，弦BE与CD相交于点F，CB、ED的延长线交于点A，如果∠A=30°,∠CFE=70°,∠CDE=（）A．20°B.40°C.50°4．如图4，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD、BE是高，交点为H，BE的延长线交⊙O于F，下列结论：①∠BAO=∠CAD；②AO=AH；③DH=DC；④EH=EF，其中正确的的结论（）A．①②B.②③C.①④D.③④5．如图5，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，E为劣弧CB上的一动点(不与B、C重合)，DE交弦BC于点N，AE交半径OC于点M，在E点运动过程中，∠AMC与∠BNE的大小关系为（）A．∠AMC>∠BNEB.∠AMC=∠BNEC.∠AMC<∠BNED.随着E点的运动以上三种关系都有可能6．如右图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm，（1）求∠ABC的度数；（2）求⊙O的面积7．如下图，在平面直角坐标系中，M为x轴上的一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为BC上的一个动点，CQ平分∠PCQ，A（－1，0）,C（0，）.（1）求M点的坐标.（2）当P点运动时，线段AQ的长度是否发生变化？若变化请求出其值，若改变说明理由.24.1.4《圆周角》（2）学习目标1．认识圆内接四边形，理解并掌握圆内接四边形的性质.2．灵活运用圆的性质解决相关问题.学习重点：圆内接四边形及其性质.学习难点:运用圆的性质解决相关问题. 学习过程一．自主学习1．如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠ACB的度数吗?为什么？2．如图2，圆周角∠BCA=90º，弦AB经过圆心O吗？为什么？我们还可以得到圆周角定理的推论：在_______或______中，如果两个______相等，那么_____________一定相等。半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________.图13．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__________________；这个圆叫做________________.4．思考：圆内接四边形的对角有什么关系？为什么？这样，我们利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质：______________________.二．探索新知思考1你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？说说你有多少种方法？思考2如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是_____三角形。请证明这个结论.三．应用新知例1如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，(1)求BC、BD、AD的长。(2)求CD的长。例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，（1）求证：BD=DE；（2）连接BE，如果BC=6，AB=5，求BE的长．四．发现总结1．解决圆周角的问题时常根据_______所对的圆周角是______作为依据，添加辅助线构造______三角形.2．求三角形的高的常用方法有哪些？五．巩固提高如图，点D为Rt△ABC斜边AB上的一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于点E、F、G三点，连EF、FG.（1）求证：∠EFG=∠B；（2）若AC=2BC=，D为AE的中点，求CD的长.六．课堂检测1．如图1，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（）A.116°B.32°C.58°D.64°2．如图2，⊙O的直径AB=13，弦AC=5，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD的长（）A.7B.9C.D.3．如图3，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE=____________.4．如图4，AB是半圆O的直径，D为AC的中点，∠B=40°，求∠C的度数为________.图1图2图3图45．如图，AB为⊙O的直径，点Q在弦BC的延长线上，且∠PCQ=∠PCA.（1）求证：PA=PB；（2）求的值.6．如图，BC为⊙O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E.（1）求证：AE=BE.（2）若⊙O的半径为5，AD=4，求AE的长.24.2.1《点和圆的位置关系》学习目标1．理解并掌握点和圆的三种位置关系。2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．了解反证法的证明思想．学习重点：理解并掌握点和圆的三种位置关系。学习难点:理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．反证法的证明思想．学习过程一．自主学习1．平面上的一个圆把平面上的点分成哪几个部分？2．点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，点P在_________________；点P在_________________；点P在_________________.二．探索新知1．（1）经过已知点A作圆，你能作出几个这样的圆？（2）经过已知点A、B作圆，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），你是如何做的？你能作出几个这样的圆？由此得到：经过__________的三点确定一个圆。经过三角形的三个顶点可以作__________，这个圆叫做__________.外接圆的圆心叫做__________．三角形的外心是_____________________，它到______________距离相等.一个三角形的外接圆有_____个，一个圆的内接三角形有_______个.思考：任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明.2．思考：经过同一条直线上的三个点能做出一个圆吗？为什么？反证法：假设命题的___________，由此经过推理得出___________，由__________断定所作假设不正确，从而得到______________.三．应用新知例1已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm.（1）以点A为圆心，3cm为半径作圆，判断B、C、D与⊙A的位置关系.（2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是多少？例2用反证法证明“两直线平行，同位角相等”.四．发现总结1．要确定点与圆的位置关系只需要确定______________与____________的大小关系.2．反证法三步骤：____________、____________、____________.五．巩固提高1．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径.六．课堂检测1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（）个A．1B．2C．3D．42．如图1，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）A．2.5B．2.5cmC．3cmD．4cm3．如图2，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M4．如图3，⊙O1过坐标原点，点O的坐标为（1，1），是判断点P（－1，1），点Q（1,2），点R（2，0）与⊙O1的位置关系.5．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论.七．学习感悟24.2．2《直线和圆的位置关系》（1）学习目标1．理解直线和圆的三种位置关系，会正确判断直线和圆的位置关系.2．了解类比、转化、数形结合思想.学习重点：理解直线和圆的三种位置关系，会正确判断直线和圆的位置关系学习难点:会正确判断直线和圆的位置关系学习过程一．自主学习1．画一个⊙O，上下移动直尺，观察在移动直尺的过程中直尺与圆的位置发生什么变化？将直尺看成是直线l，类比点与圆的位置关系，填写下表.直线与圆的位置关系相交相切相离图形公共点个数

公共点名称

直线名称

圆心到直线距离d与半径r的关系

二．探索新知1．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。类比点与圆的位置关系，结合图形，探究直线与圆的三种不同位置关系中，d与r有怎样大小关系？填空后完成上表.直线L和⊙O__________，如图（a）所示；直线L和⊙O__________，如图（b）所示；直线L和⊙O__________，如图（c）所示．三．应用新知例1如图，O为∠PAQ的角平分线上一点，OB⊥AP于点B，以O为圆心，OB为半径作⊙O.求证：AQ与⊙O相切.例2已知：Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？四．发现总结1．判断直线与圆的位置关系的方法有两种：（1）利用直线与圆的_____个数；（2）利用_______到_______的距离与______之间的大小关系.2．“直线与圆相切d=r”，用文字叙述该结论为若直线与圆_____，那么_____到_____距离等于_____；反过来，如果_____到______距离等于_____，那么直线与圆_____.该结论即可作切线的判定用，也可作切线的性质用.上面含“”的所有结论亦然.3．在圆的切线的证明中，如果直线与圆的交点条件中没有，则需过_____作这条直线的____.五．巩固提高1．如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，且AD+BC=CD.（1）以CD为直径作⊙O，求证：AB与⊙O相切（2）以AB为直径作⊙O1，求证：CD与⊙O1相切六．课堂检测1．已知⊙O的直径是13cm，如果直线与圆心的距离是d，（1）d=4.5cm时，直线与圆______，有_____个公共点；（2）d=6.5cm时，直线与圆______，有_____个公共点；（3）d=8cm时，直线与圆______，有_____个公共点.2．设⊙O的半径为4，点O到直线的距离为d，若⊙O与直线至多有一个公共点，则d为（）A．d≤4B．d＜4C．d≥4D.d＝43．设⊙O的半径为4cm，直线上一点A到圆心的距离是4cm，则直线与⊙O的位置关系是：（）A．相交B．相切C．相离D.相切或相交4．已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（－3，－4），则⊙A与x轴的位置关系是______，⊙A与y轴的位置关系是___________.5．△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC=8cm，BD=10cm，以点D为圆心，5cm为半径的圆与AB的位置关系是______________.6．如图所示，△ABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，OD⊥AB，以O为圆心、OD为半径作⊙O。求证：AC与圆相切.学习感悟24.2．2《直线和圆的位置关系》（2）学习目标1．理解掌握切线的判定定理并会证明一条直线是圆的切线。2．理解并掌握切线的性质定理并会运用该定理解决有关圆的计算和证明。学习重点：掌握切线的判定定理和性质定理.学习难点:运用定理解决有关圆的计算和证明.学习过程一．自主学习1．“直线与圆相切d=r”，用文字叙述该结论为若直线与圆_____，那么_____到_____距离等于_____；反过来，如果_____到______距离等于_____，那么直线与圆_____.该结论即可作切线的判定用，也可作切线的性质用.二．探索新知1．如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线⊥OA，则圆心O到直线的距离等于_____，这说明直线是⊙O的_____.因为此时条件已经满足__________________.切线的判定定理：________________________________________.2．如图，已知直线是⊙O的切线，切点为A，连接0A，直线一定经过_____________.你能用反证法说明理由吗？切线的性质定理：______________________.三．应用新知例1如图，直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线.例2如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切；（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4。求弦CE的长发现总结1．切线的判定定理有两个关键要素:______________、________________2．切线的证明有两种情况，主要看直线与圆的公共点在条件中是否出现：（1）有公共点------作______，证______；（2）没有公共点-----作______，证______.3．问题中有切线的条件信息时，要用到切线的_________定理；通常连接____________，构造______三角形，用勾股定理解决线段长度的计算。用到哪几种基本图形？五．巩固提高1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交⊙O于点E.（1）求证：AC平分∠DAB.（2）连接BC，若CD=4，⊙O的半径是5，求BC的长.六．课堂检测1．下列说法正确的是（）A.和圆有一个公共点的直线是圆的切线B.圆的切线垂直于半径C.经过半径外端点的直线是圆的切线D.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点2．在△ABC中，AB=AC，∠B=45°，以AB为直径的作⊙O，则AC与圆()A.相交B.相切C.相离D.相交或相离3．如图1，在平面直角坐标系中，A点在第一象限，⊙A与x轴相切于点B，与y轴交于C(0，1),D（0,4）两点，点A在函数的像上，则k=____________.4．如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，DC且⊙O于点C，∠ACD=30°。则∠B的度数为___________5．如图3，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是________.图36．如图，在Rt△ABC中,∠B=90°E为AB上一点,∠C=∠BEO，O是BC上一点，以D为圆心，OB长为半径作⊙O，AC是⊙O的切线，切点是Q．（1）求证：OE=OC；（2）若BE=4，BC=8，求OE的长．7.如图，已知等腰Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=2，D为射线CB上的一动点，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交直线AC于点E。（1）如图1，当点O在斜边AB上时，求⊙O的半径.（2）如图2，点D在线段BC上，使四边形AODE是菱形时，求CD的长.（3）点D在线段CB的延长线上，使四边形AEOD为菱形时，CD的值______________.24.2．2《直线和圆的位置关系》（3）学习目标1．理解切线长定理.2．能运用切线长定理结合切线的性质和判定解题．学习重点：切线长定理及其运用．学习难点:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．学习过程一．自主学习1．经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？2．已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？3．经过________作圆的______，_____和_____之间的线段长，叫做这点到圆的切线长.二．探索新知1．在手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，(1)OB是⊙O的一条半径吗？(2)PB是⊙O的切线吗？(3)若PA、PB是⊙O的切线，PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？说明理由.由此得出切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们______相等，________________平分两条切线的夹角.三．应用新知例1如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系（2）写出图中与∠OAC相等的角（3）写出图中所有的全等三角形（4）写出图中所有的等腰三角形（5）若∠P=50°，则∠AOB=____，∠AEB=____∠ADB=____（6）若PA=4、PD=2，求半径OA.例2如图所示，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，Q是弧AB上的一点，过点Q作⊙O的切线分别交PA、PB于C、D两点，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°，求∠COD的度数.四．发现总结1．在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形____________（简要画出来）.辅助线注意三个连结：（1）_______________（2）_______________（3）_______________.五．巩固提高1．如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x，BC=y．（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值．（3）求△COD的面积．六．课堂检测1．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为AB上一点，∠APB=50°，则∠ACB=（）A．60°B．65°C．100°2．如图2，直线PA，PB是⊙O的两条切线，A，B分别为切点，∠APB=120°，OP=10cm，则弦AB的长为（）A.cmB.5cmC.cmD.cm3．P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=_____.4．如图3，已知PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，若OP=13，△PDE的周长为24，则⊙O的半径r为______.图1图2图35．如图，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D。求证：DE∥OC.6．如图，点P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于点C，若PA=6，PC=，求⊙O的半径OA及两切线PA、PB之间的夹角.七．学习感悟24.2．2《直线和圆的位置关系》（4）学习目标1．理解三角形的内切圆、内心等概念.2．灵活运用切线长定理及圆的切线的性质与判定定理进行相关计算和证明.学习重点：运用内心特性、切线长定理、切线性质判定定理解题.学习难点:运用内心特性、切线长定理、切线性质判定定理解题.学习过程一．自主学习1．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们______相等，________________平分两条切线的夹角.2．三角形的外心是__________________________.3．如图所示，在△ABC中，怎样在它的上面画一个面积尽可能大的圆？二．探索新知：分析：这个圆要尽可能大，则该圆与△ABC的三边AB、AC、BC都_____，那么这个圆的圆心到△ABC的三边的距离都______，那么这个圆的圆心应该是__________________________________，半径就是________________________.(画出图形)与三角形的三边都_____的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是_______________，叫做三角形的_____________，它到________________距离都相等。三角形的内切圆有__个，圆的外切三角形有____个.三．应用新知例1如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=5cm，BC=13cm，CA=12cm，求AF、BD、CE的长及内切圆⊙O的半径.例2如图，I为△ABC的内心，O为△ABC的外心（1）若∠A=70°，求∠BIC、∠BOC的度数.（2）若∠A=α，你能用含有α的式子表示∠BIC、∠BOC吗？四．发现总结1．三角形的内切圆半径r、面积S、周长之间的关系式_____________.2．三角形的内心是三角形___________的交点，因此运用解题时抓住___________的性质.五．巩固提高1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC于点E，交⊙O于点D，I是△ABC的内心，连IB.（1）求证：ID=DC；（2）若∠BAC=60°，AB=11，AC=7，求AD的长.六．课堂检测1．△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A=（）A.52°B.76°C.26°D.128°2．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，则△ABC的内切圆半径r为（）A.2B.1C.D.3．如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（）A.1B.C.D.4．如图2，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（）A.50B.52C.54D.56图1图2图35．如图3，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上的一点，CD=CB，连接AD、OC，OC交⊙O于点E，交BD于点F。下列结论：①CD是⊙O的切线；②AD∥OC；③CE=2EF；④E是△BCD的内心．其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④6．如图，AM、BN、CD分别与⊙O相切于点A、B、E，且AM∥BN，CD分别交AM、BN于点C、D.（1）若DO=6cm，CO=8cm，求AB的长；（2）求证：OD∥BE.7．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F在AD上，连结BE.（1）求△CDF的面积.（2）求线段BE的长.24.2.3《圆和圆的位置关系》学习目标1．了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念．2．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．学习重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用学习难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．学习过程一．自主学习1．直线与圆的三种位置关系:______、______、______.2．分别两张在一张透明纸上画两个半径不同的⊙O1与⊙O1半径，把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？每种位置关系中两个圆有多少公共点？完成下表前四栏：两圆的位置关系图形公共点个数公共点名称二．探索新知如果两圆的半径分别为r1和r2（r1>r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，请你们结合直线和圆位置关系中的等价关系和刚才五种情况的讨论，并完成上表最后一栏.思考：半径相等的两个圆的位置关系有几种？⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，两圆圆心距O1O2（1）当O1O2=8cm时，两圆_______；（2）当O1O2=7cm时，两圆_______；（3）当O1O2=5cm时，两圆_______；（4）当O1O2=1cm时，两圆_______；（5）当O1O2=0.5cm时，两圆_______；（6）当O1和O2重合，两圆_______；三．应用新知例1如上图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm，以P为圆心作一个圆与⊙O外切，这个圆的半径应是多少？以P为圆心作一个圆与⊙O内切呢？例2如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B，点O1在⊙O2上，AC是⊙O1的直径，直线CB与⊙O2相交于点D，连AD.（1）求证：AD是⊙O2的直径；（2）求证：DA=DC.四．发现总结1．判断两圆的位置关系只需比较三个量的大小关系，这三个量是______、_______、______.2．解两圆的问题时，通常添作的辅助线有哪些？五．巩固提高1．如图所示，点A坐标为（0，3），⊙A的半径为1，点B在x轴上．（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；（2）若⊙B过M（—2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．六．课堂检测1．已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是（）A．1cmB．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm2．已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（）A．外离B．内切C．相交D．外切3．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R，r(R>r)，圆心距为d，且两圆相交，判定关于x的一元二次方程x2—2（d—R）x+r2=0根的情况为()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．如图所示,三个半圆⊙O1,⊙O2,⊙O3的半径都是R，⊙O4与上述三个半圆都相切,其半径为r,则R:r的值为()A．3:1B．4:1C．D．5．定⊙O的半径是4cm，⊙O的半径是1cm，若⊙O与⊙P外切，点P到点O的距离为_____,此时点P是_______________________________的所有点的集合.6．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，C是⊙O1上的一点，CA、CB的延长线分别交⊙O2于D、E，求证：O1C⊥DE.7．如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（－4,0），以O1为圆心，8为半径的O1与x轴交于A、B两点，过点A作直线与x轴的负方向相交成60°，以点O2（13,5）为圆心的⊙O2与x轴相切于点D.（1）求直线的解析式.（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴的负方向平移，同时，直线沿着x轴的正方向平移，当⊙O2第一次与⊙O1相切时，直线也恰好与⊙O2第一次相切。求直线的平移速度.24.3《正多边形和圆》学习目标1．了解正多边形和圆的有关概念.2．掌握正多边形的半径、边长、中心角、边心距之间的等量关系，并了解化归思想.3．能应用正多边形和圆的知识画正多边形.学习重点：正多边形中心、半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．学习难点：探索正多边形中心、半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．学习过程一．自主学习1．___________和___________都相等的多边形是正多边形。2．只要把一个圆分成的弧，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的。（以正五边形为例说明）如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE，请你证明，它是正五边形．3．正多边形的________________叫做正多边形的中心；________________叫做正多边形的半径；正多边形每一边__________叫做正多边形的中心角；______到_______________的距离叫做正多边形的边心距.二．探索新知1．正五边形的中心角的度数是________；正五边形的一个内角的度数是________；正五边形的一个外角是________2．正六边形的中心角的度数是________；正六边形的一个内角的度数是________；正六边形的一个外角是________3．正n边形的一个内角的度数是______________；中心角的度数是______，正多边形的中心角_______它的一个外角的.4．如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？方法一、用量角器作一个等于的圆心角.方法二、正方形、正三角形、正六边形、正十二边形等特殊正多边形的作法.三．应用新知例1有一个亭子（如图），它的地基是半径为4cm的正六边形，求地基的周长和面积。(结果保留小数点后一位，≈1.732)四．发现总结1．正n边形的每一个内角的度数是______________；中心角的度数是________，正多边形的中心角等于它的一个_______.正多边形的中心角与它的一个外角___________.2．正n边形相关量的计算，常把正n边形分成_____个全等的等腰三角形，这个等腰三角形底边是___________，腰是____________，高是__________.通过作正n边形的_____(等腰三角形的高)构造直角三角形，利用________定理等知识来进行相关量的计算.五．巩固提高：分别计算半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距和面积。并求出它们边长的比值.六．课堂检测1．边长为4的正三角形，则它的半径是_______，边心距是_______，中心角是_______.2．若一个正多边形每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是__________.3．有一个边长为3cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全覆盖住这个图形，那么这张纸片的最小半径是____________.4．如图1，正三角形ABC内接于⊙O，AD是⊙O的正十二边形的一边，连接CD，若CD=12，则⊙O的半径是________________.5．下列说法：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各内角相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形的中心角等于它的一个外角；④正多边形既是中心对称图形又是轴对称图形。其中正确的个数是：（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图2，正五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：①∠BAC=36°；②PB=PC；③四边形APDE是菱形；④AP=2BP.其正确的有（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④图1图27．图，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.（1）图（1）中，求∠MON的度数；（2）图（2）中，∠MON的度数是_________；图（3）中，∠MON的度数是_________；（3）试探究图∠MON的度数与正n边形边数的n的关系____________.24.4《弧长与扇形面积》学习目标1．利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式的过程．2．掌握弧长和扇形面积公式并解决实际问题．学习重点：利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式学习难点：探索弧长和扇形面积的计算公式．学习过程一．自主学习1．请你写出圆的周长计算公式：；并求半径为3cm的圆的周长：.2．思考并完成：①圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．那么将圆360等分，这个这360条半径将圆分割成条等弧，每个等弧的圆心角等于②1°的圆心角所对的弧长是___________________．③45°的圆心角所对的弧长是__________________．④90°的圆心角所对的弧长是___________________．……⑤n°的圆心角所对的弧长是___________________．由此得到n°的圆心角所对的弧长是___________________．3．认识概念：是扇形.写出半径为R的圆的面积公式______________半径为3的圆的面积4．思考完成：①若将360°的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成________个小扇形，每个小扇形的圆心角等于______，则1°的圆心角所对扇形的面积是_______________，n°的圆心角所对的扇形的面积是________________.②如果扇形的半径为R，弧长为.那么，扇形面积等于；由此,得到扇形面积计算公式:S扇形＝.二．探索新知1．在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的弧长l=；2．75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为．3．若扇形的圆心角n为50°，半径为R=1，则这个扇形的面积，S扇=;4．若扇形的圆